26.2.2 建立反比例函数的模型解跨学科问题 教案

26.2.2
建立反比例函数的模型解跨学科问题
教案
教学目标
能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题.
能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题.
体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力.
体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。
教学重点
掌握从物理问题中建构反比例函数模型.
教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系,关键是充分运用所学知识分析物理问题,建立函数模型,教学时注意分析过程,渗透数形结合的思想.
教学过程
一、创设问题情境,引入新课
活动
问题：在物理学中,有很多量之间的变化是反比例函数的关系,因此,我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用.下面的例子就是其中之一。
在某一电路中,保持电压不变,电流I和电阻R成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2I.
求I与R之间的函数关系式;
当电流I=0.5时,求电阻R的值.
师生行为
可由学生独立思考,领会反比例函数在物理学中的综合应用.
教师应给“学困生”
一点物理学知识的引导.
分析:从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系,可设出其表达式，再由已知条件（I与R的一对对应值）得到字母系数k的值。
解：设∵R=5，I=2，于是，所以k=10，∴
（2）当I=0.5时，（欧姆）
“给我一支点,我可以把地球撬动.”这是哪一位科学家的名言 这里瘟涵着什么样的原理呢 这是古希腊科学家阿基米得的名言。公元前3世纪，古希腊科学家阿基米得发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比与其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为
阻力×阻力臂=动力×动力臂
下面我们就来看一例子。
二、讲授新课
活动2
【例3】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米，
动力F与动力臂l有怎样的函数关系式？当动力臂为1。5米时，撬动石头至少需要多大的力？
若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，遇动力臂至少要加长多少？
师生行为：先由学生根据
“杠杆定律”解决上述问题。教师可引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系。教师在此活动中应重点关注：
学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆定律中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；
学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；
学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。
分析：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题。
解：（1）根据
“杠杆定律”有
。得。
当l=1.5时,.
因此，撬动石头至少需要400牛顿的力。
若想使动力F不超过题（1）中所用的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有
F·=600，。
当时，
3－1.5=1.5（米）
因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米。
想想还有哪些方法可以解决这个问题？
思考：用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力？
总结：其实反比例函数在实际运用中非常广泛。例如在解决经济预算中的应用。
活动3
问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例。又当x=0.65时，y=0.8。
求y与x之间的函数关系式；
若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元时，请你预算一下本年度电力部门的纯收入是多少？
师生行为：由学生先独立思考，然后小组内讨论完成。教师应给以“学困生”一定的帮助。
解：（1）∵y与x成反比例，
∴设.
把x=0.65，y=0.8。代入，得
解得k=0.2
∴。
∴y与x之间的函数关系为
（2）根据题意，本年度电力部门的纯收入为
（亿元）
答：本年度的纯收入为0.6亿元。
师生共析：（1）由题目提供的信息知y与x之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x=0.65时，y=0.8得出字母系数的值；
（2）纯收入=总收入－总成本。
三、巩固提高
活动4
四、课时小结
活动5
你对本节内容有哪些认识？重点掌握利用函数关系解决实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得。
师生行为：学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流。教师组织学生小结。
反比列函数与现实生活联系非常紧密特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下良好的基础。用数学模型来解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科之间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数间的不可分割关系。