27.2.1
相似三角形判定的应用
教案
教学内容：
相似三角形判定的应用
重点、难点
重点：掌握相似三角形的判定方法。
难点：灵活运用相似三角形的判定方法解决有关问题。
教学过程
（一）复习
1.
相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.
注意：
（1）定义中对应角相等，对应边成比例，是指3组对应角分别相等，三组对应边成比例。
（2）读作相似于，与全等三角形一样，表示对应顶点的字母应写在对应位置上。
（3）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样。
（4）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
（5）相似比带有顺序性，如的相似比为
反过来的相似比为
（6）全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。
（二）三角形相似的判定方法
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。
如图，若，，
则。
与三个角对应相等，三条边对应相等，两个三角形全等类似，定义法在计算和证明中一般用得较少。
（2）三角形相似的判定定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
推理格式：如图
图2
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
推理格式：如图，，
。
简单地说：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
推理格式：如图，
，且
可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
推理格式：如图5，
，
简单地说：三边对应成比例，则两三角形相似。
（6）直角三角形相似的判定定理：
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
推理格式：如图6
在和中，
推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似（如图）。
说明：灵活运用相似三角形的判定方法解决相关问题，其关键是确定相似三角形，通常按下列思路来分析：
1.
有平行线（有时要构造平行线）时，可选择平行法判定三角形相似。
2.
若已经有一组角相等，可再找另一组角相等，运用判定定理1；或再证明夹这组角的两边对应成比例，运用判定定理2。
3.
若已知两条对应边成比例，可找夹角相等，运用判定定理2。
4.
若是两个直角三角形，可找一对锐角相等或夹直角的两直角边对应成比例，或应用斜边、直角边对应成比例来判定相似。
5.
利用相似三角形的传递性证相似，如：若、，则。
6.
注意：仅两边成比例，一对角相等的三角形不一定相似。
【典型例题】
例1.
如图8，四边形ABCD的对角线相交于点O，。求证：。
分析：欲证，可寻求它们所在的三角形与相似，
而，故只需证，
由已知可得，从而有成立。
证明：
说明：由于相似三角形的对应角相等，所以经常运用此法证明角的相等。
例2.
如图9，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于G，交BC于F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（
）对。
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
分析：找相似形一找平行线、二找角相等、三找线段成比例，本题只能从前两方面入手。
解：
共有5对，选B。
例3.
已知：如图10，，，
（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，？
（2）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，？
（3）当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
解：（1）
当时，
即时，
故当时，
（2），
当时，
即时，
当时，
（3）综合（1），（2）可知：
当或时这两个三角形相似。27.2.1
用边角关系判定三角形相似
教案
【知识与技能】
初步掌握
“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.
2.
能运用它们解决具体问题.
【过程与方法】
经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合理推理能力.
【情感态度】
培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力，形成推理、说明的科学态度.
【教学重点】
两个三角形相似的判定定理及其应用.
【教学难点】
准确运用判定定理来判定三角形是否相似.
一、情境导入，初步认识
问题
判定两个三角形全等我们有SAS方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
【教学说明】设置疑问，引导学生思考，尝试用类似的思路来判定两个三角形相似，激发求知欲望.
二、思考探究，获取新知
思考
如图，在△ABC和△A′B′C′中，若∠A=∠A′，且,那么△ABC与△A′B′C′是否相似？为什么
【教学说明】通过“思考1”的学习，对于“思考2”教师可让学生也尝试着在△A′B′C′中构造△A′DE，类似地得到△A′DE
～△A′B′C′，
△A′DE≌△ABC，从而△ABC～△A′B′C′.教师巡视，学生可相互交流，针对学生实际可作适当的提示，帮助学生完成证明，获得理性思考的体验.
相似三角形的判定定理
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
问题
如果定理中的“夹角相等”换成“其中一边的对角对应相等”，其他条件不变，这样的两个三角形仍能相似吗？若相似，请予以证明；若不相似，请举一反例.
【教学说明】教师可与学生一道回顾“两
边对应相等，且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例，使学生能
轻松地过渡到判别它们不一定能相似时可能存
在的一种情形.加深对定理中“夹角相等”这一条件的理解.
