14.1.3反证法 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组反证法
1.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是
( )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 ( )
A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
3.以下可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是
( )
A.9 B.7 C.8 D.15
4.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设 .
5.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是 .
6.求证:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
7.已知:如图,直线a,b被c所截,∠1,∠2是同位角,且∠1≠∠2,求证:a不平行于b.
9.已知:直线a,b.
求证:直线a,b相交时只有一个交点A.
10.阅读下列文字,回答问题.
题目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC.
证明:假设AC=BC,因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.21·cn·jy·com
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.
【鉴前毖后】用反证法证明:若一个数小于它的绝对值,则这个数必为负数.
(1)错因:_______________________________________________.
(2)纠错:_______________________________________________.
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.用反证法证明“△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”,第一步应假设 ( )
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
2.用反证法证明:在四边形中,至少有一个内角不小于90°,应先假设 ( )
A.四边形中有一个内角小于90°
B.四边形中每一个内角都小于90°
C.四边形中有一个内角大于90°
D.四边形中每一个内角都大于90°
3.花城中学初一(1)班有50名同学,其中必然有 ( )
A.5名同学在同一个月过生日
B.5名同学与班主任在同一个月过生日
C.4名同学不在同一个月过生日
D.5名同学与班主任不在同一个月过生日
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.用反证法证明“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步是假设: .
5.用反证法证明“在△ABC中,AB=AC,则∠B必为锐角”的第一步是假设: .
6.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,要证明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为:假设 ,根据 ,一定有 ,但这与已知 相矛盾,因此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.21世纪教育网版权所有
三、解答题(共26分)
7.(8分)用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.
8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上.21教育网
【培优训练】9.(10分)试用举反例的方法说明下列命题是假命题.举例:如果ab<0,那么a+b<0.反例:设a=4,b=-3,ab=4×(-3)=-12<0,而a+b=4+(-3)=1>0,所以,这个命题是假命题.21cnjy.com
(1)如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数.
(3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三角形全等.
(画出图形,并加以说明)
14.1.3反证法 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组反证法
1.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例,正确的反例是
( )
A.∠α=60°,∠α的补角∠β=120°,∠β>∠α
B.∠α=90°,∠α的补角∠β=90°,∠β=∠α
C.∠α=100°,∠α的补角∠β=80°,∠β<∠α
D.两个角互为邻补角
【解析】选C.举反例应该是证明原命题不正确,即要举出不符合叙述的情况.
∠α的补角∠β>∠α,符合假命题的结论,故A错误;∠α的补角∠β=∠α,符合假命题的结论,故B错误;∠α的补角∠β<∠α,与假命题结论相反,故C正确;由于无法说明两角具体的大小关系,故D错误.【来源：21·世纪·教育·网】
2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设 ( )
A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交
【解析】选D.应否定结论“a∥b”,即应假设“a与b相交”.
3.以下可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题的反例是
( )
A.9 B.7 C.8 D.15
【解析】选B.∵9是奇数,但9是3的倍数,∴不能作为假命题的反例;∵7是奇数,但7不是3的倍数,∴可以用来说明命题“任何奇数都是3的倍数”是假命题;∵8是偶数,且不是3的倍数,∴不能作为假命题的反例;∵15是奇数,但15是3的倍数,∴不能作为假命题的反例.
4.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设 .
【解析】a,b的等价关系有a=b,a≠b两种情况,因而a≠b的反面是a=b,因此用反证法证明“a≠b”时,应先假设a=b.www-2-1-cnjy-com
答案:a=b
5.为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题,可以找的反例是 .
【解析】因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰,则可以找出该命题的反例,即等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
6.求证:在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等.
【证明】假设它们所对的边相等,则根据等腰三角形的性质定理,“等边对等角”知它们所对的角也相等,这就与题设两个角不等相矛盾,因此假设不成立,故原结论成立.【出处：21教育名师】
【归纳整合】运用反证法应注意的问题
1.必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的关键.
2.必须明确推理的特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准.只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束.
3.了解矛盾的种类
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题(定义或基本事实或定理或性质)相矛盾,可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等.
7.已知:如图,直线a,b被c所截,∠1,∠2是同位角,且∠1≠∠2,求证:a不平行于b.
【证明】假设a平行于b,则∠1=∠2(两直线平行,同位角相等),这与∠1≠∠2相矛盾,所以假设不成立,所以a不平行于b.
8.已知直线a,b,c,且a∥b,c与a相交,求证:c与b也相交.
【证明】假设c与b不相交,则c∥b.∵a∥b,∴c∥a,这与c和a相交相矛盾,假设不成立,所以c与b也相交.21世纪教育网版权所有
9.已知:直线a,b.
求证:直线a,b相交时只有一个交点A.
【证明】假设直线a,b相交时不止一个交点A,不妨设其他交点中有一个为B,则点A和点B在直线a上又在直线b上,那么经过点A和点B的直线就有两条,这与“过两点有且只有一条直线”相矛盾,因此假设不成立,所以直线a,b相交时只有一个交点A.21*cnjy*com
10.阅读下列文字,回答问题.
题目:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC.
证明:假设AC=BC,因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠A≠∠B.所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.21·世纪*教育网
上面的证明有没有错误?若没有错误,指出其证明的方法;若有错误,请予以纠正.
