14.2勾股定理的应用 达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一应用勾股定理解决实际问题
1.如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )
A.4dm B.2dm
C.2dm D.4dm
【变式训练】如图,有一圆柱,它的高等于8cm,底面周长等于4πcm(π=3),在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程大约为 ( )
A.10cm B.12cm
C.19cm D.20cm
2.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是 ( )21·cn·jy·com
A.3∶4 B.9∶16 C.5∶8 D.1∶2
3.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条.【来源：21·世纪·教育·网】
4.在一个长为2m,宽为1m的长方形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且大于AD,从正前方看木块是边长为0.2m的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是 m.(精确到0.01)21·世纪*教育网
5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,它想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路线的长是多少?21*cnjy*com
题组二勾股定理及其逆定理的综合应用
1.一职工下班后以50m/min的速度骑自行车沿着东西方向马路向东走了5.6min,又沿南北方向马路向南走了19.2min到家,则他的家与公司距离为 ( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长 ( )
A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm
3.小强在操场上向东走200m后,又走了150m,再走250m回到原地.小强在操场上向东走了200m后,又走150m的方向是 .
【变式训练】一轮船以16nmile/h的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12nmile/h的速度从A港向西北方向航行,经过1.5h后,它们相距 .【出处：21教育名师】
4.在新农村建设中,一农民在建房时挖了一个地基,如图是他的平面图形.按建房标准,四边形ABCD应为长方形.他在挖完后测量发现AB=DC=8cm,AD=BC=6cm,【版权所有：21教育】
AC=9cm,请你帮他看一下挖的地基是否合格.
5.如图,在公路AB旁有一座山,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m,与公路上另一停靠站B的距离为400m,且CA⊥CB.为了安全起见,爆破点C周围半径250m范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁?
6.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD,如图所示,现计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,
DA=4m,若1m2草皮需要200元,则需要投入多少元?
【鉴前毖后】如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最短路径长的平方是多少?
(1)错因:_____________________________________________.
(2)纠错:______________________________________________
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,则这条丝线的最短长度是 ( )
A.80cm B.70cm
C.60cm D.50cm
2.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )21教育网
A.12≤a≤13
B.12≤a≤15
C.5≤a≤12
D.5≤a≤13
【互动探究】如果题目直吸管长24,则露在罐外部b的长度范围是 .
3.有一张直角三角形纸片,两直角边长AC=6cm,BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE(如图),则CD等于 ( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,圆柱形容器高18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.21世纪教育网版权所有
5.小明要把一根长为70cm的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的木箱中,他能放进去吗? (填“能”或“不能”).21cnjy.com
【变式训练】木工师傅做了一个长方形桌面,量得桌面的长是60cm,宽是35cm,对角线是70cm,那么你认为这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)www.21-cn-jy.com
6.图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB附近建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?2·1·c·n·j·y
8.(8分)在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高?www-2-1-cnjy-com
【培优训练】9.(10分)如图,已知在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的高和中线,AB=9cm,AC=7cm,BC=8m,求DE的长.2-1-c-n-j-y
14.2勾股定理的应用 达标检测AB卷
A卷基础达标
课堂达标·练基础
题组一应用勾股定理解决实际问题
1.如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为 ( )
A.4dm B.2dm
C.2dm D.4dm
【解析】选A.如图,依题意,得AB=2dm,BC=×4dm=2dm,由勾股定理,得AC=2dm,∴这圈金属丝的周长最小为4dm,故应选A.
【变式训练】如图,有一圆柱,它的高等于8cm,底面周长等于4πcm(π=3),在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程大约为 ( )
A.10cm B.12cm
C.19cm D.20cm
【解析】选A.如图,展开圆柱的侧面,得到一个长方形,则AC=8cm,BC=2π=6cm,根据勾股定理得:AB=10cm,所以蚂蚁爬行的最短路程大约是10cm.21·世纪*教育网
【特别提醒】本题关键是确定B点的位置,根据BC的长度,求出AB的长.
2.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是 ( )
A.3∶4 B.9∶16 C.5∶8 D.1∶2
【解析】选C.可以设每一个小正方形的边长为1,则正方形ABCD的面积就是4×4=16,阴影部分正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出EF=,所以阴影部分正方形的面积就是()2=10.所以阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.
3.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段 条.
【解析】如图,所有长度为的线段全部画出,共有8条.
答案:8
4.在一个长为2m,宽为1m的长方形草地上,如图堆放着一根长方体的木块,它的棱长和场地宽AD平行且大于AD,从正前方看木块是边长为0.2m的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是 m.(精确到0.01)21世纪教育网版权所有
【解析】如图,由题意可知,将木块展开后AB=2+0.2×2=2.4m,BC=1m.所以AC2=AB2+BC2=2.42+12=6.76,所以AC=2.60m.所以最短路程为2.60m.