三、典例精析，掌握新知
例1
教材P33中例
【教学说明】教师可让学生自主完成，让学生从中体验成功的喜悦.对于题，还可让学生说出他们的相似比是多少；对于题，应引导学生用小边比小边，中边比中边，大边比大边的比值进行说明，不能出现混乱.进一步地，若要使得两个三角形相似，可改变其中一条线段的长，让学生试试看.
例2
如图，四边形ABCD中，∠B
=∠ACD，AB
=
6，BC=4，AC=5，CD=7.5，你能求出线段AD的长吗？说说你的理由.
【教学说明】可让学生独立完成试试看，也可以相互交流，共同探讨解题思路，然后予以评析，巩固本节所学知识.
四、运用新知，深化理解
根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
∠A=40°，AB=8cm，AC=15cm，∠A′=40°，A′B′=16cm，
A′C′=
30cm；
【教学说明】
1、2题让学生独立完成，第3题可集体评讲（在学生思考后），注重于分类思想.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
五、师生互动，课堂小结
1.与同伴交流论证判定定理中的证明方法，谈谈你的认识；
2.判定定理中“夹角相等”这个条件是否可换成“一角对应相等”，
说说你的理由.
1.布置作业：从教材P42 44习题27.2中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时教学可采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.教学时应注意突出学生的主体地位，让学生独立完成并相互交流，教师给予引导并同学生一起归纳，以提高学生的推理能力.27.2.1
平行线分线段成比例的应用
教案
【知识与技能】
1.了解相似三角形的概念及其表示方法；
2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质
定理；
3.应用平行线分线段成比例于实际生活.
【过程与方法】
经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.
【情感态度】
体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力.
【教学重点】
平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.
【教学难点】
探索平行线分线段成比例定理的过程.
一、情境导入，初步认识
问题1
相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？
问题2
如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给出一种相似表示方法吗？△ABC与△A1B1C1的相似比为k，那么△A1B1C1与△ABC的相似比也是k吗？
问题3
如何判定两个三角形相似呢？
【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容.
二、思考探究，获取新知
问题1
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2相交的平行线l3，l4，l5分别度量AB，BC，DE，EF长度，则相等吗？
【教学说明】教师可让学生在自己准备的
白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.
【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：
问题2
如图，当l1//l2//l3时，在（1）中是否仍有在（2）中是否仍有
【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识
上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全
班同学一道分析，得出结论.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.
问题3
如图，在△ABC
中，DE//
BC，DE分别交AB、AC于D、E，则△ABC与△ADE能相似吗？为什么？
问题4
如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么
？
【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
(相似三角形判定的预备定理).
三、运用新知，深化理解
1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并
用符号表示出来.
2.如图D为△ABC中BC边的中点，E为AD
中点，连接并延长BE交
AC于F.过E作EG//AC交BC于G.
求的值；（2)求的值；（3)求的值.
3.如图，已知在△ABC中，DE//BC，AD=EC，BD=1cm，AE=4cm，BC=5cm，
求
DE
的长.
【教学说明】
让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创
优作业中本课时的“名师导学”部分.
【答案】1.解：△ADE～△ABC，△CEF～△CAB,
△ADE～△EFC.
2.解：（1）∵EG//AC，∴△DGE～△DCA，∴.
（2）∵EG//AC，E是AD的中点，∴G是CD的中点，即CG=DG.又D是BC的中点，∴BD=CD，∴BG=3CG，BC=4CG，∴
.
∵EG//FC,
∴△BEG～△BFC,∴.
（3）过D点作DH//CF，交BF于H.易得DH=AF，∴.
3.解：∵DE//BC，∴,又AD=CE，∴AD2=4，∴AD=2，∴AB=3.由DE//BC可知△ADE～△ABC，∴.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了哪些知识？
2.你还有哪些疑惑？
【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.
