13.5.3角平分线 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一角平分线的性质的应用
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为 ( )2-1-c-n-j-y
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,∠C=∠D=90°,若∠DAB的角平分线AE交CD于点E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的长的大小关系是 ( )
A.AB>AD+BC B.AB=AD+BC C.AB
【变式训练】在数学活动课上,小明提出这样一个问题:如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB的度数是 ( )21·世纪*教育网
A.35° B.45° C.55° D.65°
3.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.PD=10,则PE的长度为 .【来源：21cnj*y.co*m】
4.已知:如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
5.如图,点P为∠ABC平分线上的一点,D点和E点分别在AB和BC上,且PD=PE,试探究∠BDP与∠BEP的数量关系,并给予证明.
6.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
求证:(1)AM平分∠DAB.
(2)AD=AB+CD.
题组二角平分线的判定
1.如图,在△ABC中,∠B=42°,AD⊥BC于点D,点E是BD上一点,EF⊥AB于点F,若ED=EF,则∠AEC的度数为 ( )
A.60° B.62° C.64° D.66°
2.如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在 ( )21世纪教育网版权所有
A.在AC,BC两边高线的交点处
B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.在AC,BC两边垂直平分线的交点处
3.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离都相等,则∠P= .
4.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE= .21*cnjy*com
5.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D.
求证:CD平分∠ACB.
【鉴前毖后】已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
(1)错因:_________________________________________________
(2)纠错:_______________________________________
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B卷能力达标
(测试时间40分钟 试题总分60分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,
S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5
2.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.下列结论不正确的是 ( )21·cn·jy·com
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
3.某地为了发展旅游业,要在三条公路上修建一个度假村,使度假村到三条公路的距离相等,这个度假村的选址地点共有 ( )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线,若CD=3,则△ABD的面积为 .【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .【出处：21教育名师】
【变式训练】有一块三角形的空地,其三边长分别为60m,80m,100m,现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分,分别种植不同的花,请你设计一种方案,并简要说明理由.【版权所有：21教育】
6.如图所示,若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,且PE=3cm,则AB与CD之间的距离为 cm.2·1·c·n·j·y
三、解答题(共36分)
7.(8分)如图,已知AD为△ABC的角平分线,∠ABC=90°,EF⊥AC,交BC于点D,垂足为F,DE=DC,21cnjy.com
求证:BE=CF.
8.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN.(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
9.(10分)如图,CP,BP是△ABC两外角的平分线,PE⊥AC且与AC的延长线交于点E,PF⊥AB且与AB的延长线交于点F,试探究BC,CE,BF三条线段有什么关系.21教育网
【培优训练】10.(10分)在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DE⊥AB,垂足为点E,DF⊥AC,垂足为点F(如图①),则可以得到以下两个结论:①∠AED+∠AFD=180°;②DE=DF.
那么在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的平分线,点E和点F分别在AB和AC上”,请探究以下两个问题:www.21-cn-jy.com
(1)若∠AED+∠AFD=180°(如图②),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则,请举出反例.www-2-1-cnjy-com
(2)若DE=DF,则∠AED+∠AFD=180°是否成立?(只写出结论,不证明)
13.5.3角平分线 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一角平分线的性质的应用
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为 ( )2·1·c·n·j·y
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.点Q在射线OM上,根据“垂线段最短”可知,PQ长度的最小值即为点P到射线OM的距离.因为点P在∠MON的平分线上,根据角的平分线的性质可得PQ长度的最小值等于PA的长.
2.如图,∠C=∠D=90°,若∠DAB的角平分线AE交CD于点E,连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC的长的大小关系是 ( )
A.AB>AD+BC B.AB=AD+BC C.AB【解析】选B.过点E作EF⊥AB于F,
∵BE,AE分别为∠ABC和∠DAB的角平分线,
∠C=∠D=90°,∴EC=EF=ED,∴△BCE≌△BFE,
△AEF≌△AED,∴BC=BF,AF=AD,∴AB=AF+BF=AD+BC.
【变式训练】在数学活动课上,小明提出这样一个问题:如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,∠CED=35°,则∠EAB的度数是 ( )【来源：21·世纪·教育·网】
A.35° B.45° C.55° D.65°
【解析】选A.过点E作EF⊥AD,
∵DE平分∠ADC,且E是BC的中点,
∴CE=EB=EF,
又∠B=90°,且AE=AE,
∴△ABE≌△AFE,∴∠EAB=∠EAF.
又∵∠CED=35°,∠C=90°,
∴∠CDE=90°-35°=55°,即∠CDA=110°,∠DAB=70°,
∴∠EAB=35°.
3.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.PD=10,则PE的长度为 .【版权所有：21教育】
【解析】如图所示:
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等,所以PE=PD=10.