答案:2.60
5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,它想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路线的长是多少?
【解析】台阶展开成平面图形,如图所示,因为AC=3×3+1×3=12,BC=5,所以AB2=AC2+BC2=169.所以AB=13,所以蚂蚁爬行的最短路线长为13cm.21cnjy.com
题组二勾股定理及其逆定理的综合应用
1.一职工下班后以50m/min的速度骑自行车沿着东西方向马路向东走了5.6min,又沿南北方向马路向南走了19.2min到家,则他的家与公司距离为 ( )
A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m
【解析】选D.由题意知,该职工下班后向东走了5.6×50m,向南走了19.2×50m,因为东西方向与南北方向互相垂直,设该职工家与公司的距离为xm,则x2=(5.6×50)2+(19.2×50)2,解得x=1 000.
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长
( )
A.4cm B.8cm C.10cm D.12cm
【解析】选C.设斜边长为xcm,则一直角边长为x-2,根据勾股定理列出方程:62+(x-2)2=x2,解得x=10.
【知识归纳】运用勾股定理列方程的条件
当在直角三角形中,已知一条边的长和另外两边长的和差倍分关系,求其中一边时,应列方程求解.
3.小强在操场上向东走200m后,又走了150m,再走250m回到原地.小强在操场上向东走了200m后,又走150m的方向是 .
【解析】因为2002+1502=62 500=2502,所以小强走了一个直角三角形.开始他是向东走,当他再向正北或者正南走的时候,恰好构成直角.
答案:正南或正北
【变式训练】一轮船以16nmile/h的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12nmile/h的速度从A港向西北方向航行,经过1.5h后,它们相距 .www.21-cn-jy.com
【解析】1.5h后向东北方向航行的船距A港16×1.5=24(nmile),1.5h后向西北方向航行的船距A港12×1.5=18(nmile),又东北方向和西北方向成直角,设此时两船相距xnmile,由勾股定理得x2=242+182,x=30,所以1.5h后两船相距30nmile.www-2-1-cnjy-com
答案:30nmile
4.在新农村建设中,一农民在建房时挖了一个地基,如图是他的平面图形.按建房标准,四边形ABCD应为长方形.他在挖完后测量发现AB=DC=8cm,AD=BC=6cm,
AC=9cm,请你帮他看一下挖的地基是否合格.
【解析】先看∠ADC是不是直角.
在△ADC中,因为AD2+DC2=62+82=100,AC2=92=81,所以AD2+DC2≠AC2,所以△ADC不是直角三角形,所以∠ADC不是直角.但标准是长方形的四个角都应是直角,所以该农民挖的地基不合格.
5.如图,在公路AB旁有一座山,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m,与公路上另一停靠站B的距离为400m,且CA⊥CB.为了安全起见,爆破点C周围半径250m范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁?
【解题指南】要判断公路AB段是否需要封锁→需要计算点C到AB的距离与250m的大小关系→借助勾股定理和三角形的面积计算点C到AB的距离.
【解析】作CD⊥AB于D.
因为BC=400m,AC=300m,∠ACB=90°,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即3002+4002=AB2,所以AB=500m.21*cnjy*com
由三角形的面积可知:AB·CD=BC·AC,
所以500·CD=400×300,所以CD=240m.
因为240<250,即点C到AB的距离小于250m,所以有危险,公路AB段需要暂时封锁.
6.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD,如图所示,现计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,
DA=4m,若1m2草皮需要200元,则需要投入多少元?
【解析】连接BD,在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52,在△CBD中,CD2=132,BC2=122,而122+52=132,即BC2+BD2=CD2,所以∠DBC=90°,S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=AD·AB+
DB·BC=×4×3+×5×12=36.所以需费用36×200=7 200(元).
【鉴前毖后】
如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最短路径长的平方是多少?
(1)错因:_____________________________________________.
(2)纠错:______________________________________________
答案: (1)展开的面不正确,导致最短路径不正确.
(2)①展开前面到右面,由勾股定理得AB2=(2+3)2+22=29;②展开底面到右面,由勾股定理得AB2=32+(2+2)2=25;所以最短路径长的平方是25.
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,则这条丝线的最短长度是 ( )
A.80cm B.70cm
C.60cm D.50cm
【解析】选D.把圆柱的侧面展开,得到长方形ACBD,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰,则这条丝线的最短长度是长方形对角线AB的长,因为圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,
所以AB2=302+402=900+1600=2500,
所以AB=50cm.