完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.27.2.1
用两角相等关系判定三角形相似
教案
〔教学目标〕
掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三角形判定方法（AAS﹑ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS﹑SAS）的区别与联系：
SSS
↓如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）SAS↓如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）
从复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）及两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。↓如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？延伸问题：作 ABC与 A1B1C1，使得∠A=∠A1，∠B=∠B1，这时它们的第三角满足∠C=∠C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算﹑﹑，你有什么发现？（学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C1，==。↓分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）
通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个三角尺大小可能不同，但它们的形状相同。学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能性，让学生经历定理的重发现过程，有助于对定理的理解。
让学生进行协同式小组合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。
探究方法：探究3分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）↓归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1，∠B=∠B1则
ABC∽ A1B1C1
把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学生深入理解定理的内涵。对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
应用新知：如图27·2-7，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD。分析：欲证PA·PB=PC·PD，只需，欲证只需 PAC∽ PDB，欲证 PAC∽ PDB，只需∠A=∠D，∠C=∠B。
让学生了解运用相似三角形的判定方法3进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法AAS﹑ASA进行相关证明与计算的雷同性。
运用提高：P49练习题1。P49练习题2。
运用相似三角形的判定方法3进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2(3)。选做题：P57习题27·2题11。备选题：如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有 对。
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：6
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法3，由于上两节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1﹑判定方法2，因此本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵。协同式小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力。27.2.1
用平行线判定三角形相似
教案
〔教学目标〕
了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程
设计意图说明
新课引入：复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义↓相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）↓相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：如图27·2-1，在 ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E
， ADE与 ABC有什么关系？分析：观察27·2-1易知AD=，AE=，∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导学生证得DE=即可，学生不难想到过E作EF∥AB。↓ ADE∽ ABC，相似比为。延伸问题：改变点D在AB上的位置，先让学生猜想 ADE与 ABC仍相似，然后再用几何画板演示验证。↓归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。通过几何画板演示，培养学生的实验探究意识。
探究方法：探究1在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。分析：作A1D=AB，过D作DE∥B1C1，交A1C1于点E A1DE∽ A1B1C1。用几何画板演示 ABC平移至 A1DE的过程
A1D=AB，A1E=AC，DE=BC A1DE≌ ABC
ABC∽ A1B1C1↓归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。↓若则
ABC∽ A1B1C1
学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。
运用提高：P47练习题1（2）。P47练习题2（2）。
运用两个三角形相似的判定方法（1）进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：P55习题27·2题2（1），3（1）。选做题：
P55习题27·2题4，5。备选题：如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（
）
A、1对
B、2对
C、3对
D、4对
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：C
设计思想：
本节课主要是探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，因此在教学设计中突出了“探究”的过程，先让学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究，然后教师再应用“几何画板”等计算机软件作动态探究，从而给学生以深刻的实验几何的数学学习体验。此外，本课教学设计在引导学生知识重构的维度上重视应用“比较”“类比”“猜想”的教学法，促使学生尽可能进行“有意义”的而非“机械、孤立”的认知建构，并在这一建构过程中发展合情推理能力。27.2.1
用三边比例关系判定三角形相似
教案
【知识与技能】
初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”
的判定方法.
2.
能运用它们解决具体问题.
【过程与方法】
经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合理推理能力.
【情感态度】
培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力，形成推理、说明的科学态度.
【教学重点】
两个三角形相似的判定定理及其应用.
【教学难点】
准确运用判定定理来判定三角形是否相似.
一、情境导入，初步认识
问题
判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
【教学说明】设置疑问，引导学生思考，尝试用类似的思路来判定两个三角形相似，激发求知欲望.
二、思考探究，获取新知
问题1
任意画一个三角形，再画另一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，他们对应相等吗？这两个三角形全等吗？
思考1
如图，在△ABC和△A′B′C′中，,则
ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
【教学说明】“问题1”可让学生自主完成,
并相互交流，获得“一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边的比相等时，这样的两个三角形相似”的感性认识.而对于“思考1”中的问题，教师应引导学生通过合理推理进行说明.这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE～△A′B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC～△A′B′C′.这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往的学习中很少见，因此教师应做好引导.
相似三角形的判定定理1
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
三、典例精析，掌握新知
例1
教材P33中例1
【教学说明】教师可让学生自主完成，让学生从中体验成功的喜悦.对于（2）题，还可让学生说出他们的相似比是多少；对于（1）题，应引导学生用小边比小边，中边比中边，大边比大边的比值进行说明，不能出现混乱.进一步地，若要使得两个三角形相似，可改变其中一条线段的长，让学生试试看.
