14.1.2直角三角形的判定 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一直角三角形的判定
1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是 ( )
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
C.2,3,4 D.1,,3
2.如图,AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC等于 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
3.下列各组数据分别为三角形的三边长:①2,3,5;②5,12,13;③5,6,8;
④m2-n2,m2+n2,2mn(m>n且均为正整数).其中是直角三角形的有 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
4.若一个三角形的三边长的平方分别为:32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是 ( )21教育网
A.42 B.52 C.7 D.52或7
5.观察下列各式:32+42=52;82+62=102;152+82=172;242+102=262;…;你有没有发现其中的规律?请用你发现的规律写出接下来的式子.
6.如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,∠B=90°,AD=CD=5,求四边形ABCD的面积.21·世纪*教育网
题组二勾股定理的逆定理的应用
1.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和底边上的高的长,但他把这三个数据与其他的数据弄混了,请你帮助他找出来,是 ( )2·1·c·n·j·y
A.13,12,12 B.12,12,8
C.13,10,12 D.5,8,4
2.如果三角形的三边长分别为5,m,n,且满足(m+n)(m-n)=25,那么这个三角形是 ( )www-2-1-cnjy-com
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
3.在△ABC中,AB=2k,AC=2k+1,BC=3,当整数k= 时,∠B=90°.
4.若一个三角形的三边之比为9∶40∶41,且周长为180cm,则它的面积为 cm2.
5.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,试说明:AF⊥EF.
6.如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BPQ的面积为多少?21cnjy.com
【鉴前毖后】已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.2-1-c-n-j-y
(1)错因:_____________________________________.
(2)纠错:_____________________________________
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B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题3分,共12分)
1.①7,24,25;②8,15,19;③0.6,0.8,1.0;④3n,4n,5n(n>1,且n为自然数).上面各组数中,勾股数有 ( )21*cnjy*com
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.某住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且AB⊥BC,这块草坪的面积是 ( )
A.24m2 B.36m2 C.48m2 D.72m2
3.蜂巢的构造非常美丽、科学,如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC是直角三角形的个数有 ( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(c2-a2-b2)2+|a-b|=0.则△ABC的形状为 .21世纪教育网版权所有
5.如图,在四边形ABCD中,AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠ABC=90°,则∠DAB的度数是 °.21·cn·jy·com
6.观察下列勾股数
第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1
第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1
第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1
第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1
…
观察以上各组勾股数组成特点,第7组勾股数是 ;第n组勾股数是 .
【互动探究】上题中,第10组勾股数是 .
三、解答题(共26分)
7.(8分)如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试说明这个三角形是直角三角形.
8.(8分)如图,P是等边△ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
【培优训练】9.(10分)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求四边形ABCD的面积.www.21-cn-jy.com
14.1.2直角三角形的判定 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一直角三角形的判定
1.下列四组线段中,可以构成直角三角形的是 ( )
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
C.2,3,4 D.1,,3
【解析】选B.∵42+52=41≠62,1.52+22=6.25=2.52,22+32=13≠42,12+()2=3≠32,∴A,C,D中的线段不能构成直角三角形,故选B.
2.如图,AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC等于 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】选D.∵AD为△ABC的中线,
∴BD=5,∴BD2+AD2=AB2,
∴三角形ADB为直角三角形,
∴∠ADB为直角,∴△ABD≌△ACD,
∴AC=AB=13.
3.下列各组数据分别为三角形的三边长:①2,3,5;②5,12,13;③5,6,8;
④m2-n2,m2+n2,2mn(m>n且均为正整数).其中是直角三角形的有 ( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】选D.利用直角三角形的判定定理易得②④可组成直角三角形.
4.若一个三角形的三边长的平方分别为:32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是 ( )21cnjy.com
A.42 B.52 C.7 D.52或7
【解析】选D.x为斜边时,x2=32+42=52;x为直角边时,x2=42-32=7.
5.观察下列各式:32+42=52;82+62=102;152+82=172;242+102=262;…;你有没有发现其中的规律?请用你发现的规律写出接下来的式子.
【解析】观察等式的规律,可分别观察等式的左边:第一个底数分别为:3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,第n个式子的第一个底数为(n+1)2-1,第二个底数是4,6,8…连续的偶数.右边的底数是比左边的第一个底数大2的数,根据规律即可写出下一个式子是:352+122=372.
