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平行四边形的性质（第1课时）
鲁教版八年级上册第五章
学习目标
1.会利用公理和已有的定理证明平行四边形的性质定理.
2.会利用平行四边形的性质定理证明其他问题.
3.体会在证明的过程中所运用的归纳、类比、转化的数学思想方法.
平行四边形性质定理的证明及应用.
平行四边形的性质
重点
1.已知□ABCD，根据下列条件填空：若∠A
=120°
则∠B=
___，∠C=
___，∠D=
_____．
2.如图，有一块□ABCD玻璃，不小心把EDF部分
打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，
∠B=65°，则DE=____，∠D=_____．
3.如图，在□ABCD中．对角线AC，BD相交
于O点，ＡC=14，BD=8，AB=10，则△AOB
的周长为___________．
B
C
A
D
D
A
B
C
O
环节一
知识链接
评测练习
1.已知：如图，四边形ABCD是平行
四边形．
求证：AB=CD，BC=AD．
环节二
探索证明
评测练习一
B
C
A
D
小组合作探究完成下列问题：
1.在刚才的证明过程中你还同时证得了平行四边形的哪个性质定理？
2.在证明这个性质的时候你还有其他的证明方法吗？组内分享一下
3.上述两个定理如何用文字和符号言来表述？小组交流一下.
小组合作学习任务单
已知：如图，四边形ABCD是平行四
边形．
求证：∠A
=∠C，∠B
=∠D.
注意：一题多法
B
C
A
D
例1：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
环节二
探索证明
评测练习二
回思：这道题中共有多少对全等三角形？
1.已知，如图，在□ABCD中，E，F为对角线BD上的两
点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
求证：AE=CF．
环节三
迁移应用
评测练习一
B
C
D
E
F
A
回思：此题再有没有其他的证明方法？
如图，在□ABCD中，E，F为对角线BD上的两点,去掉上题中AE⊥BD，CF⊥BD这个条件，请补充一个条件(不再添加任何新的线段和字母）使原来的结论AE=CF仍然成立，这个条件是_____
．
（只填一个条件即可）并说你的理由．
环节三
拓展变式
评测练习
小组合作探究：
你们小组共有多少种添加方法？并说明你的理由．
B
C
D
E
F
A
2.已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与边AB，CD分别相交于点E，F．
求证：OE=OF．
A
B
C
D
O
E
F
●
●
●
1
2
3
4
环节三
迁移应用
评测练习二
若将“过点O
的直线与边AB，CD分别相交于E，F”改为过O点的直线与DA，BC的延长线分别相交于点E，F
两点（如图2），OE=OF
吗？试说明理由．
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
（1）
（2）
●
●
●
●
环节三
拓展变式
评测练习
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
●
●
●
●
结论：过平行四边形对角线交点的直线与平行四边形的边或延长线相交所得的两条线段相等.
探究发现：
思考：OE与OF相等吗？
借助思维导图
谈一下本节课你有哪些收获和体会？
回顾反思
已知：如图，在□ABCD中，O是对角线BD的中点，过点O
的直线EF与边AB，CD分别相交于点E，F，
过O
点的直线MN，分别交边AD，BC于M，N，连接EN，MF.
猜想：EN与MF的关系，并证明.
