1.4 三元一次方程组 同步练习
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1.4 三元一次方程组
核心笔记:
1.一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数均为1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的思路,与解二元一次方程组类似,仍是用代入法或加减法,一般是通过逐步减少未知数的个数(即消元),先转化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程.
基础训练
1.下列方程组中,是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.解下面的方程组时,要使解法较为简便,应( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.先消去常数
3.甲、乙、丙三数的和是26,甲数比乙数大1,甲数的2倍与丙数的和比乙数大18,求这三个数.如果设甲数是x,乙数是y,丙数是z,那么列出的方程组是____________.?
4.解方程组时,由,得____________④;?
④-①,得z=____________;④-②,得x=____________;?
④-③,得y=____________;所以方程组的解为____________.?
5.解方程组:
(1)
(2)
6.为迎接2013年“亚青会”,学校组织了一次游戏:每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖,在同一圆环内或同在最小圆内得分相同.如图所示,小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分,求小华的成绩.
培优提升
1.方程组的解是( )
A. B.
C. D.
2.图①的等臂天平呈平衡状态,其中左侧秤盘有一袋石头,右侧秤盘有一袋石头和2个各10 g的砝码.将左侧袋中的一块石头移至右侧秤盘,并拿走右侧秤盘的1个砝码后,天平仍呈平衡状态,如图②所示.被移动的石头的质量为( )g.
A.5 B.10 C.15 D.20
3.已知方程x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.希望中学收到了王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价格为330元.这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10元,那么其中排球有 个.?
5.已知代数式ax2+bx+c,当x=-1时,其值为4;当x=1时,其值为8;当x=2时,其值为25;则当x=3时,其值为 .?
6.方程x+2y+3z=10的正整数解共有 组.?
7.解下列三元一次方程组:
(1)
(2)
8.对于有理数x,y定义新运算x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数,已知1*2=9,(-3)*3=6,0*1=2,求(-2)*5的值.
9.已知3x-2y-5z=0,2x-5y+4z=0,且x,y,z均不为零,求的值.
10.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三杯内原本均装有一些水,先将甲杯内的水全部倒入丙杯,此时丙杯内的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯内的水全部倒入丙杯,此时丙杯内的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差( )毫升.
A.80 B.110 C.140 D.220
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
解：选项A中3xy的次数是2,所以选项A不是三元一次方程组;选项B符合三元一次方程组的定义,所以正确;选项C中有四个未知数,所以不是三元一次方程组;选项D中的第一个方程不是一次方程,所以不是三元一次方程组.故选B.
2.【答案】C
解：①中不含z,故先消去z较简便.
3.
4.【答案】x+y+z=8;4;1;3;
5.解:(1)①+②,得3x+3y=8.④
①+③,得4x+6y=13.⑤
④×2-⑤,得2x=3,解得x=.
把x=代入④,得+3y=8,解得y= .把x=,y= 代入①,得z= .所以原方程组的解是
(2)①+②,得5x+2y=12, ④
②+③,得3x+4y=18, ⑤
④×2-⑤,得7x=6,解得x=.
将x=代入④,得y=,
将x=,y=代入③,得z=.
所以该方程组的解为
6.解:设飞镖投到最小的圆中得x分,投到中间的圆环中得y分,投到最外面的圆环中得z分,根据题意,得
解得
则小华的成绩是18+11+7=36(分).
【培优提升】
1.【答案】D
2.【答案】A
解：设左侧秤盘的一袋石头重x g,右侧秤盘的一袋石头重y g,被移动的石头重z g,根据题意,得x=y+20及x-z=y+z+10,解得z=5.
3.【答案】D
解：把方程x+2y+3z=10和4x+3y+2z=15的左右两边分别相加,得5x+5y+5z=25,两边同除以5,得x+y+z=5,故选D.
4.【答案】15
解：设足球有x个,篮球有y个,排球有z个,则
②-①得:5x+2y=13,即y=,因为x,y,z都是正整数,所以x=1,y=4.由此可得z=15,所以排球有15个.
5.【答案】52
解：由题意可得方程组:解得于是将x=3代入代数式5x2+2x+1中计算出结果即可.
6.【答案】4
解：x,y,z为正整数,
当z=1时,x+2y=7,则或或
当z=2时,x+2y=4,则
所以共有4组正整数解.
7.解:(1)
①+②,得2x+3y=4.④
①+③,得3x=5.⑤
由④与⑤组成方程组解这个方程组,得把代入①,得z=-.所以原方程组的解是
(2)由x∶y∶z=3∶4∶5,设x=3k,y=4k,z=5k,将其代入x+y+z=36中,得3k+4k+5k=36,解得k=3.所以x=3k=9,y=4k=12,z=5k=15.故原方程组的解为
8.解:由x*y=ax+by+c得
1*2=a+2b+c=9,
(-3)*3=-3a+3b+c=6,
0*1=b+c=2,
解得a=2,b=5,c=-3.
则(-2)*5=(-2)×2+5×5-3=18.
9.解:把z看成常数,由已知两个方程,可解得将其代入待求值的式子中,得
===1.
10.B 解：设甲杯中原有水a毫升,乙杯中原有水b毫升,丙杯中原有水c毫升.
根据题意得
②-①,得b-a=110.
故选B.