【知识归纳】常见的勾股数组
a
b
c
条件
2mn
m2-n2
m2+n2
m>n,且m,n都是正整数
2n+1
2n2+2n
2n2+2n+1
n是正整数
2n
n2-1
n2+1
n>1且是正整数
注意:常见勾股数组的正整数倍的数组仍是勾股数.
6.如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,∠B=90°,AD=CD=5,求四边形ABCD的面积.2·1·c·n·j·y
【解析】连接AC,在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,∠B=90°.
∴AC===10,
在△ADC中,AD=CD=5.
∴AD2+DC2=(5)2+(5)2=100,
又∵AC2=102=100,∴AD2+DC2=AC2.
所以∠ADC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·DC
=×8×6+×5×5=24+25=49.
【知识归纳】在解决有关求面积问题时,常通过添加辅助线,把不规则图形的面积转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之和.21·世纪*教育网
题组二勾股定理的逆定理的应用
1.一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和底边上的高的长,但他把这三个数据与其他的数据弄混了,请你帮助他找出来,是 ( )2-1-c-n-j-y
A.13,12,12 B.12,12,8
C.13,10,12 D.5,8,4
【解析】选C.A.132≠62+122,错误;
B.122≠62+82,错误;
C.132=52+122,正确;
D.52≠42+42,错误.
2.如果三角形的三边长分别为5,m,n,且满足(m+n)(m-n)=25,那么这个三角形是 ( )【版权所有：21教育】
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
【解析】选B.因为(m+n)(m-n)=25,所以m2-n2=52,即n2+52=m2,所以三角形是直角三角形.21*cnjy*com
3.在△ABC中,AB=2k,AC=2k+1,BC=3,当整数k= 时,∠B=90°.
【解析】若∠B=90°,则AC2=AB2+BC2,
即(2k+1)2=(2k)2+32.解得k=2.
答案:2
4.若一个三角形的三边之比为9∶40∶41,且周长为180cm,则它的面积为
cm2.
【解析】设三角形的三边分别为9xcm,40xcm和41xcm,由题意得9x+40x+41x=180,解得x=2.则9x=18,40x=80,41x=82.因为182+802=822,所以此三角形为直角三角形,所以这个三角形的面积为×18×80=720(cm2).
答案:720
5.如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC,试说明:AF⊥EF.
【解析】连接AE,设正方形边长为a,
则DF=FC=,EC=,
在Rt△ECF中,有EF2=+=a2,
同理可得:在Rt△ADF中,有AF2=+a2=a2,
在Rt△ABE中,有BE=a-a=a,
所以AE2=a2+=a2,
所以AF2+EF2=AE2,
所以∠AFE=90°,即AF⊥EF.
6.如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3秒时,△BPQ的面积为多少?【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,因为周长为36cm,AB+BC+AC=36,所以3x+4x+5x=36,得x=3,所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm.因为AB2+BC2=AC2,所以△ABC是直角三角形,过3秒时,BP=9-3×1=6(cm),BQ=2×3=6(cm),
所以S△BPQ=BP·BQ=×6×6=18(cm2).
【鉴前毖后】
已知a,b,c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
(1)错因:_____________________________________.
(2)纠错:_____________________________________
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答案: (1)遗漏了a2-b2=0这种情况.
(2)∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),
当a2-b2=0时,得a=b,△ABC为等腰三角形;
当a2-b2≠0时,c2=a2+b2,△ABC为直角三角形,
所以,△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题3分,共12分)
1.①7,24,25;②8,15,19;③0.6,0.8,1.0;④3n,4n,5n(n>1,且n为自然数).上面各组数中,勾股数有 ( )21世纪教育网版权所有
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【解析】选B.①因为72+242=252,且7,24,25都是正整数,所以7,24,25是勾股数;②因为82+152≠192,所以8,15,19不是勾股数;③因为0.6,0.8,1.0不是正整数,所以0.6,0.8,1.0不是勾股数;④因为(3n)2+(4n)2=25n2=(5n)2(n>1,且n为自然数),且它们都是正整数,所以3n,4n,5n(n>1,且n为自然数)是勾股数.【来源：21·世纪·教育·网】
【特别提醒】判断勾股数要看两个条件,一看能否满足a2+b2=c2,二看是否都是正整数,这两者缺一不可.www-2-1-cnjy-com
2.某住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m,且AB⊥BC,这块草坪的面积是 ( )
A.24m2 B.36m2 C.48m2 D.72m2
【解析】选B.连接AC,则由勾股定理得AC=5m,
因为AC2+DC2=AD2,
所以∠ACD=90°.
