河南省郑州市2016-2017学年九年级（上）开学数学试卷（解析版）

2016-2017学年河南省郑州市九年级（上）开学数学试卷
　
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1
B．（x+2）2=7
C．（x+2）2=13
D．（x+2）2=19
2．下列说法正确的是（　　）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
3．下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．1
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5
6．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（　　）
A．7
B．8
C．7
D．7
7．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）
A．4：3
B．3：2
C．14：9
D．17：9
8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
　
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
9．方程x2﹣2x=0的根是　　．
10．下列说法：①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③任意两个菱形一定相似；④任意两个含30°角的直角三角形一定相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为16：81；⑥若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形一定相似．其中正确的说法有　　（填写序号）．
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=　　．
12．如图，菱形ABCD中，点O为对角线AC的三等分点且AO=2OC，连接OB，OD，OB=OC=OD，已知AC=3，那么菱形的边长为　　．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是　　．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），x反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是　　．
15．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=4，DC=5，AB=8．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．设运动时间为t秒，当△PQB为等腰三角形时，t的值为　　．
　
三、解答题（共5小题，满分48分）
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象于反比例函数y=的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察函数图象，直接写出一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量x的取值范围．
19．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出；若每涨价0.1元，销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3300元，求m的值（m＞0）．
20．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）
　
2016-2017学年河南省郑州市九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1
B．（x+2）2=7
C．（x+2）2=13
D．（x+2）2=19
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可．
【解答】解：x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
（x+2）2=7．
故选B．
　
2．下列说法正确的是（　　）
A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【考点】概率的意义．
【分析】根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，故本选项错误；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，故本选项错误；
C、某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，故本选项错误；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，故本选项正确．
故选D．
　
3．下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】首先判断几何体的三视图，然后找到答案即可．
【解答】解：几何体的主视图为选项D，俯视图为选项B，左视图为选项C．
故选A．
　
4．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（　　）
A．
B．
C．
D．1
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴==．
故选B．
　
5．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜5
B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1
D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
　
6．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（　　）
A．7
B．8
C．7
D．7
【考点】正方形的性质．
【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠DAG=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠AEB=∠CFD=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，
同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，
∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，
即∠DGA=90°，
同理：∠CHB=90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（AAS），
∴AE=DG，BE=AG，
同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，
∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，
∵∠GEH=180°﹣90°=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴EF=EG=7；
故选：C．
　
7．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）
A．4：3
B．3：2
C．14：9
D．17：9
【考点】菱形的性质；平移的性质．
【分析】首先得出△MEC∽△DAC，则=，进而得出=，即可得出答案．
【解答】解：∵ME∥AD，
∴△MEC∽△DAC，
∴=，
∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，
∴AE=1cm，EC=3cm，
∴=，
∴=，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：
=．
故选：C．
　
8．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】①根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM=CM；
②因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
③先证得∠ABO=∠OBF=30°，再证得OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
④根据三角函数求得MB=，OF=，根据OE=OF即可求得MB：OE=3：2．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
在△OBF与△CBF中
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，
∴MB=，OF=，
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2，
∴④正确；
故选：C．
　
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）
9．方程x2﹣2x=0的根是　x1=0，x2=2　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．
【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，
解得x1=0，x2=2．
故答案为x1=0，x2=2．
　
10．下列说法：①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③任意两个菱形一定相似；④任意两个含30°角的直角三角形一定相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为16：81；⑥若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形一定相似．其中正确的说法有　①④　（填写序号）．
【考点】位似变换；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；菱形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定．
【分析】根据位似的性质对①进行判断；根据相似三角形的判定方法与反例对②⑥进行判断；根据内角不为90的菱形与内角为90的菱形不相似对③进行判断；根据相似三角形的性质对⑤进行判断．
【解答】解：位似图形都相似，所以①正确；
两个等腰三角形不一定相似，如等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以②错误；
任意两个菱形不一定相似，所以③错误；
任意两个含30°角的直角三角形一定相似，所以④正确；
两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为2：3，所以⑤错误；
若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形不一定相似，若边长为3、4、5的三角形与边长为5、6、7的三角形不相似，所以⑥错误．
故答案为①④．
　
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=　　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【分析】先求得∠ABD=60°，由翻折的性质可得到∠ABE=120°，于是可求得∠FBE=30°，最后依据特殊锐角三角函数值可求得EF的长．
