山东省泰安市泰山区2015-2016学年九年级（下）期末数学试卷（五四学制）（解析版）

2015-2016学年山东省泰安市泰山区九年级（下）期末数学试卷（五四学制）
　
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．）
1．与不是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列二次根式，是最简二次根式的为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．方程（x﹣1）（x+1）=1﹣x的解是（　　）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=1或x=﹣2
D．x=﹣1或
x=﹣2
4．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+4=0
B．4x2﹣4x+1=0
C．x2+x+3=0
D．x2+2x﹣1=0
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3，AE=4，则AC的长为（　　）
A．9
B．7
C．6
D．5
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形
D．当AC=BD时，它是正方形
7．下列运算正确的是（　　）
A．
=﹣5
B．﹣=
C．÷=4
D．×=6
8．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是12米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．3米
B．4米
C．2米
D．2米
10．为了美化环境，某市加大对道路绿化的投资，2013年用于道路绿化投资100万元，2015年用于道路绿化投资144万元，求这两年道路绿化投资的年平均增长率．设这两年道路绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A．100x2=144
B．100（x+1）=144
C．100（x+1）2=144
D．100+100（x+1）+100（x+1）2=144
11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EB的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△ADE：S四边形BCFD的值为（　　）
A．1：3
B．2：3
C．2：5
D．1：4
13．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）
A．（3，3）
B．（4，3）
C．（3，1）
D．（4，1）
14．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CD=4CF，下列结论：
①∠BAE=30°，②△ABE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE=2EF，⑤△ABE∽△AEF．
其中正确结论的个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
　
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．只要求填写最后结果）
15．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=　　．
16．一元二次方程x2+2x﹣m﹣1=0总有实数根，则m应满足的条件是　　．
17．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　　度．
18．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），则点C的坐标为　　．
19．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为　　米．
20．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是　　．
21．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则BG的长是　　cm．
　
三、解答题（本大题共7小题，共57分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
22．计算：
（1）+﹣（3﹣）；
（2）9﹣3÷（﹣）．
23．解下列方程
（1）3x2﹣3=2x（用配方法解）；
（2）（x﹣2）（x+3）=﹣5．
24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：AF=CE；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是否为矩形？并给予证明．
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）求证：AE2=EF EG．
26．国庆期间，盱眙旅游业非常火爆．某宾馆客房部有60个房间供旅客居住，当每个房间的定价为每天200元，房间可以注满．当每个房间每天的定价每提高10元，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用；设每个房间每天的定价增加x元，则
（1）房间每天的入住间数　　间（用x的代数式表示）；
（2）该宾馆每天的房间所收费用为　　元（用x的代数式表示）；
（3）若该宾馆客房部希望每天的利润为14000元，则每个房间的定价应为多少元？（为了吸引游客，每个房间的定价不会高于500元）
27．已知：如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D在BC边上运动，作∠ADE=∠B，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当AD=DE时，求BD的长；
（3）当AE=DE时，求BD的长．
　
2015-2016学年山东省泰安市泰山区九年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．）
1．与不是同类二次根式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】同类二次根式．
【分析】把各选项化成最简二次根式，然后选择答案即可．
【解答】解：A、=，与是同类二次根式，故本选项错误；
B、=2，与是同类二次根式，故本选项错误；
C、=4，与是同类二次根式，故本选项错误；
D、=2，与不是同类二次根式，故本选项正确．
故选D．
　
2．下列二次根式，是最简二次根式的为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、=2，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、=2，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、=不是最简二次根式，故本选项错误；
故选B．
　
3．方程（x﹣1）（x+1）=1﹣x的解是（　　）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=1或x=﹣2
D．x=﹣1或
x=﹣2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项，再提公因式即可．
【解答】解：（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）=0，
（x﹣1）（x+1+1）=0，
（x+2）（x﹣1）=0
x+2=0或x﹣1=0，
x=﹣2或1，
故选C．
　
4．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A．x2+4=0
B．4x2﹣4x+1=0
C．x2+x+3=0
D．x2+2x﹣1=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根，进行判断．
【解答】解：A、△=﹣16＜0，方程没有实数根；
B、△=0，方程有两个相等的实数根；
C、△=1﹣12=﹣11＜0，方程没有实数根；
D、△=4+4=8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选D．
　
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3，AE=4，则AC的长为（　　）
A．9
B．7
C．6
D．5
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AC的值即可．
【解答】解：∵DE∥BC，AD=6，BD=3，AE=4，
∴，
∴EC=2，
∴AC=2+4=6．
故选C
　
6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形
D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
　