这块草坪的面积=AB·BC+AC·DC=(3×4+5×12)=36m2.
3.蜂巢的构造非常美丽、科学,如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六边形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上.设定AB边如图所示,则△ABC是直角三角形的个数有 ( )
A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
【解析】选C.如图,AB是直角边时,点C共有6个位置,
即,有6个直角三角形,
AB是斜边时,点C共有2个位置,
即有2个直角三角形,
综上所述,△ABC是直角三角形的个数有6+2=8个.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(c2-a2-b2)2+|a-b|=0.则△ABC的形状为 .【出处：21教育名师】
【解析】由(c2-a2-b2)2+|a-b|=0可得c2-a2-b2=0,a-b=0,所以c2=a2+b2,a=b.即△ABC为等腰直角三角形.21教育名师原创作品
答案:等腰直角三角形
5.如图,在四边形ABCD中,AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且∠ABC=90°,则∠DAB的度数是 °.
【解析】设AB=2a,BC=2a,CD=3a,DA=a.
因为∠ABC=90°,AB=BC,
所以∠BAC=∠BCA=45°,
在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=(2a)2+(2a)2=8a2,
AD2=a2,CD2=(3a)2=9a2.
所以AC2+AD2=CD2,
所以△ACD是以∠CAD为直角的直角三角形,
所以∠CAD=90°,
所以∠DAB=∠BAC+∠CAD
=45°+90°=135°.
答案:135
6.观察下列勾股数
第1组:3=2×1+1,4=2×1×(1+1),5=2×1×(1+1)+1
第2组:5=2×2+1,12=2×2×(2+1),13=2×2×(2+1)+1
第3组:7=2×3+1,24=2×3×(3+1),25=2×3×(3+1)+1
第4组:9=2×4+1,40=2×4×(4+1),41=2×4×(4+1)+1
…
观察以上各组勾股数组成特点,第7组勾股数是 ;第n组勾股数是 .
【解析】通过观察,得出规律:这类勾股数分别为2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1,由此可写出第7组勾股数:2×7+1=15,2×7×(7+1)=112,2×7×(7+1)+1=113,即15,112,113;第n组勾股数是2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1.www.21-cn-jy.com
答案:15,112,113 2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1
【互动探究】上题中,第10组勾股数是 .
提示:当n=10时,这组勾股数分别是2×10+1=21,2×10×11=220,2×10×11+1=221.21教育网
答案:21,220,221
三、解答题(共26分)
7.(8分)如果一个三角形的三边长a,b,c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试说明这个三角形是直角三角形.
【解析】将式子变形,得
a2+b2+c2+338-10a-24b-26c=0,
即a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0.
整理,得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.
因此a-5=0,b-12=0,c-13=0,
所以a =5,b=12,c=13.
因为a2+b2=52+122=132=c2,
所以这个三角形是直角三角形.
8.(8分)如图,P是等边△ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.21·cn·jy·com
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
【解析】(1)猜想:AP=CQ.
证明:在△ABP与△CBQ中,
∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°,
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC
=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.
∴△ABP≌△CBQ,∴AP=CQ.
(2)由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,
可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,连接PQ,
在△PBQ中,由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°.
∴△PBQ为正三角形,∴PQ=4a.
于是在△PQC中,
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2.
∴△PQC是直角三角形.
【培优训练】
9.(10分)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求四边形ABCD的面积.21*cnjy*com
【解析】作DE∥AB交BC于点E,连接BD,
则∠ABD=∠EDB,
∠ADB=∠EBD,
又因为BD=DB,
所以△ABD≌△EDB,
所以ED=AB=4,EB=AD=3.
因为BC=6,
所以EC=EB=3.
因为DE2+CE2=42+32
=25=CD2,
所以△DEC为直角三角形.
又因为EC=EB=3,
所以△DBC为等腰三角形,DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
所以△BDA是直角三角形.
则S△BDA=×3×4=6,
S△DBC=×6×4=12.
所以S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
