26.2.1
建立反比例函数模型解实际问题
教案
教学目标：
1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。
3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
重点难点：
重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。
难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．
教学过程：
一、引言
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。
二、探索问题
问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。
根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少
(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内
教学要点
1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；
2．学生解答，教师巡视指导；
3．让一两位同学板演，教师讲评。
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少 是否会超过1m
教学要点
1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。
2．让学生完成解答，教师巡视指导。
3．教师分析存在的问题，书写解答过程。
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。
这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的
函数关系式为：y＝ax2
(a＜0)
(1)
因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得
－2.4＝a×0.82
所以：a＝－
因此，函数关系式是
y＝－x2
(2)
因为OF＝1.5m，设FD＝x1m(x1＞0)，则点D坐标为(x1，－1.5)。因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得
－1.5＝－x12
x12＝
x1＝±
x1＝－不符合假设，舍去，所以x1＝。
ED＝2FD＝2×x1＝2×＝≈×3.162≈1.26(m)
所以涵洞ED是m，会超过1m。
问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么；
(2)当x取何值时，y＝0 这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系
(3)你能从中得到什么启发
教学要点
1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。
2．教师巡视，与学生合作、交流。
3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。
4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)。
5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。
6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
三、试一试
根据问题3的图象回答下列问题。
(1)当x取何值时，y＜0 当x取何值时，y＞0
(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)
(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题
(能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么 x2－x－＞0的解集是什么 )
想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：
(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。
(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
四、课堂练习：
P23练习1、2。
五、小结：
1．通过本节课的学习，你有什么收获 有什么困惑
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。
六、作业：
1.
二次函数y＝x2－3x－18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。
2．已知函数y＝x2－x－2。
(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象
(2)观察图象确定：x取什么值时，①y＝0，②y＞0；③y＜0。
3．学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋x＋，请回答下列问题：
(1)花形柱子OA的高度；
(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外
4．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y＝－x2＋3.5运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。
(1)球在空中运行的最大高度为多少米
(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少 26.2.1
建立反比例函数模型解实际问题
学案
学习目标：
1、通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
2、进一步培养综合解题能力，体会数形结合思想。
重点：理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
研习探究：
问题：张华以40m/s的速度将小球沿与地面成30°的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=20t－5t2。
请考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15m，如果能，需要多少飞行时间？
球的飞行高度能否达到20m，如果能，需要多少飞行时间？
球的飞行高度能否达到20.5m，如果能，需要多少飞行时间？
球从飞出到落地要用多少时间？
由上面的问题可以看出，二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c=m(m是常数)有怎样的关系？
二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c=0有怎样的关系？
下列二次函数的图象与x轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当x取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
①y=x2+x-2
②
y=x2-6x+9
③y=x2-x+1
(8)归纳总结：
练习：不画函数图象，判断下列二次函数的图象与x交点情况。（有几个交点）
（1）y＝3x2＋2x
+4
（2）y＝－2x2＋8x－8
（3）y＝－x2－4x＋3
（4）y＝－x2－2x