7．下列运算正确的是（　　）
A．
=﹣5
B．﹣=
C．÷=4
D．×=6
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=|﹣5|=5，错误；
B、原式=2﹣=，正确；
C、原式=2÷=2，错误；
D、原式=，错误，
故选B
　
8．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．
A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选：B．
　
9．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是12米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．3米
B．4米
C．2米
D．2米
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形花坛ABCD的周长是12米，∠BAD=60°，可求得边长AD的长，AC⊥BD，且∠CAD=30°，则可求得OA的长，继而求得答案．
【解答】解：∵菱形花坛ABCD的周长是12米，∠BAD=60°，
∴AC⊥BD，AC=2OA，∠CAD=∠BAD=30°，AD=3米，
∴OA=AD cos30°=3×=（米），
∴AC=2OA=3米．
故选：A．
　
10．为了美化环境，某市加大对道路绿化的投资，2013年用于道路绿化投资100万元，2015年用于道路绿化投资144万元，求这两年道路绿化投资的年平均增长率．设这两年道路绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为（　　）
A．100x2=144
B．100（x+1）=144
C．100（x+1）2=144
D．100+100（x+1）+100（x+1）2=144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据“2013年用于道路绿化投资100万元，2015年用于道路绿化投资144万元”，可得出方程．
【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为x，那么依题意得：
100（1+x）2=144．
故选：C．
　
11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EB的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先由折叠得出CE=AE=4﹣AE，再用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由折叠得，CE=AE，
∵AB=AE+BE=4，
∴CE=AE=4﹣BE，
在Rt△BCE中，BC=2，
∴CE2﹣BE2=BC2，
∴（4﹣BE）2﹣BE2=4，
∴BE=，
故选B．
　
12．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△ADE：S四边形BCFD的值为（　　）
A．1：3
B．2：3
C．2：5
D．1：4
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】先利用SAS证明△ADE≌△CFE得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则即===．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴AE=CE．
在△ADE与△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴S△ADE=S△CFE．
∵DE为△ABC的中位线，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，
∴=，即===，
故选：D．
　
13．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（　　）
A．（3，3）
B．（4，3）
C．（3，1）
D．（4，1）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选：A．
　
14．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CD=4CF，下列结论：
①∠BAE=30°，②△ABE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE=2EF，⑤△ABE∽△AEF．
其中正确结论的个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】四边形综合题．
【分析】先由线段的关系得出==2，即可判断出①错误，再利用两边对应成比例，夹角相等得出△ABE∽△ECF，△ABE∽△AEF，最后用同角的余角相等，即可得出②③④⑤正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠C=∠D=90°
∵E是BC的中点，
∴AE=CE=BC=AB，
在Rt△ABE中，tan∠BAE==＜，
∵tan30°=，
∴∠BAE＜30°，
所以①错误；
∴=2
∵CD=4CF，
∴=2，
∴=，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴=2，
∴AE=2EF，
所以②④正确；
∵△ABE∽△ECF，
∴∠BAE=∠CEF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
所以③正确；
∵=2，
=2，
∴，
∵∠B=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
所以⑤正确，
即：正确的有②③④⑤四个；
故选C．
　
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．只要求填写最后结果）
15．若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=　3　．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
配方，得
（x+3）2=16．
所以，m=3．
故答案为：3．
　
16．一元二次方程x2+2x﹣m﹣1=0总有实数根，则m应满足的条件是　m≥﹣2　．
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣m﹣1=0总有实数根，
∴△≥0，
即4﹣4（﹣m﹣1）≥0，
∴4m≥﹣8，
∴m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
　
17．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为　60　度．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
故答案为：60．
　
18．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），则点C的坐标为　（2，2）　．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】首先连接AC，BD相较于点E，由在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），可求得点E的坐标，继而求得答案．
【解答】解：连接AC，BD相较于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE=CE，BE=DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（0，1），
∴BD=4，AE=1，
∴DE=BD=2，AC=2AE=2，
∴点C的坐标为：（2，2）．
故答案为：（2，2）．
　
19．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为　10　米．
【考点】相似三角形的应用．
【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可．
【解答】解：1米长的标杆测得其影长为1.2米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，所以墙上的2米投射到地面上实际为2.4米，即旗杆影长为12米，因此旗杆总高度为10米．
　
20．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是　cm　．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC==5cm，
∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AE，
∴BC×AE=24，
∴AE==cm．
故答案为：
cm．
　