课后拓展性作业
B
A
D
F
E
C
N
M
O《平行四边形的性质》评测练习
学习过程
评测内容
环节一
知识链接
导入新课已知□ABCD，根据下列条件填空：若∠A
=120°，则∠B=
_____，∠C=
_____，∠D=
_____．2．如图，有一块□ABCD玻璃，不小心把
( http: / / www.21cnjy.com )EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=65°，则DE=____，∠D=_____．3．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，ＡC=14，BD=8，AB=10，则△AOB的周长为___________．
环节二
情境再现
探索证明已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，BC=AD．
回思归纳：平行四边形性质定理:_________________________．用符号语言表示为：__________________________．还能证得平行四边行性质定理:_________________．用符号语言表示为：__________________________．例1
已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O．求证：OA=OC，OB=OD．回思归纳：平行四边行性质定理:_________________________．用符号语言表示为：__________________________．证明两条线段相等的一种重要的方法是__________．此题有______对全等三角形？
环节三
迁移应用
拓展思维1．已知：如图，在□ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．求证：AE=CF．回思：你还有其他的证明方法吗？拓展变式：若去掉上题中AE⊥BD，CF⊥BD这个条件，请补充一个条件(不再添加任何新的线段和字母）使原来的结论仍然成立，这个条件是_____．（只填一个条件即可）并说你的理由．已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与边AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．拓展变式：若将“过点O的直线与边AB，CD分别相交于点E，F．”改为“过O点的直线与DA，BC的延长线分别相交于点E，F两点．OE=OF吗？并说明理由．
B
C
A
D
D
A
B
C
O
B
C
A
D
A
B
C
D
O
1
2
3
4
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
A
D
B
C
F
E
O
F
E
A
B
D
C
O《平行四边形的性质》教学设计
师：很高兴能和同学们一起来研究平行四边形的性质定理，下面请同学们浏览一下本节课我们的学习目标（师投影学习目标）．请同学独立完成下面3个问题
环节一：知识链接
导入新课
1．已知□ABCD，根据下列条件填空：若∠A
=120°，
则∠B=
_____，∠C=
_____，∠D=
_____．
2．如图，有一块□ABCD玻璃，不小心把EDF部分打
碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=65°，
则DE=____，∠D=_____．
3．如图，在□ABCD中．对角线AC，BD相交于O点，
ＡC=14，BD=8，AB=10，则△AOB的周长为___________．
（生独立做完，小组交流答案)
师：这3道题都与哪个几何图形有关呢？
生：平行四边形．
师：什么是平行四边形？
生：有两组对边分别平行的四边形．
师：从平行四边形的定义可以看出两组对边平行既是平行四边形的性质，又是平行四边行的判定．
师：平行四边形是中心对称图形吗 如果是，你能找出它的对称中心吗
生：是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心．
师：那么平行四边形的边、角、对角线有哪些性质呢？
生：回答三条性质．
师：板书三条性质．
设计意图：通过解决具体问题，由特殊到一般
( http: / / www.21cnjy.com )，让学生回忆这些具体的问题都用到了平行四边形的哪些性质？引入新课，开启学生的思维．激发学生的兴趣，调动学生的学习积极性．
环节二：情境再现
探索证明
刚才我们复行四边形的性质，这些性质我们在初二是
通过用测量、平移、旋转等方法直观得到的（微课视频动画演示）．
我们知道，要判断一个命题是否为真命题，只依靠观察、测量、平移、旋转等直观方法得到还是不够的，必须要经过严格的推理证明．
这节课首先我们要用推理的方法证明平行四边形的性质．请同学们完成下面的问题．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，BC=AD．
回思归纳：通过证明得到平行四边行性质定理:__________________．
用符号语言表示为：_______________________________．
同时还能证得平行四边行性质定理:__________________．
