27.2.1
用三边比例关系判定三角形相似
学案
一、新课导入
1.课题导入
问题1：请叙述三角形全等的SSS定理.
问题2：把SSS中的“三边对应相等”改为“三边成比例”，那么这两个三角形是什么关系呢？
由此导入新课.（板书课题）
2.学习目标
（1）知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.
3.学习重、难点
重点：三角形相似的判定
难点：两判定定理的证明.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
探究:任意画△ABC和△A′B′C′，使△A′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k倍，△ABC∽△A′B′C′吗？
a.操作：度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例.
b.猜想：在△ABC和△A′B′C′中，如果，那么△ABC∽△A′B′C′.
c.证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E,则△A′DE∽△A′B′C′.∴==，
又∵，A′D=AB，
∴，
∴A′E=AC.同理，，
∴DE=BC.
∴△A′DE≌△ABC.
∴△ABC∽△A′B′C′.
d.归纳：三边成比例的两个三角形相似.
e.推理格式：∵，∴△ABC∽△A′B′C′.
2.自学：参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
1.自学指导
（1）自学内容：课本P33思考~P34.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：先运用定理给出判定，然后对照课本解答进行检验，并完成探究提纲.
（4）探究提纲：
教材P33例1的第（1）题中，三条边成比例吗？符合判定定理1的条件吗？
④练习：根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
a.AB＝10
cm，BC＝8
cm，AC＝16
cm，A′B′＝16
cm，B′C′＝12.8
cm，A′C′＝25.6
cm.（相似，三边对应成比例）
b.下图中的两个三角形是否相似？为什么？（图1相似，两边成比例且夹角相等；图2不相似，三边不成比例）
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生探究提纲的第③、④题的完成情况.
②差异指导：根据学情进行针对性指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化：运用判定定理1和2判定两个三角形是否相似的要点.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（B）
2.(20分)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
（1）AB＝10
cm，BC＝12
cm，AC＝15
cm，A′B′＝150
cm，B′C′＝180
cm，A′C′＝225
cm；
(2)∠A＝87°，AB＝8
cm，AC＝7
cm，∠A′＝87°，A′B′＝16
cm，A′C′＝12
cm.
解：（1）△ABC∽△A′B′C′.理由：∵,∴△ABC∽△A′B′C′.
（2）△ABC与△A′B′C′不相似.理由：.
3.(20分)(1)判断图1中两三角形是否相似；(2)求图2中x和y的值.
解：（1）相似.理由：设小方格边长为1，则AB=2，EF=2.
通过勾股定理易求得BC=2,AC=2,DE=,DF=.
∴,∴△DEF∽△ABC.
(2)∵，∠ACB=∠ECD,
∴△ACB∽△ECD,∴∠B=∠D=98°,
,∴x=40.5,y=98.
4.(10分)如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=5，DE=4，AE=，DB=7，BC=，EC=,那么△ADE∽△ABC吗？为什么？
解：△ADE∽△ABC.
理由：∵,
∴△ADE∽△ABC.
二、综合应用（20分）
5.(10分)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4,5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边应当是多少？
解：两个形状相同的三角形框架，它们是相似的.
如果边长2与边长4是对应边，则另外两边为2.5和3.
如果边长2与边长5是对应边，则另外两边为1.6和2.4.
如果边长2与边长6是对应边，则另外两边为和.27.2.1
用边角关系判定三角形相似
学案
一、新课导入
1.课题导入
问题1：请叙述三角形全等的SAS定理.
问题2：把SAS中的“夹这个角的两边对应相等”改为“夹这个角的两边对应成比例”，
那么这两个三角形又是什么关系呢？
由此导入新课.（板书课题）
2.学习目标
（1）知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
（2）能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.
3.学习重、难点
重点：三角形相似的判定
难点：两判定定理的证明.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P32探究~P33思考上面的内容.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学要求：完成探究提纲.
（4）探究提纲：
探究:利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，.△ABC∽△A′B′C′吗？
a.操作：量出BC和B′C′，它们的比值等于k吗？∠B=∠B′，∠C=∠C′吗？
b.改变∠A的大小，结果怎样？改变k的值呢？
c.猜想：在△ABC和△A′B′C′中，如果，∠A=∠A′，那么△ABC∽△A′B′C′.
d.证明：在A′B′上截取A′D=AB,作DE∥B′C′交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴.
又∵,A′D=AB,
∴A′E=AC.∴△ABC≌△A′DE.
∴△ABC∽△A′B′C′.
e.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
f.推理格式：∵,∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.
③在△ABC与△A′B′C′中，如果，∠B=∠B′，那么△ABC与△A′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例(画图).
2.自学：参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生是否清楚定理的证明思路和每步推理的依据.
②差异指导：根据学情进行指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
1.自学指导
（1）自学内容：课本P33思考~P34.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：先运用定理给出判定，然后对照课本解答进行检验，并完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①∠A与∠A′分别是两条对应边的夹角吗？符合哪个判定定理的条件？
练习：根据下列条件，判定△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A=40°,
AB＝8
cm，AC＝15
cm，∠A′=40°,
A′B′＝16
cm，A′C′＝30
cm.
（相似，两边成比例且夹角相等）
2.自学：学生参照自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生探究提纲完成情况.
②差异指导：根据学情进行针对性指导.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化：运用判定定理两个三角形是否相似的要点.
三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？有些什么收获和不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生学习的参与程度、思维是否活跃、回答问题是否积极等方面给予评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时教学采用类比的方法进行，根据全等三角形是特殊的相似三角形，通过对判定全等三角形所需条件进行分析，类比全等三角形的判定方法，诱导学生在类比中猜想相似三角形的判定方法.课堂上突出学生的主体地位，多给学生提供自主学习、自主操作、自主活动的机会，让学生真正成为数学学习的主体.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（B）
2.(10分)下列条件能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（C）
3.(20分)根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A＝87°，AB＝8
cm，AC＝7
cm，∠A′＝87°，A′B′＝16
cm，A′C′＝12
cm.
解：△ABC与△A′B′C′不相似.理由：.
二、综合应用（20分）
4(10分)如图，已知△ABD∽△ACE．求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵△ABD∽△ACE,∴∠BAD=∠CAE,.
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
又∵,
∴△ABC∽△ADE.
三、拓展延伸（10分）
5(10分)在△ABC中,∠B=30°，AB=5
cm，AC=4
cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10
cm，A′C′=8
cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定.理由：虽然,∠B=∠B′,但∠B和∠B′不是对应边的夹角，
∴这两个三角形不一定相似.