【解析】有错误.改正:假设AC=BC,则∠A=∠B,又∠C=90°,所以∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾,所以AC=BC不成立,所以AC≠BC.
【鉴前毖后】
用反证法证明:若一个数小于它的绝对值,则这个数必为负数.
(1)错因:_______________________________________________.
(2)纠错:_______________________________________________.
答案: (1)a不为负数的意义是a为非负数,而不是a为正数.
(2)设这个数为a，假设a不为负数，则a为非负数，∵一个非负数的绝对值等于它本身，∴|a|=a.这与题设矛盾，所以假设不成立，故原结论成立，即这个数为负数.2·1·c·n·j·y
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.用反证法证明“△ABC中,若∠A>∠B>∠C,则∠A>60°”,第一步应假设
( )
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
【解析】选D.∠A与60°的大小关系有∠A>60°,∠A=60°,∠A<60°三种情况,因而∠A>60°的反面是∠A≤60°.因此用反证法证明时,应先假设∠A≤60°.21·cn·jy·com
2.用反证法证明:在四边形中,至少有一个内角不小于90°,应先假设 ( )
A.四边形中有一个内角小于90°
B.四边形中每一个内角都小于90°
C.四边形中有一个内角大于90°
D.四边形中每一个内角都大于90°
【解析】选B.因为至少有一个内角不小于90°的反面是每一个角都小于90°,所以应先假设四边形中的每个内角都小于90°.
【知识归纳】反证法在简易逻辑中的适用题型
(1)唯一性命题.
(2)否定性命题.
(3)“至多”“至少”型命题.
3.花城中学初一(1)班有50名同学,其中必然有 ( )
A.5名同学在同一个月过生日
B.5名同学与班主任在同一个月过生日
C.4名同学不在同一个月过生日
D.5名同学与班主任不在同一个月过生日
【解析】选A.如果没有5名同学在同一个月过生日,那么在每个月里过生日的同学不超过4名,全班同学不超过4×12=48名,引出矛盾.所以结论A必然成立.其余结论都不一定成立.21教育网
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.用反证法证明“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步是假设: .
【解析】“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的反面是“任意三角形中能有两个内角是钝角”,所以应先假设:任意三角形中能有两个内角是钝角.21cnjy.com
答案:任意三角形中能有两个内角是钝角
【易错警示】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.2-1-c-n-j-y
5.用反证法证明“在△ABC中,AB=AC,则∠B必为锐角”的第一步是假设: .
【解析】∠B与90°的大小关系有∠B>90°,∠B=90°,∠B<90°三种情况,因而∠B<90°的反面是∠B>90°或∠B=90°.因此用反证法证明“∠B<90°”时,应先假设∠B>90°或∠B=90°.即∠B一定不是锐角(是直角或钝角).【来源：21cnj*y.co*m】
答案:∠B一定不是锐角(是直角或钝角)
6.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,要证明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为:假设 ,根据 ,一定有 ,但这与已知 相矛盾,因此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.www.21-cn-jy.com
【解析】∠C≠90°的反面是∠C=90°,在直角三角形ABC中,依据勾股定理可知AC2+BC2=AB2,这与已知AC2+BC2≠AB2相矛盾.
答案:∠C=90° 勾股定理 AC2+BC2=AB2
AC2+BC2≠AB2
三、解答题(共26分)
7.(8分)用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.
【解析】假设三角形中的外角至少有两个是锐角.当有两个是锐角时,根据三角形的外角与相邻的内角互补,知:与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,大于90°,则这两个角的度数和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相矛盾,同理当三个是锐角时也矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中,外角最多有一个锐角.【版权所有：21教育】
【方法技巧】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是:(1)假设结论不成立.(2)从假设出发推出矛盾.(3)假设不成立,则结论成立.21教育名师原创作品
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.
8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD是内角平分线,AM是BC边上的中线,求证:点M不在线段CD上.21*cnjy*com
【证明】假设点M不在线段CD上不成立,则点M在线段
CD上.延长AM到N,使AM=MN,连结BN,在△AMC和△NMB中,
BM=CM,∠AMC=∠BMN,AM=MN,∴△AMC≌△NMB(S.A.S.),
∴∠MAC=∠MNB,BN=AC.根据M在线段CD上,则∠BAM>∠MAC,
∴∠MNB<∠BAM,∴BN>AB,即AC>AB,与AB>AC相矛盾.因而M
在线段CD上是错误的.所以点M不在线段CD上.
【培优训练】
9.(10分)试用举反例的方法说明下列命题是假命题.举例:如果ab<0,那么a+b<0.反例:设a=4,b=-3,ab=4×(-3)=-12<0,而a+b=4+(-3)=1>0,所以,这个命题是假命题.
(1)如果a+b>0,那么ab>0.
(2)如果a是无理数,b是无理数,那么a+b是无理数.
(3)两个三角形中,两边及其中一边的对角对应相等,则这两个三角形全等.
(画出图形,并加以说明)
【解析】(1)反例:取a=2,b=-1,则a+b=1>0,但ab=-2<0.所以此命题是假命题.
(2)反例:取a=1+,b=1-,a,b均为无理数.
但a+b=2是有理数,所以此命题是假命题.
(3)反例:如图所示,在△ABC与△ABD中,AB=AB,AD=AC,∠ABD=∠ABC,但△ABC与△ABD显然不全等.所以此命题是假命题.
