14.1.1直角三角形三边的关系达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一勾股定理
1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ( )21世纪教育网版权所有
A.5 B.6 C.7 D.25
2.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D.则CD的长为 ( )21·cn·jy·com
A. B. C. D.
3.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 .
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离为 .21教育网
5.小明将一副三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,求AC的长.
6.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=3,BC=2,求BD的长.
题组二勾股定理的验证及实际应用
1.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是 ( )
A.黄金分割 B.垂径定理
C.勾股定理 D.正弦定理
2.如图,在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有 ( )21cnjy.com
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
3.如图,为修通铁路凿通隧道AC,测量出∠ACB=90°,AB=15km,BC=12km,若每天凿隧道0.3km,则凿通隧道AC需要 ( )www.21-cn-jy.com
A.10天 B.20天
C.25天 D.30天
4.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是 尺.
【鉴前毖后】已知直角三角形的三边长为6,8,x,则以x为边长的正方形的面积为 .
(1)错因:______________________________________________
(2)纠错:______________________________________________
___________________________________________________________
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,周长为60,斜边与一条直角边之比为13∶5,则这个三角形三边长分别是 ( )2·1·c·n·j·y
A.25,23,12 B.13,12,5
C.10,8,6 D.26,24,10
2.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( )
A. B. C.4 D.5
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.5
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B′处,则BE的长为 .
5.如图,有两棵树,一棵高12m,另一棵高6m,两树相距8m,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 m.
6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 .【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.21·世纪*教育网
求证:AB=BC.
8.(8分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.在射线BC上取一点D,使得△ABD为等腰三角形,并请你求出△ABD的周长.
【培优训练】9.(10分)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣,如图所示,AB为
Rt△ABC的斜边,四边形ABGM,APQC,BCDE均为正方形,四边形RFHN是长方形,若BC=3,AC=4,则图中空白部分的面积是多少?
14.1.1直角三角形三边的关系达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一勾股定理
1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ( )21教育网
A.5 B.6 C.7 D.25
【解析】选A.如图,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得,AB===5.
2.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D.则CD的长为 ( )2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
【解题指南】解答本题的两个关键
(1)先由△ABC的面积算出BD的长.
(2)再在△BCD中,根据勾股定理求CD的长.
【解析】选C.如图,由勾股定理得AC==.
∵BC×2=AC·BD,即×2×2=×BD
∴BD=.
在Rt△BCD中,由勾股定理知,CD==.
3.已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 .
【解析】当3,4为直角边时,则第三边是斜边,其长为5;当长为4的边是斜边时,第三边是直角边,其长是.故第三边长为5或.
答案:5或
【易错警示】本题容易遗漏长度为4的边是斜边的情况.
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离为 .21cnjy.com
【解析】作DE⊥BC于点E,则DE的长度就是点D到BC的距离,∵∠A=90°,
∴AD===3.
∵BD平分∠ABC交AC于点D,
∴DE=AD=3,
即点D到BC的距离为3.
答案:3
5.小明将一副三角板如图所示摆放在一起,发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长,若已知CD=2,求AC的长.
【解析】∵BD=CD=2,
∴BC==2.
∴设AB=x,则AC=2x,
∴x2+(2)2=(2x)2,
∴x=,AC=2AB=.
6.如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=3,BC=2,求BD的长.
【解析】
根据题意CD2=AC2-AD2=32-(2BD)2=9-4BD2,CD2=BC2-BD2=22-BD2=4-BD2,
∴9-4BD2=4-BD2,解得BD2=,∴BD=.
题组二勾股定理的验证及实际应用
1.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,它解决的数学问题是 ( )
A.黄金分割 B.垂径定理
C.勾股定理 D.正弦定理
【解析】选C.赵爽“弦图”解决的数学问题是勾股定理.
2.如图,在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中,从A点到B点只能沿图中的线段走,那么从A点到B点的最短距离的走法共有 ( )21·世纪*教育网
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
【解析】选C.根据题意得出最短的路程,最短路程长为+1=2+1,
则从A点到B点的最短距离的走法共有3种.
3.如图,为修通铁路凿通隧道AC,测量出∠ACB=90°,AB=15km,BC=12km,若每天凿隧道0.3km,则凿通隧道AC需要 ( )www-2-1-cnjy-com
A.10天 B.20天
C.25天 D.30天
【解析】选D.在Rt△ABC中,AC===9(km),
所以所需要的天数为9÷0.3=30(天).
4.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是 尺.
【解析】如图把这个圆柱展开,一条边(即木棍的高)长20尺,
另一条边长为5×3=15(尺),因此葛藤长
=25(尺).
答案:25
【鉴前毖后】
已知直角三角形的三边长为6,8,x,则以x为边长的正方形的面积为 .