21．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则BG的长是　4　cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【分析】根据翻折变换的性质可得EF=FD，设AF=x，表示出EF，根据线段中点的定义求出AE=BE=3，再利用勾股定理列方程求出AF，然后求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：∵正方形ABCD折叠点D落在AB边的中点E处，
∴EF=FD，
设AF=x，则EF=6﹣x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=×6=3，
在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE2+AF2=EF2，
即32+x2=（6﹣x）2，
解得x=，
∵∠FEG=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠BEG+∠BGE=90°，
∴∠AEF=∠BGE，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴=，
∴BG===4cm．
故答案为：4．
　
三、解答题（本大题共7小题，共57分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
22．计算：
（1）+﹣（3﹣）；
（2）9﹣3÷（﹣）．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可．
【解答】解：（1）原式=+2﹣+
=2+；
（2）原式=27+3××
=27+．
　
23．解下列方程
（1）3x2﹣3=2x（用配方法解）；
（2）（x﹣2）（x+3）=﹣5．
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）用配方法解，首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解．
（2）确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】（1）解：方程变形得：3x2﹣2x=3，
方程两边同除以3，得：x2﹣x=1，
配方，得x2﹣x+=1+，
所以（x﹣）2=，
所以，x﹣=±
所以x1=，x2=；
（2）解：整理得：x2+x﹣1=0，
这里a=1，b=1，c=﹣1，b2﹣4ac=1+4=5，
∴x==
∴x1=，x2=．
　
24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：AF=CE；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是否为矩形？并给予证明．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，结合全等三角形的判定与性质，进而得出答案；
（2）首先利用平行四边形的性质证明AE∥CF，AE=CF，可证明四边形AECF是平行四边形，再根据AC=BC，E是AB的中点，可根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合证明∠AEC=90°，即可证明平行四边形AECF是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，∠B=∠D，AB=CD，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=DF=AE=CF，
在△BEC和△DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA（SAS），
∴AF=CE；
（2）四边形AECF是矩形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=BC，E是AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，∴平行四边形AECF是矩形．
　
25．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．
（1）求证：∠DAE=∠DCE；
（2）求证：AE2=EF EG．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE，利用全等三角形的性质即可证明∠DAE=∠DCE；
（2）首先利用平行线的性质得出∠DAE=∠G，进而得出∠G=∠DCE，进而可证明△ECF∽△EGC，由相似三角形的性质即可证明AE2=EF EG．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE=∠DCE；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DAG=∠G，
∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
∵∠CEF=∠GEC
∴△ECF∽△EGC，
∴，
∴CE2=EF EG，
∵△ADE≌△CDE，
∴EA=EC，
∴AE2=EF EG．
　
26．国庆期间，盱眙旅游业非常火爆．某宾馆客房部有60个房间供旅客居住，当每个房间的定价为每天200元，房间可以注满．当每个房间每天的定价每提高10元，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用；设每个房间每天的定价增加x元，则
（1）房间每天的入住间数　60﹣　间（用x的代数式表示）；
（2）该宾馆每天的房间所收费用为　﹣x2+40x+12000　元（用x的代数式表示）；
（3）若该宾馆客房部希望每天的利润为14000元，则每个房间的定价应为多少元？（为了吸引游客，每个房间的定价不会高于500元）
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为x元，则每天要元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为20×（60﹣），则利润w=（60﹣）﹣20×（60﹣），把w=14000代入求得相应的x的值．
【解答】解：（1）由题意得：60﹣．
故答案是：60﹣．
（2）（60﹣）=﹣x2+40x+12000．
故答案是：﹣x2+40x+12000．
（3）依题意得：（60﹣）﹣20×（60﹣）=14000，
整理，得
x2﹣420x+32000=0，
解得x=320或x=100，
为了吸引游客，每个房间的定价应为300元．
答：为了吸引游客，每个房间的定价应为300元．
　
27．已知：如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）先根据正方形性质得：AD=AB，∠B=∠D=90°，由对折得：AD=AF，∠D=∠AFE=90°，则AF=AB，根据HL证明△ABG≌△AFG；
（2）根据全等得：BG=FG，设BG=GF=x，在Rt△CEG中，根据勾股定理列方程解出即可．
【解答】证明：（1）在正方形ABCD中，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
∴△ABG≌△AFG（HL）
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=GF=x，则GC=8﹣x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=ED=4
∴EG=4+x，
∴在Rt△CEG中，
42+（8﹣x）2=（4+x）2，
解得x=，
∴BG=．
　
28．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点D在BC边上运动，作∠ADE=∠B，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当AD=DE时，求BD的长；
（3）当AE=DE时，求BD的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）欲证明△ABD∽△DCE，只要证明∠BAD=∠CDE，∠B=∠C即可．
（2）当AD=DE时，△ABD≌△DCE，AB=DC=5，由此即可解决问题．
（3）只要证明△CAB∽△CDA，得=，求出CD即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADC=∠BAD+∠B，∠ADC=∠ADE+∠EDC
∵∠ADE=∠B
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠B=∠C
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：当AD=DE时，
由（1）知△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴AB=CD=5，
∴BD=BC﹣DC=6﹣5=1．
（3）解：当AE=DE时，可知∠EAD=∠EDA，
∵∠BAD=∠EDC，
∴∠CAB=∠CDA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDA，
∴=，
∴=，
∴CD=
∴BD=BC﹣CD=6﹣=．
　
2017年2月19日