【解答】解：∵∠ADB=30°，∠BAD=90°，
∴∠ABD=60°．
∵由翻折的性质可知：∠ABE=120°，AB=BE=3，∠E=∠A=90°，
∴∠FBE=30°．
∴==，
解得：EF=．
故答案为：．
　
12．如图，菱形ABCD中，点O为对角线AC的三等分点且AO=2OC，连接OB，OD，OB=OC=OD，已知AC=3，那么菱形的边长为　　．
【考点】菱形的性质．
【分析】如图，连接BD交AC于E，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，AE=EC，在Rt△EOD中，利用勾股定理求出DE，在Rt△ADE中利用勾股定理求出AD即可．
【解答】解：如图，连接BD交AC于E．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC，
∵OA=2OC，AC=3，
∴CO=DO=2EO=1，AE=，
∴EO=，DE=EB===，
∴AD===．
故答案为．
　
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球标号的积小于4的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的积小于4的结果数为4，
所以两次摸出的小球标号的积小于4的概率==．
故答案为．
　
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（m，3），x反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是　﹣12　．
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC∥OB，则AE⊥y轴，再由∠BOC=60°得到∠COE=30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE=OE=3，OC=2CE=6，接着根据菱形的性质得OB=OC=6，∠BOA=30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD=OB=2，所以D点坐标为（﹣6，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．
【解答】解：延长AC交y轴于E，如图，
∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，
∴AC∥OB，
∴AE⊥y轴，
∵∠BOC=60°，
∴∠COE=30°，
而顶点C的坐标为（m，3），
∴OE=3，
∴CE=OE=3，
∴OC=2CE=6，
∵四边形ABOC为菱形，
∴OB=OC=6，∠BOA=30°，
在Rt△BDO中，
∵BD=OB=2，
∴D点坐标为（﹣6，2），
∵反比例函数y=的图象经过点D，
∴k=﹣6×2=﹣12．
故答案为﹣12．
　
15．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=4，DC=5，AB=8．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．设运动时间为t秒，当△PQB为等腰三角形时，t的值为　、或4　．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质和余弦公式列出等式求解，即可求的结论．
【解答】解：如图1，作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AECD是矩形，
∴AE=CD=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC==5，
cos∠B=，
①当PQ=PB时（如图2所示），则BG=BQ，
==，
解得：t=s，
②当PQ=BQ时（如图3所示），则BG=PB，
==，
解得t=s，
③当BP=BQ时（如图4所示），则8﹣t=t，
解得：t=4．
综上所述：当t=s，
s或t=4s时，△PQB为等腰三角形．
故答案为：、或4．
　
三、解答题（共5小题，满分48分）
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，
AE=CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠DCA．证出AF=CE．由AAS证明△ABF≌△CDE即可；
（2）先证明四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再证明四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，
，
又∵∠ABF=∠CDE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：
连接BD交AC于点O，如图所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF=DE，BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
　
17．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）根据方程解的定义把x=﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，整理得a﹣b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
　
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象于反比例函数y=的图象相交于点A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察函数图象，直接写出一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A（﹣4，﹣2）代入y=求出看，即可得出反比例函数的表达式，把B（m，4）代入y=求出B的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b得出，求出k、b，即可求出一次函数的表达式；
（2）把x=0代入y=x+2求出OC，分别求出△AOC和△BOC的面积，相加即可；
（3）根据A、B的坐标和图象得出即可．
【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣2）代入y=得：k=8，
即反比例函数的表达式为y=，
把B（m，4）代入y=得：4=，
解得：m=2，
即B（2，4），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=1，b=2，
即一次函数的表达式为y=x+2；
（2）把x=0代入y=x+2得：y=2，
即OC=2，
所以△AOB的面积为：×2×|﹣4|+×2×2=6；
（3）由图象可知：一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量x的取值范围是x＞2或﹣4＜x＜0．
　
19．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销，购进价格为每件10元，若售价为12元/件，则可全部售出；若每涨价0.1元，销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3300元，求m的值（m＞0）．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；
（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3300元，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设售价应为x元，依题意有
1160﹣≥1100，
解得：x≤15．
答：售价应不高于15元．
（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），
由题意得：
1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]=3300，
设m%=t，化简得2t2﹣t=0，
解得：t1=0，t2=0.5，
所以m1=0，m2=50%，
因为m＞0，
所以m=50．
答：m的值为50．
　
20．在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
特殊发现：
如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．
（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）首先过点P作PM⊥CE于点M，然后根据EF⊥AE，BC⊥AC，可得EF∥MP∥CB，推得，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得PC=PE即可．
（2）首先过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DAF≌△EAF，即可判断出AD=AE；再判断出△DAP≌△EAP，即可判断出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得PC=PE．
（3）首先根据△CPE总是等边三角形，可得将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE仍是等边三角形；然后根据∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，可得点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出∠CBE的度数，即可求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是多少．
【解答】解：（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵EF⊥AE，BC⊥AC，
∴EF∥MP∥CB，
∴，
∵点P是BF的中点，
∴EM=MC，
又∵PM⊥CE，
∴PC=PE．
（2）如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，
，
PC=PE成立，理由如下：
∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，
在△DAF和△EAF中，
，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，
又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，
又∵PD=PE，
∴PC=PE．
（3）如图4，，
∵△CPE总是等边三角形，
∴将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE仍是等边三角形，
∵∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，
∴点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上，
∵△CPE是等边三角形，
∴∠CPE=60°，
根据圆周角定理，可得
∠CBE=∠CPE=60°=30°，
即∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，
∵=k，
=tan30°，
∴k=tan30°=，
∴当k为时，△CPE总是等边三角形．
　
2017年2月21日
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