第02周1.3线段的垂直平分线-1.4角平分线同步测试

【北师大版八年级数学(下)周周测】
第 2周测试卷
(测试范围：1.3线段的垂直平分线——1.4角平分线)
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题：（每小题3分共30分）
1．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）21教育网
A．60° B．50° C．40° D．30°
2．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点 B．三条中线的交点
C．三边垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）2·1·c·n·j·y
A.6 B. 5 C. 4 D. 3
4．直线l外有两点A、B，若要在l上找一点，使这点与点A、B的距离相等，这样的点能找到（ ）
A．0个 B．1个 C．无数个 D．0个或1个或无数个
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）.
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
7．AD是△ABC的角的平分线，AB=5，AC=3，则S△ABD：S△ABD=（ ）
A．1：1 B．2：1 C．5：3 D．3：5
8．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD．其中正确的结论为（ ）
A.①②④ B.①②③ C. ②③ D.①③
10．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC于F，现有下列结论：21cnjy.com
①DE⊥DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE.
其中正确的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（每小题3分共30分）
11．如图，在△ABC中，∠C=31°°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °． 【来源：21·世纪·教育·网】
12．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为 厘米．21·世纪*教育网
13．已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝ ．【来源：21cnj*y.co*m】
14．已知△ABC中BC=26㎝，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，则⊿EAF周长______
15．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=80°，则∠BOC= ．
16．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=2cm，AB+BC=8，S△ABC=
17．如图，△ABC两内角的平分线AO、BO相交于点O，若∠AOB=110°，则∠C= °．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则：：等于 ．21*cnjy*com
19．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．
20．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 ．
三、解答题：（共40分）
21．如图，AD是ΔABC的外角∠CAE的平分线，∠B=30°，∠DAE=55°，试求：(1)∠BAC的度数； (2)∠ACB的度数

22．如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
23．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
24．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．
（1）求证：∠BDC=∠BAC；
（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．
参考答案
【答案】D
【解析】
试题解析：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°－40°）＝70°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°．
故应选D．
2．C
【解析】
试题分析：如图，根据题意可知：由OA=OB，可得点A在线段AB的垂直平分线上；由OB=OC，可得O在线段BC上；同理可由OA=OC，可得O在线段AC的垂直平分线上；因此可知到三角形三个顶点的距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选C
3．D
【解析】
试题分析：过点D作DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：DF=DE=2，△ABD的面积=AB×DE÷2=4×2÷2=4，则△ACD的面积=7－4=3，所以AC=2S÷DF=2×3÷2=3.
4．D．
【解析】
试题解析：分3种情况：①当直线AB⊥l时，
在l上找一点，使这点与点A、B的距离相等，
这样的点有0个，
②当直线l垂直平分线段AB时，
在l上找一点，使这点与点A、B的距离相等，
这样的点有无数个，
③当直线AB 与直线l不垂直，直线l不是线段AB的垂直平分线时，
在l上找一点，使这点与点A、B的距离相等，
这样的点有1个，
故选D．
5．B．
【解析】
试题分析：由角平分线的性质可得DE=EC，则AE+DE=AC=3cm.
故选：B．
6．B.
【解析】
试题分析：已知OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，根据角平分线的性质可得PC=PD，A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，OP=OP,PC=PD，由HL可判定△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质可得∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故答案选B．21世纪教育网版权所有
7．C
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的边AC上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=5：3，
故选C．
8．C.
【解析】
试题分析：作EF⊥BC于F，BE平分∠ABC,DE⊥AB,EF⊥BC∴EF=DE=2
故选C.
9．B
【解析】
试题分析：根据等角的余角相等可判断①；先判断CD∥EF，根据平行线的性质得出∠CEH=∠CHE，再由角平分线的性质可判断②；用AAS判定△ACE≌△AFE，可判断③；根据②，结合图形可判断④．21·cn·jy·com
∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD，∴∠AEF=∠CHE，∴∠CEH=∠CHE，∴CH=CE=EF，故②正确；
∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE=∠BAE，∴△ACE≌△AFE（AAS），∴AC=AF，故③正确；
CH=CE=EF＞HD，故④错误．
10．C
【解析】如图，连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB,DF⊥AC，∴ED=DF．∴①正确．
②∵，平分，∴．∵，
∴．∴．同理：．
∴．∴②正确．
③由题意可知：．
假设平分，则．则，
又∵，∴．∴．
∵是否等于90°不确定，∴不能判定平分．故③错误．
④∵是线段的垂直平分线，∴．
在和中，∴．
∴．∴，又∵，∴．故④正确．
综上可知，选C．
11．87°
【解析】
试题分析：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∵ 垂直平分，∴BD=CD， ∴∠CBD=∠C=∠ABD =31°，∴=180°-∠C-2∠ABD =180°-31°-62°=87°．
12．18
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，所以△EBC的周长为BE+EC+BC=BE+AE+BC=AB+BC=18厘米．www.21-cn-jy.com
13．
【解析】
试题分析：根据题意可得：BE=(6－3)÷2=1.5
14．26cm
【解析】
试题分析：根据垂直平分线的性质可得：AE=BE，AF=CF，则△EAF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=26cm.2-1-c-n-j-y
15．160°
【解析】
试题分析：由点O为三边垂直平分线交点，得到点O为△ABC的外心，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．【出处：21教育名师】
解：∵已知点O为三边垂直平分线交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=80°，
∴∠BOC=160°，
故答案为：160°．
16．8
【解析】
试题分析：过点D作DE⊥BC，根据角平分线的性质可得DE=AD=2cm，则=AB·AD+BC·DE=AB+BC=8．21*cnjy*com
17．40°．
【解析】
试题分析：根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠CAB+∠CBA的值，再利用三角形的内角和定理求出∠C的值．
试题解析：∵AO、BO分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠CAB=2∠OAB，∠CBA=2∠OBA，
∴∠CAB+∠CBA=2（∠OAB+∠OBA）=2（180-∠AOB）=140°，
∴在△ABC中，∠C=180°-140°=40°．
18．2：3：4.
【解析】
试题分析：由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴：：=2：3：4．
故答案为：2：3：4．
19．3
【解析】
试题分析：根据垂线段最短可知PQ⊥OM时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PQ=PA．
解：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=3．
故答案为：3．
20．5．5．
【解析】
试题分析：作DM⊥DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG,DM=DE∴DM=DG∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB∴DF=DN∴△DEF≌△DNM∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
21．（1）70（2）80
【解析】
试题分析：（1）因为AD是外角平分线
所以
又因为
所以
(3) 因为
所以
22．证明详见解析.
【解析】
试题分析：先根据全等三角形的判定定理得出Rt△BDE≌Rt△CDF，进而得出DE=DF，由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．www-2-1-cnjy-com
试题解析：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD，
∴△BDE与△CDF是直角三角形，
∵BE=CF，BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
23．(1)、15cm；(2)、40°.
【解析】
试题分析：(1)、根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；(2)、根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【版权所有：21教育】
试题解析：(1)、∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB=15cm；21教育名师原创作品
(2)、∵∠MFN=70°， ∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， ∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， ∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN， ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， ∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
24．(1)证明详见解析；(2)△ABD为等腰三角形，理由详见解析；(3)72°.
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，等量代换即可得到结论；
（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，证得∠ABD=∠ADB，即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF=∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结论．
试题解析：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC=∠BAC；
（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：
作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）∵AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．