用符号语言表示为：_______________________________．
预设此题处理过程：
1．请一位同学板演证明过程，其他同学独立完成．（法一：连接BD）
2．请这位学生交流证题思路，其他学生评价．
3．师抛出问题，师生共同总结：
（1）你是如何想到“连接BD”这种方法的？（添加辅助线，将证线段问题转化为证三角形全等）
（2）其他的同学还有别的证明方法吗？（也可以连接AC）这两种证法有共同的思路吗？（添加辅助线，把四边形转化为三角形，构造全等三角形）．
（3）通过刚才的证明，我们还能同时证得平行四边形的哪条性质呢？（对角相等）
（4）在证明平行四边形的对角相等的时候，同学们还有别的证明方法吗？请同学到讲台展示不同的证法．
（法一：是利用平行线的性质和同角的补角相等；法二：是利用平行线的性质和等量代换）
4．学生自主订正完善．
刚才我们证明了平行四边形的两个性质，它们将作为定理，在以后的证题过程中我们可以直接利用。
请同学说一下这两个定理的条件和结论，如何用符号语言来表示？
从刚才的证题过程中，我发现同学们的思维非常活跃，同一个问题我们可以用不同的方法来证明。下面请同学完成例1
例1
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
对角线AC，BD交于点O
求证：OA=OC，OB=OD．
回思归纳：通过证明得到平行四边形性质定理：__________________．
用符号语言表示为：_______________________________．
证明两条线段相等的一种重要的方法是_______________．
预设此题处理过程：
1．学生独立完成．
2．请同学展示，评价．
3．请一同学展示证题过程．
师抛出问题：
（1）在证明过程中，你用到了平行四边形的哪条性质定理（平行四边形的对边平行且相等）
对该同学成果进行评价，同时师投影展示学生错误证明过程，集体评价（实物投影）．
（2）其他同学还有别的证明方法吗？（也可以证另外一对三角形全等）你是如何想到的？（线段OA、OC还可以放在另外一对三角形中）？
（3）这道题中一共有多少对全等三角形？(4对)
通过例1，我们又证明了平行四边形的第三个性质定理．
请同学找出定理的条件和结论，并用符号语言表示．
设计意图：通过观看微视频，动画演示，再现初
( http: / / www.21cnjy.com )二通过平移、旋转等直观方法得到的平行四边形的性质，让学生知道定理仅靠经验、观察、测量、平移、旋转等直观方法得到是不够的，让学生清楚推理证明的必要性．放手让学生独立完成证明过程，目的在于培养学生自主探索证明的能力，学生展示完证题思路后，又通过问题串的形式，注重引导学生进行解题分析，培养学生分析问题的能力，让学生总结出“证两条线段相等”的思路．采用合作探究的学习方式，充分发挥生生之间的交流学习，培养思维的广度,激发求知欲．组内相互交流，组与组之间互相补充，培养学生的分析推理及合作交流的能力．通过审视学生的证明过程，发展学生勇于质疑、严谨求实的科学态度．让学生体会到证明定理的必要性和学习定理的意义所在．通过让学生展示用不同方法证明平行四边形对角相等，平行四边形对角线互相平分,开阔学生思维，让学生懂得一题多法．对定理总结和归纳及符号语言的运用，目的是规范学生的证明步骤，使学生养成条理、严谨的表达习惯．
生成问题及应对措施：
［问题1］师让此同学说出“如何想到连接BD
( http: / / www.21cnjy.com )？”时，生若回答不上来，师可继续点拨．这道题要证明AB和CD两条线段相等，而在本题的条件和图形中，并不能根据公理和已有的定理直接证出结论，我们先来回顾一下证明两条段相等都有哪些方法？哪位同学起来说一下？哪位同学还有补充，（方法：利用等腰三角形等角对等边，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等），而在本题的条件和图形中，并不直接具备这些方法，那么我们如何解决？（添加辅助线将未知转化为已知使问题得证）．刚才这位同学的方法：连接BD，就充当了将平行四边形转化为三角形的一个桥梁，从而利用三角形全等将问题得证．
［问题2］师问“在在证明平
( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的对角相等的时候，同学们还有别的证明方法吗？请同学到讲台展示不同的证法．”学生可能对方法二：利用平行线的性质和等量代换找不到思路，师可引导让学生回思证角相等的方法有哪些？然后小组合作探究．
［问题3］学生证明过程中证明步骤不严谨，教师可通过展示错例剖析进行补救．
下面我们利用平行四边形的三个定理证明其他的问题，请同学们完成第1题
环节三:迁移应用
拓展思维
1．已知：如图，在□ABCD中，E，F为对角线BD上的两点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
求证：AE=CF．
友情提示：同学们要注意一题多法．
预设此题处理过程：
1．请一位同学板演证明过程，其他同学独立完成．
2．教师请这位同学交流证题思路，其他学生评价．
3．师提出问题：
（1）在证明过程中你用到了平行四边形的哪些性质定理？
（2）此题还有别的证明方法吗？
4．请同学下来展示不同证法，集体评价．（也可以证AE和CF所在的另外一个三角形全等；还可以连接AC，构造AE和CF所在的新的三角形全等）
归纳总结：这三种证明方法有没有共同的思路？