2.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )21教育网
A.12≤a≤13
B.12≤a≤15
C.5≤a≤12
D.5≤a≤13
【解析】选A.a的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理,得:52+122=132,即最大长度为13.即a的取值范围是12≤a≤13.
【互动探究】如果题目直吸管长24,则露在罐外部b的长度范围是 .
提示:当吸管竖直时,b最大,
即b=24-12=12.
当吸管最大斜放时,b最小,
即b=24-13=11.
所以11≤b≤12.
答案:11≤b≤12
3.有一张直角三角形纸片,两直角边长AC=6cm,BC=8cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE(如图),则CD等于 ( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
【解析】选C.连接AD,设CD=xcm,
则AD=BD=(8-x)cm,
又AC=6cm,在Rt△ACD中,根据勾股定理,
得62+x2=(8-x)2,所以x=.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,圆柱形容器高18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时已知蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为 cm.21·cn·jy·com
【解析】如图,将容器的侧面展开,作A关于EF的
对称点A′,根据两点之间线段最短可知BA′的长度
即为所求.由题意知EA′=2cm,BD=18-4+2=16(cm),
A′D=12cm.所以A′B2= BD2+ A′D2=162+122=400,
所以A′B=20(cm).
答案:20
【方法技巧】求最短路线的技巧
1.一般地,求“最短路线”要把“立体问题”转化为“平面问题”.
2.利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”以及“勾股定理”的有关知识来解决问题.
5.小明要把一根长为70cm的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm,40cm,30cm的木箱中,他能放进去吗? (填“能”或“不能”).2·1·c·n·j·y
【解析】设可放入木箱中的最大长度是xcm,根据题意,得x2=502+402+302=5000,
702=4900,因为4900<5000,所以能放进去.
答案:能
【方法技巧】在长方体的内部放置一最长的直杆,其最长长度取决于长方体的长宽高,设杆最长为d,长方体长宽高分别为a,b,c,则d2=a2+b2+c2.【来源：21·世纪·教育·网】
【变式训练】木工师傅做了一个长方形桌面,量得桌面的长是60cm,宽是35cm,对角线是70cm,那么你认为这个桌面 .(填“合格”或“不合格”)2-1-c-n-j-y
【解析】因为602+352≠702,所以长,宽,对角线不能组成直角三角形.故这个桌面不是长方形的,所以不合格.【出处：21教育名师】
答案:不合格
6.图①所示的正方体木块棱长为6cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm.
【解析】如图所示:
△BCD是等腰直角三角形,△ACD是等边三角形,
在Rt△BCD中,CD=
=6cm,
∴BE=CD=3cm,
在Rt△ACE中,AE==3cm,
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为
(3+3)cm.
答案:(3+3)
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB附近建一个土特产收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?【版权所有：21教育】
【解析】设AE=xkm,因为C,D两村到E站的距离相等,所以DE=CE,即DE2=CE2,由勾股定理,得152+x2=102+(25-x)2,x=10.21教育名师原创作品
故E点应建在距A站10km处.
【归纳整合】应用勾股定理解决实际问题
(1)解决两点间距离问题:正确画出图形,已知直角三角形两边,利用勾股定理求第三边.
(2)解决航海问题:理解方位角等概念,根据题意画出图形,利用勾股定理或逆定理解题.
(3)解决实际问题中两线段是否垂直问题:以已知两线段为边构造一个三角形,根据三边的长度,利用勾股定理的逆定理解题.
(4)解决折叠问题:正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.
(5)解决梯子问题:梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.
(6)解决侧面展开问题:将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.
8.(8分)在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处,如果两只猴子所经过的路程相等,试问这棵树有多高?21*cnjy*com
【解析】如图所示,设BD=x,则CD=BD+BC=x+10.
所以BC+CA=BD+DA=30,所以AD=30-BD=30-x.在Rt△ADC中,AD2=CD2+AC2,所以(30-x)2=(x+10)2+202,解得x=5m.所以CD=x+10=15m.所以这棵树高15m.【来源：21cnj*y.co*m】
【特别提醒】此题的关键是正确画出图形,运用勾股定理及方程的思想解决问题.
【培优训练】
9.(10分)如图,已知在△ABC中,AD,AE分别是BC边上的高和中线,AB=9cm,AC=7cm,BC=8m,求DE的长.
【解析】因为在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2,
即AD2=92-(4+DE)2,
在Rt△ADC中,AD2=AC2-DC2,
即AD2=72-(4-DE)2,
所以81-(4+DE)2=49-(4-DE)2,
所以(4+DE)2-(4-DE)2=32,
16DE=32,所以DE=2.
