课件33张PPT。第三章 圆3.6 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系
及切线的性质1课堂讲解直线和圆的位置关系
切线的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升（1）观察下面的三幅图片，地平线与太阳的位置关系是
怎样的？
（2）作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平
移直尺，直线和 圆有几种位置关系？1知识点直线和圆的位置关系1．直线和圆的位置关系：
(1)相交： 如图①，直线和圆有两个公共点，这时我们
说这条直线和圆相交，公共点叫做交点，这条直线
叫做圆的割线．知1－讲(2)相切：如图②，直线和圆有唯一的公共点，这时我们说这
条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公
共点叫做切点.
(3)相离：如图③，直线和圆没有公共点，这时我们说这条直
线和圆相离．知1－讲2.直线和圆的位置关系的性质及判定：
(1)直线和圆的公共点个数与位置间的关系：
①两公共点?直线和圆相交；
②一公共点?直线和圆相切；
③无公共点?直线和圆相离．知1－讲(2)如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
①直线l和⊙O相交?d＜r；
②直线l和⊙O相切?d＝r；
③直线l和⊙O相离?d＞r.
说明：这两种方法各具特点：第一种方法直观明了，但直
线和圆相切，有时仅凭观察是不准确的；第二种方法准确
但不直观．知1－讲3. 易错警示：
(1)理解切线定义时，要抓住关键字眼“只有一个”，避免
出现“有一个公共点时，直线和圆相切”的错误，用动
态的观点及数形结合思想来准确理解切线的定义．
(2)射线、线段和圆的位置关系不能像直线一样依据交点
个数判定，要具体情况具体分析．知1－讲已知 Rt△ABC的斜边 AB= 8 cm, AC= 4 cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时， AB与⊙O相
切？
(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两
个圆，这两个 圆与AB分别有怎样的位置关系？知1－讲 例1知1－讲(1)如图,过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC = 4cm,AB = 8 cm,
∴cosA=
∴ ∠ A = 60°.
∴ CD = ACsinA = 4 sin 60° = (cm).
因此，当半径长为 cm时，AB与⊙ C相切.
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离 d = cm,所以
当r = 2cm时，d>r, ⊙ C与AB相离；
当r = 4cm时，d90°.若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相
离，求r的取值范围．知1－讲⊙C与直线AB不相离，即⊙C与直线AB相交或相切，
因此只需点C到直线AB的距离小于或等于r.导引： 例2知1－讲如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，
AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝5(cm)．
又∵S△ABC＝ AB·CD＝ AC·BC，
∴CD＝2.4 cm.
∴r≥2.4 cm.解：总 结知1－讲(1)直线和圆的位置关系的应用过程实质是一种数形结
合思想的转化过程，它始终是“数”：圆心到直线的
距离与圆的半径大小，与“形”：直线和圆的位置关
系之间的相互转化．
(2)圆心到直线的距离通常用勾股定理与面积相等法求
出．(2016·湘西州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径
画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定知1－练(2015·嘉兴)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，
AC＝4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半
径为( )
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6知1－练如图，∠O＝30°，P为边OA上的一点，且OP＝5，若以P为圆心，r为半径的圆与射线OB只有一个公共点，则半径r满足的条件是( )
A．r＝5
B．r＝
≤r<5
D．r＝ 或r>5知1－练2知识点切线的性质知2－导(1)请举出生活中直线与圆相交、相切、相离的 实例.
(2)图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画
出它们的对称轴吗？议一议知2－导(3)如图,直线CD与⊙O相切于点A，直 径AB与直线CD有
怎样的位置关系？说一说你的理由.归 纳知2－导圆的切线垂直于过切点的半径.知2－讲1．性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
要点精析：
(1)性质定理的题设有两个条件：
①圆的切线；②半径过切点，应用时缺一不可．
(2)切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理
是在未知相切而要证明相切的情况下使用，切线的性
质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用；它
们是一个互逆的过程，不要混淆．知2－讲2．切线的性质：
温故：(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)圆心到切线的距离等于半径；
(3)圆的切线垂直于过切点的半径．
知新：(推论)
(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用)．
(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用)．
以上(3)(4)(5)可归纳为：
已知直线满足：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线中的任意
两个，就可得到第三个．知2－讲拓展：
(1)弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相交(弦)，另
一边与圆相切(切线)的角叫弦切角．
(2)弦切角的性质：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆
周角的度数；亦等于它所夹弧的度数的一半；也等于
它所夹弧所的圆心角度数的一半．知2－讲 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，点O在AB的延长线上，AC切⊙O于点C.求：
(1)⊙O的半径；
(2)∠A的度数．例3连接OC，易得Rt△OAC，运用勾股定理求⊙O的
半径．在Rt△OAC中，利用锐角三角函数求∠A
的度数．导引：知2－讲(1)连接OC.
∵AC切⊙O于点C，∴OC⊥AC，
设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r.
∴OA＝OB＋AB＝1＋r.
在Rt△OAC中，OA2＝OC2＋AC2，
即(1＋r)2＝r2＋( )2，解得r＝1.故⊙O的半径为1.
(2)由(1)得OC＝1，OA＝2.
在Rt△OAC中，sin A＝ ，∴∠A＝30°.解：总 结知2－讲 当圆中有切线和切点时，通常连接过切点的半径，
则这条半径必与切线垂直，本例中作辅助线的方法，
适用于同类条件下与圆有关的求值或证明题．知2－讲〈永州〉如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC
上，∠A＝30°，D为 中点．求证：
(1)AB＝BC；
(2)四边形BOCD是菱形．例4(1)要证AB＝BC，可证∠A＝∠ACB＝30°.由AB切⊙O于
B，可得AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝60°＝
∠ACB＋∠OBC.再由OB＝OC得∠OCB＝∠OBC＝30°.
(2)连接OD，由D为 中点，可得OD垂直平分BC，再证
BC平分OD即可得出四边形BOCD为菱形．导引：知2－讲(1)∵AB切⊙O于点B，∴∠OBA＝90°.
∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC.
又∵∠AOB＝∠OBC＋∠OCB＝60°，
∴∠OCB＝30°＝∠A.∴AB＝BC.
(2)如图，连接OD，交BC于点M.∵D为 中点，
∴OD垂直平分BC.在Rt△OCM中，∠OCM＝30°，
∴OM＝ OC＝ OD.∴OM＝DM.
∴四边形BOCD为菱形．证明：总 结知2－讲 有弧的中点的条件时，也要连半径，这类辅助线
的作法对于证角的相等或倍分关系以及证线段的垂直
平分起到桥梁作用．(2016·无锡)如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )
A．70°
B．35°
C．20°
D．40°知2－练知2－练(2016·湖州)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB
＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的
延长线于点D，则∠D的度数是( )
A．25°
B．40°
C．50°
D．65°知2－练(2015·泸州)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两
点，若∠C＝65°，则∠P的度数为( )
A．65°
B．130°
C．50°
D．100°1.直线与圆的三种位置关系可以用两种方式刻画：
一是用直线与圆的公共点的个数来确定，
二是用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系来
确定，两种方式本质上是一致的．
2.直线与圆的三种位置关系中“相切”最具有特殊性，由此
我们得到了圆的切线的定义和性质，在应用切线的性质
时，一定要抓住“垂直”这一特征，综合直角三角形的有
关知识灵活解决问题．