答案:10
【知识归纳】角平分线的性质与判定的区别与联系
内容
图示
符号语言
作用
性
质
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
∵点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE
证明两条线段相等
判
定
在一个角的内部,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
∵PD⊥OA,PE⊥OB且PD=PE,
∴∠AOP=∠BOP
证明两个角相等
4.已知:如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
【证明】连接AD.
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD.
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD是∠EAF的平分线,
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
5.如图,点P为∠ABC平分线上的一点,D点和E点分别在AB和BC上,且PD=PE,试探究∠BDP与∠BEP的数量关系,并给予证明.
【解析】∠BDP+∠BEP=180°.
理由:过P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,由角平分线性质,得PM=PN,
在Rt△DPM和Rt△EPN中PD=PE,PM=PN,
∴Rt△DPM≌Rt△EPN(H.L.),∴∠ADP=∠BEP,
又∠BDP+∠ADP=180°,∴∠BDP+∠BEP=180°.
6.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
求证:(1)AM平分∠DAB.
(2)AD=AB+CD.
【证明】(1)作ME⊥AD,
∵MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC,
∴MC=ME,
∵M为BC中点,
∴MB=MC,
∴ME=MB,
又∵ME⊥AD,MB⊥AB,
∴AM平分∠DAB.
(2)在Rt△CMD和Rt△EMD中,
∵MC=ME,MD=MD,∴△CMD≌△EMD,
∴CD=DE,
同理,△BMA≌△EMA,
∴AB=AE,∴AD=AE+DE=AB+CD.
题组二角平分线的判定
1.如图,在△ABC中,∠B=42°,AD⊥BC于点D,点E是BD上一点,EF⊥AB于点F,若ED=EF,则∠AEC的度数为 ( )
A.60° B.62° C.64° D.66°
【解析】选D.∠B=42°,AD⊥BC,∴∠BAD=48°,又∵EF⊥AB,ED=EF,∴∠BAE=21世纪教育网版权所有
∠BAD=24°,∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°.
2.如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在 ( )21cnjy.com
A.在AC,BC两边高线的交点处
B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.在AC,BC两边垂直平分线的交点处
【解析】选C.到三角形两条边的距离相等的点在这两边的夹角的平分线上,所以到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点.集贸市场应建在∠A,∠B两内角平分线的交点处.
3.如图,AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离都相等,则∠P= .
【解析】∵AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距离都相等,
∴BP平分∠ABC,CP平分∠DCB,
∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠P=90°.
答案:90°
4.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE= .21·cn·jy·com
【解析】过点E作EF⊥BD于点F,
作EG⊥AC于点G,作EH⊥BA于点H.
∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E,
∴EH=EF,EG=EF,∴EH=EG,
∴AE是∠CAH的平分线,
∵∠BAC=70°,∴∠CAH=110°,
∴∠CAE=∠CAH=55°.
答案:55°
5.如图所示,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D.
求证:CD平分∠ACB.
【证明】过点D作DH⊥AB于H,DM⊥BC于M,DN⊥AC于N,
∵∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D,
∴DH=DM,DH=DN,∴DM=DN,
∴CD平分∠ACB.
【鉴前毖后】
已知:如图所示,BF与CE相交于点D,BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.www.21-cn-jy.com
(1)错因:_________________________________________________
(2)纠错:_______________________________________
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答案: (1)BD,CD不是点D到∠BAC两边的垂线段,应证DE=DF.
(2)∵BF⊥AC,CE⊥AB,∴∠BED=∠CFD=90°,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF,
∴点D在∠BAC的平分线上.
B卷能力达标
(测试时间40分钟 试题总分60分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,
S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.5
【解析】选A.如图,过点D作DF⊥AC于点F,
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴×4×2+×AC×2=7,解得AC=3.
2.如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D,连接AD.下列结论不正确的是 ( )21·世纪*教育网
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90°
C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
【解析】选B.∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°,A正确;
∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABC=25°,
∴∠BOC=180°-∠DBC-∠ACB=95°,
∴∠DOC=180°-∠BOC=85°,B错误;
∵∠ACE=180°-∠ACB=120°,CD平分∠ACE,
∴∠DCE=∠ACE=60°,
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=35°,C正确;
∵点D在∠ABC和∠ACE的平分线上,∴点D到AB,BC,AC的距离相等,∴点D在∠BAC的外角的平分线上,∴∠DAC=55°,D正确.
3.某地为了发展旅游业,要在三条公路上修建一个度假村,使度假村到三条公路的距离相等,这个度假村的选址地点共有 ( )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
【解析】选D.如图,度假村在三角形内部时,为三角形的内心,只有1个,在外部时,为外角平分线的交点,共有3个,所以,这个度假村的选址地点共有P1,P2,P3,P44处.www-2-1-cnjy-com
【方法技巧】有关到线段距离相等的点的位置确定方法
1.当点指定在三角形内部时,只要作出内角的平分线的交点即可.