核心笔记:
1.一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数均为1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的思路,与解二元一次方程组类似,仍是用代入法或加减法,一般是通过逐步减少未知数的个数(即消元),先转化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程.
基础训练
1.下列方程组中,是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
2.解下面的方程组时,要使解法较为简便,应( )
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.先消去常数
3.甲、乙、丙三数的和是26,甲数比乙数大1,甲数的2倍与丙数的和比乙数大18,求这三个数.如果设甲数是x,乙数是y,丙数是z,那么列出的方程组是____________.?
4.解方程组时,由,得____________④;?
④-①,得z=____________;④-②,得x=____________;?
④-③,得y=____________;所以方程组的解为____________.?
5.解方程组:
(1)
(2)
6.为迎接2013年“亚青会”,学校组织了一次游戏:每位选手朝特制的靶子上各投三次飞镖,在同一圆环内或同在最小圆内得分相同.如图所示,小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分,求小华的成绩.
培优提升
1.方程组的解是( )
A. B.
C. D.
2.图①的等臂天平呈平衡状态,其中左侧秤盘有一袋石头,右侧秤盘有一袋石头和2个各10 g的砝码.将左侧袋中的一块石头移至右侧秤盘,并拿走右侧秤盘的1个砝码后,天平仍呈平衡状态,如图②所示.被移动的石头的质量为( )g.
A.5 B.10 C.15 D.20
3.已知方程x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,则x+y+z的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.希望中学收到了王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价格为330元.这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10元,那么其中排球有 个.?
5.已知代数式ax2+bx+c,当x=-1时,其值为4;当x=1时,其值为8;当x=2时,其值为25;则当x=3时,其值为 .?
6.方程x+2y+3z=10的正整数解共有 组.?
7.解下列三元一次方程组:
(1)
(2)
8.对于有理数x,y定义新运算x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数,已知1*2=9,(-3)*3=6,0*1=2,求(-2)*5的值.
9.已知3x-2y-5z=0,2x-5y+4z=0,且x,y,z均不为零,求的值.
10.桌面上有甲、乙、丙三个杯子,三杯内原本均装有一些水,先将甲杯内的水全部倒入丙杯,此时丙杯内的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升;再将乙杯内的水全部倒入丙杯,此时丙杯内的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出,则原本甲、乙两杯内的水量相差( )毫升.
A.80 B.110 C.140 D.220
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
解：选项A中3xy的次数是2,所以选项A不是三元一次方程组;选项B符合三元一次方程组的定义,所以正确;选项C中有四个未知数,所以不是三元一次方程组;选项D中的第一个方程不是一次方程,所以不是三元一次方程组.故选B.
2.【答案】C
解：①中不含z,故先消去z较简便.
3.
4.【答案】x+y+z=8;4;1;3;
5.解:(1)①+②,得3x+3y=8.④
①+③,得4x+6y=13.⑤
④×2-⑤,得2x=3,解得x=.
把x=代入④,得+3y=8,解得y= .把x=,y= 代入①,得z= .所以原方程组的解是
(2)①+②,得5x+2y=12, ④
②+③,得3x+4y=18, ⑤
④×2-⑤,得7x=6,解得x=.
将x=代入④,得y=,
将x=,y=代入③,得z=.
所以该方程组的解为
6.解:设飞镖投到最小的圆中得x分,投到中间的圆环中得y分,投到最外面的圆环中得z分,根据题意,得
解得
则小华的成绩是18+11+7=36(分).
【培优提升】
1.【答案】D
2.【答案】A
解：设左侧秤盘的一袋石头重x g,右侧秤盘的一袋石头重y g,被移动的石头重z g,根据题意,得x=y+20及x-z=y+z+10,解得z=5.
3.【答案】D
解：把方程x+2y+3z=10和4x+3y+2z=15的左右两边分别相加,得5x+5y+5z=25,两边同除以5,得x+y+z=5,故选D.
4.【答案】15
解：设足球有x个,篮球有y个,排球有z个,则
②-①得:5x+2y=13,即y=,因为x,y,z都是正整数,所以x=1,y=4.由此可得z=15,所以排球有15个.
5.【答案】52
解：由题意可得方程组:解得于是将x=3代入代数式5x2+2x+1中计算出结果即可.
6.【答案】4
解：x,y,z为正整数,
当z=1时,x+2y=7,则或或
当z=2时,x+2y=4,则
所以共有4组正整数解.
7.解:(1)
①+②,得2x+3y=4.④
①+③,得3x=5.⑤
由④与⑤组成方程组解这个方程组,得把代入①,得z=-.所以原方程组的解是
(2)由x∶y∶z=3∶4∶5,设x=3k,y=4k,z=5k,将其代入x+y+z=36中,得3k+4k+5k=36,解得k=3.所以x=3k=9,y=4k=12,z=5k=15.故原方程组的解为
8.解:由x*y=ax+by+c得
1*2=a+2b+c=9,
(-3)*3=-3a+3b+c=6,
0*1=b+c=2,
解得a=2,b=5,c=-3.
则(-2)*5=(-2)×2+5×5-3=18.
9.解:把z看成常数,由已知两个方程,可解得将其代入待求值的式子中,得
===1.
10.B 解：设甲杯中原有水a毫升,乙杯中原有水b毫升,丙杯中原有水c毫升.
根据题意得
②-①,得b-a=110.
故选B.