(1)错因:______________________________________________
(2)纠错:______________________________________________
___________________________________________________________
答案: (1)认为x为斜边,漏掉x为直角边的情况.
(2)由于x是直角边还是斜边不确定,故需分情况讨论:①当x为斜边时,由勾股定理得62+82=x2,即x2=100.②当x为直角边时,由勾股定理得62+x2=82,即x2=28,即以x为边长的正方形的面积为100或28.
答案:100或28
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,周长为60,斜边与一条直角边之比为13∶5,则这个三角形三边长分别是 ( )21世纪教育网版权所有
A.25,23,12 B.13,12,5
C.10,8,6 D.26,24,10
【解析】选D.设斜边长为13x,一条直角边的长为5x,则由勾股定理可知另一条直角边的长为=12x,所以13x+12x+5x=60,x=2,所以这个三角形三边长分别是26,24,10.
2.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为 ( )
A. B. C.4 D.5
【解析】选C.设BN=x,则依据折叠原理可得DN=AN=9-x,又D为BC的中点,所以BD=3,在Rt△BND中,利用勾股定理,可得BN2+BD2=DN2,则有32+x2=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.21·cn·jy·com
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 ( )
A. B.4 C. D.5
【解析】选C.如图,过点C作CM⊥AB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q,
∵AD是∠BAC的平分线.
∴PQ=PM,这时PC+PQ有最小值,即CM的长度,
∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°,
∴AB===10.
∵S△ABC=AB·CM=AC·BC,
∴CM===,
即PC+PQ的最小值为.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B′处,则BE的长为 .
【解析】在Rt△ABC中,BC2=AC2-AB2=52-32=16,所以BC=4,由折叠的性质得:BE=www.21-cn-jy.com
B′E,AB=AB′,设BE=x,则B′E=x,CE=4-x,B′C=AC-AB′=AC-AB=2,
在Rt△B′EC中,B′E2+B′C2=EC2,
即x2+22=(4-x)2,解得x=.
答案:
5.如图,有两棵树,一棵高12m,另一棵高6m,两树相距8m,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行 m.
【解题指南】解决本题的关键是构造直角三角形,运用勾股定理求解,连接两个树顶,并以其为斜边构造直角三角形.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】如图,设大树高为AB=12m,小树高为CD=6m,过C点作CE⊥AB于E,则四边形EBDC是长方形,连接AC,所以EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m).在2-1-c-n-j-y
Rt△AEC中,AC2=62+82=100,所以AC=10(m),故小鸟至少飞行10m.
答案:10
6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 .21*cnjy*com
【解析】如图,根据勾股定理的几何意义,可得A,B的面积和为S1,C,D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=2+5+1+2=10.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:10
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.【出处：21教育名师】
求证:AB=BC.
【证明】连接AC,
∵∠ABC=90°,
∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD,
∴AD2+CD2=AC2.
∵AD2+CD2=2AB2,
∴AB2+BC2=2AB2,
∴AB=BC.
8.(8分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.在射线BC上取一点D,使得△ABD为等腰三角形,并请你求出△ABD的周长.
【解析】在Rt△ABC中,AB==10,
①如图1,
当AB=AD=10时,CD=BC=6,
得△ABD的周长为32.
②如图2,
当AB=BD=10时,得CD=4,
在Rt△ACD中,AD===4,
∴△ABD的周长为(20+4).
③如图3,
当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,
在Rt△ACD中,AD2=CD2+AC2,
即x2=(x-6)2+82,解得:x=,
则△ABD的周长为.
【培优训练】
9.(10分)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣,如图所示,AB为
Rt△ABC的斜边,四边形ABGM,APQC,BCDE均为正方形,四边形RFHN是长方形,若BC=3,AC=4,则图中空白部分的面积是多少?
【解析】如图,在Rt△ABC中,
BC=3,AC=4,则根据勾股定理得到AB=5.
延长CB交FH于O,
因为四边形ABGM,APQC,BCDE均为正方形,
所以BG=AB=GM,∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB=90°,
BC∥DE,所以∠BOG=∠F=90°,
所以∠CAB+∠ABC=90°,
∠ABC+∠GBO=180°-90°=90°,
所以∠CAB=∠GBO,
在△ACB和△BOG中,∠CAB=∠GBO,∠ACB=∠BOG,AB=BG,
所以△ACB≌△BOG(AAS),
所以AC=OB=4,OG=BC=3,
同理可证△MHG≌△GOB,
所以MH=OG=3,HG=OB=4,
所以FR=4+3+4=11,FH=3+3+4=10,
所以S空白=S长方形HFRN-S正方形BCDE-S正方形ACQP-
S正方形ABGM=11×10-3×3-4×4-5×5=60.