2.在点没有指定在三角形内部时,要注意画出内角平分线的交点和外角平分线的交点,这时交点有多个.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线,若CD=3,则△ABD的面积为 .2-1-c-n-j-y
【解析】作DE⊥AB于点E,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=CD=3,
∴△ABD的面积为×3×10=15.
答案:15
5.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别为40,50,60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= .21*cnjy*com
【解析】作OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,
∵BO平分∠ABC,∴OD=OE,
∴S△ABO∶S△BCO=AB∶BC=40∶50=4∶5.
同理S△BCO∶S△CAO=5∶6,
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=4∶5∶6.
答案:4∶5∶6
【变式训练】有一块三角形的空地,其三边长分别为60m,80m,100m,现要把它分成面积比为3∶4∶5的三部分,分别种植不同的花,请你设计一种方案,并简要说明理由.21教育网
【解析】(答案不唯一)方案:分别作∠ABC和∠ACB的平分线,相交于点P,连接PA,则S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=60∶80∶100=3∶4∶5.
理由:∵P是∠ABC和∠ACB平分线的交点,过P作PE,PF,PH分别垂直于AB,BC,AC,垂足分别为E,F,H,则有PE=PF=PH,【来源：21cnj*y.co*m】
∴S△PAB=AB×PE=30PE,
S△PAC=AC×PH=40PH,
S△PBC=BC×PF=50PF,
∴S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=30∶40∶50=3∶4∶5.
6.如图所示,若AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于E,且PE=3cm,则AB与CD之间的距离为 cm.【出处：21教育名师】
【解析】∵AB∥CD,
∴过P点作MN分别垂直AB,CD.
∵AP平分∠BAC,PE⊥AC,
PM⊥AB,∴PM=PE=3cm;
同理PN=PE=3cm,
∴MN=PM+PN=3+3=6(cm),
∴AB与CD之间的距离是6cm.
答案:6
【方法技巧】当题目中出现角平分线或平分某个角,且求点到直线的距离或两直线间距离时,应添加适当的辅助线,运用角平分线的性质定理求解.21教育名师原创作品
三、解答题(共36分)
7.(8分)如图,已知AD为△ABC的角平分线,∠ABC=90°,EF⊥AC,交BC于点D,垂足为F,DE=DC,
求证:BE=CF.
【证明】∵AD平分∠BAC且∠ABD=90°,DF⊥AC,
∴DB=DF.
在△BDE和△FDC中,DB=DF,
∠BDE=∠FDC,DE=DC,
∴△BDE≌△FDC,∴BE=CF.
8.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN.(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
【解析】(1)作出∠ADC的平分线DN如图所示.
(2)△ADF是等腰直角三角形.
9.(10分)如图,CP,BP是△ABC两外角的平分线,PE⊥AC且与AC的延长线交于点E,PF⊥AB且与AB的延长线交于点F,试探究BC,CE,BF三条线段有什么关系.
【解题指南】解答本题的两个关键
1.点P是两个外角的角平分线的交点,因此先作PD⊥BC.
2.利用角的平分线的性质找出相等的线段,进而得出BC,CE,BF三条线段的关系.
【解析】如图,作PD⊥BC,垂足为点D.
∵CP平分∠BCE,PE⊥AC,∴PE=PD,
在Rt△PDC和Rt△PEC中,
∴Rt△PDC≌Rt△PEC,∴CD=CE.
同理可证BD=BF.
∵CD+BD=BC,∴BC=CE+BF.
【方法技巧】有关三条线段的关系,就是证它们之间的和差关系,一般是把较长的线段分成两段,利用全等三角形的对应边相等得出它们之间的关系.21*cnjy*com
【培优训练】
10.(10分)在△ABC中,若AD是∠BAC的平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DE⊥AB,垂足为点E,DF⊥AC,垂足为点F(如图①),则可以得到以下两个结论:①∠AED+∠AFD=180°;②DE=DF.
那么在△ABC中,仍然有条件“AD是∠BAC的平分线,点E和点F分别在AB和AC上”,请探究以下两个问题:
(1)若∠AED+∠AFD=180°(如图②),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则,请举出反例.
(2)若DE=DF,则∠AED+∠AFD=180°是否成立?(只写出结论,不证明)
【解析】(1)相等.如图,作DG⊥AB,DH⊥AC,
∵AD是∠BAC的平分线,∴DG=DH,∠AGD+∠AHD=180°,∵四边形的内角和是
360°,
∴∠HAG+∠GDH=180°,
∵∠AED+∠AFD=180°,
∴∠HAG+∠EDF=180°,
∴∠GDH=∠EDF,
∴∠GDH-∠GDF=∠EDF-∠GDF,
即∠HDF=∠GDE,
在△GDE和△HDF中,
∴△GDE≌△HDF,∴DE=DF.
(2)成立.