(
把证线段相等转化为证三角形全等)
拓展变式：若去掉上题中AE⊥BD，CF
( http: / / www.21cnjy.com )⊥BD这个条件，请补充一个条件(不再添加任何新的线段和字母）使原来的结论仍然成立，这个条件是_____．（只填一个条件即可）并说你的理由．
预设此题处理过程：
1．请同学独立寻找条件．
2．小组合作交流各自填加的条件及证明方法．
3．小组展示、集体交流、评价．
师总结：这道题属于条件开放题，解决
( http: / / www.21cnjy.com )这种开放性问题的一般思路是：采用逆向思维，从要得到的结论出发，结合图形和已具备的条件，挖掘要想使这个结论成立还需要具备哪些新条件，同学们要从多个方向寻求条件，这样的问题往往不止一个答案。
下面请同学完成第2题
2．已知：如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，过点O的直线与边AB，CD分别相交于点E，F．
试探究OE与OF的大小关系，并证明你的结论．
回思：在证明过程中用到了平行四边形的哪条性质定理？
预设此题处理过程：
1．请同学投影展示证明过程．
2．师提出问题：
其他的同学还有别的证明方法吗？（也可以证另外一对三角形全等）你是如何想到的？（线段OE、OF还可以放在另外一个三角形中）
拓展变式：
若将“过点O的直线与边AB，CD分别相交于点E，F”
改为“过O点的直线与DA，BC的延长线分别相交于点
E，F两点．上述结论是否成立？并说明理由．
探究发现：通过这两道题我们发现过平
( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的对角线交点O作直线与平行四边形的任意一组对边或对边的延长线相交，得到的线段OE与OF有怎样的数量关系？
预设此题处理过程：
请同学独立寻找思路和证明方法．
小组交流你的结论和证法
师动画演示，引导学生与原图形进行类比．已知条件变了，图形变了，但是思路不变，证法不变，结论不变．
设计意图：通过第1题和第2题的原题，运用平行
( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质定理及三角形全等进行论证和解决问题．使学生能够结合图形，运用综合法，从已知条件出发，经过推理论证得出结论，以此加强推理论证能力，并进一步体会定理的作用．通过一题多法，使学生享受到数学思路的创新美，第1题对学生想出连接对角线的证法要给予高度评价，借此调动学生深钻多思的学习积极性．第1题拓展变式属于条件开放题，主要培养学生分析型思维方式，引导学生逆向思维从问题的结论出发，结合图形和已具备的条件，挖掘使结论成立所需要的新条件，多方向寻求条件．第2题拓展变式，进行一题多变的教学，可使学生将所学知识纵向加深，横向沟通，根据变化了的情况及时调整和改变原来的思维方向，不受思维定势的消极影响，进行积极思索，提高课堂教学的容量，有利于培养学生思维变通和创新意识能力．教师通过动画演示所有情况，揭示有些数学问题虽然已知条件变了，图形变了，但是思路不变，证法不变，结论不变．结论应用题，让学生掌握通性、通法，用探究过的结论，来解决其他问题，对学生今后解决有关问题起到事半功倍的效果．
生成问题及应对措施：
［问题1］对于一题多法，可能大部分同学找不到其他方法，可采用小组合作的方式解决
［问题2］第1题中的拓展变
( http: / / www.21cnjy.com )式题属于条件开放问题，学生可能找不到解题的思路，教师要在引导学生解题分析上下功夫．请同学思考本题的结论是什么？由已知条件可以得到哪些结论？要证得这个结论，还需要填加一个条件．引导学生逆向思维从问题的结论出发，结合图形和已具备的条件，挖掘使结论成立所需要的新条件，多方向寻求条件
［问题3］对于一题多变有
( http: / / www.21cnjy.com )些同学可能与原图形在图形上、思路上、证法上、结论上，形不成类比．教师可通过动画演示所有情况，揭示些问题虽然已知条件变了，图形变了，但是思路不变，证法不变，结论不变．
环节四：知识梳理
回顾反思
1．通过本节课的学习，在解题策略或数学思想方法方面你有哪些收获和体会？与大家共同分享．
2．教师评价总结并激励学生．
师：投放思维导图
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设计意图：采用谈话式小结，通过思维导图引导学生对所学知识有一个完整系统的认识，锻炼学生的归纳表达能力，使学生养成及时反思的学习习惯．
生成问题及应对措施：
[问题]一节课的知识点比较多，学生及时回思到所学过的知识难度较在大．
教师借助思维导图引导学生对本节课进行知识梳理、回顾反思．
环节五：布置作业
巩固成果
必做题：练习册78页知识巩固
第1、2、3题．
选做题：拓展延伸
第5题．
设计意图：对本节课所学定理进行应用练习，选做题的设计，满足了不同层次学生的学习需求．
附：板书设计
B
C
A
D
D
A
B
C
O
B
C
A
D
A
B
C
D
O
1
2
3
4
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
A
D
B
C
F
E
O
F
E
A
B
D
C
O
平行四边形
学生板书
（定理证明）
性质定理：平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