例2
如图，四边形ABCD中，∠B
=∠ACD，AB
=
6，BC=4，AC=5，CD=7.5，你能求出线段AD的长吗？说说你的理由.
【教学说明】可让学生独立完成试试看，也可以相互交流，共同探讨解题思路，然后予以评析，巩固本节所学知识.
四、运用新知，深化理解
1.AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，A′B′=
16cm，B′C′=12.8cm，
A′C′=
25.6cm.
2.图中的两个三角形是否相似？
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？
【教学说明】
1、2题让学生独立完成，第3题可集体评讲（在学生思考后），注重于分类思想.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.
五、师生互动，课堂小结
1.与同伴交流论证判定定理1、2中的证明方法，谈谈你的认识；
2.判定定理2中“夹角相等”这个条件是否可换成“一角对应相等”，
说说你的理由.
1.布置作业：从教材P42 44习题27.2中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时教学可采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.教学时应注意突出学生的主体地位，让学生独立完成并相互交流，教师给予引导并同学生一起归纳，以提高学生的推理能力.27.2.1
相似三角形及平行线分线段成比例
教案
一、教学目标：
知识目标
理解并掌握相似三角形及平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。
能力目标
通过应用，培养识图能力和推理论证能力。
情感态度与价值观
（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。
（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。
二、重、难点
重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。
难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。
三、教学过程
1、复习设疑，引入新课
内容：教师提问：
什么是成比例线段？
什么是相似多边形？
你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？
目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。
效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。
2、小组活动，探究定理
探究活动一：
内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a
∥b∥
c
,分别交直线m,n于
A1，A2，A3，B1，B2，B3
。
计算
你有什么发现？
将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为A2，B2
。你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
(图2）
（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动，达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。
效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。
议一议：
内容：教师提问：
1.如何理解“对应线段”？
2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示？
3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
若a
∥b∥
c
，则。
由比例的性质还可以得到：，，等。
目的：让学生在探究得出结论的基础上，对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。并掌握定理的符号语言，进一步发展推理能力。
效果：学生从几何直观上很容易找出“对应线段”。利用比例的性质写出成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那就是都体现了“对应”二字。
探究活动二：
内容：如图3，直线a
∥b∥
c
，分别交直线m,n于
A1，A2，A3，B1，B2，B3
。过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3。（如图4
），图4中有哪些成比例线段？
（图3）
(图4）
推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等分线段定理的推论。
效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出A1C2=B1B2，C2C3=B2B3，进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力。
目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生的应用能力。
效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例定理及其推论的本质特征。
探究活动三：
内容:直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且AB=BC则图中还有哪些线段相等？
思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？
2.如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是2:3
目的：让学生体会平行线等分线段定理可看作是平行线分线段成比例定理的特例。解决课堂引入时提出的问题。
效果：学生很容易得出此时的对应线段的比值为1，也为后面探究相似与全等的关系做了铺垫。
3、灵活应用
内容：例1、如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC,
（1）.如果AE
=
7,
FC
=
4
，那么AF的长是多少？
（2）.如果AB
=
10,
AE=6，AF
=
5
，那么FC的长是多少？
课堂练习：
1、如图，已知l1//l2//l3,
（1）.在图（1）中AB
=
5,
BC
=
7
，EF=4，求DE的长。
（2）.在图（2）中DE
=
6,
EF
=
7
，AB=5，求AC的长。
2、如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且
DE∥BC,
（1）.如果AD
=
3.2cm,
DB
=
1.2cm
，AE=2.4cm,那么EC的长是多少？
（2）.如果AB
=
5cm,
AD=3cm，AC
=
4cm
，那么EC的长是多少？
目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。
效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。
4、课堂小结：
内容：本节课你有哪些收获？
目的：
通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。
效果：
学生都能归纳出：1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
5、布置作业：
l4
l3
l2
l6
A
B
C
D
E
F
M
N
O
l1
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
F
（1）
A
B
C
D
E
F
（2）
A
B
C
D
E
