课件40张PPT。第三章 圆第3节 垂径定理1课堂讲解圆的轴对称性
垂径定理
垂径定理的推论2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.利用折叠的方法，我们可以得到：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.1知识点圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
要点精析：
(1)圆的对称轴有无数条．
(2)因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不
能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴
是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心
的直线”．知1－讲知1－讲下列图形中，对称轴条数最多的是( )
A．线段 B．正方形
C．正三角形 D．圆例1导引：线段有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正三角
形有三条对称轴，圆有无数条对称轴．D知1－讲 过圆心的任意一条直线都是该圆的对称轴，这是
圆独有的性质．知1－练下列说法：(1)圆是轴对称图形；(2)圆有无数条对称轴；(3)圆的任意一条直径都是圆的对称轴；(4)圆所在平面内任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－练过圆内一点A可以作出几条圆的对称轴，( )
A．1条
B．2条
C．无数条
D．1条或无数条2知识点垂径定理知2－导如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.知2－导 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧.知2－讲知2－讲定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
知2－讲要点精析：
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的
半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且
垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径．
(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．知2－讲〈黄冈〉如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为( )
A．8 B．10
C．16 D．20例2导引：连接OC.根据垂径定理，知CE＝ CD＝6.在Rt△OEC
中，设OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2.所以(x－2)2＋62
＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.D知2－讲 本题运用构造法，连接半径，根据AB⊥CD，构造
Rt△OEC，再运用方程思想，设未知数，运用垂径定理和
勾股定理列方程进行求解．知2－讲某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准
备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60 cm，
水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备
内径为多大的管道？例3知2－讲导引：画出如图②所示的示意图，过圆心O作OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，连接OB，若设⊙O的半径为r cm，在
Rt△BOD中，利用勾股定理列出关于r的方程，继而解
出r的值．知2－讲解：如图②，弦AB表示污水水面，点O为圆心，圆形管道的内
径即为⊙O的直径．设半径为r cm，过点O作OC⊥AB于点D,
与 交于点C，根据垂径定理知，点D是AB的中点，点
C是 的中点，CD就是污水水面至管道顶部的距离．由
题意可知：AB＝60 cm，CD＝10 cm，∴BD＝ AB＝30
cm，OD＝(r－10) cm.在Rt△DOB中，BD2＋OD2＝OB2，即
302＋(r－10)2＝r2，解得r＝50.∴2r＝2×50＝100(cm)．
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道．知2－讲 本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，
先正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直
角三角形，最后利用勾股定理求解．知2－练( 2016·黄石)如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON等于( )
A．5
B．7
C．9
D．11知2－练(2015·广元)如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是( )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE≌△ODE知2－练如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝
12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )
A．16
B．18
C．19
D．20知2－练(2015·上海)如图，已知⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D.要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是( )
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB3知识点垂径定理的推论知3－导如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.知3－导 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.知3－讲推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
要点精析：推论中涉及了两条弦，注意第一条弦不能为
直径．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的弧，知3－讲即：如图，在⊙O中，
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
知3－讲拓展：
关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备
以下五个性质：
①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦(不是
直径)；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对
的劣弧．如果把其中的任意两条作为条件，其余三条
作为结论，组成的命题都是真命题．知3－讲下列说法正确的是( )
A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线一定经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经
过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧例4C知3－讲导引：经过弦的中点的直线有无数条，只有经过弦的中点且
垂直于弦的直线才经过圆心并平分这条弦所对的弧，
所以选项A，B错误．弦的垂线有很多，不一定平分
弦所对的弧，所以选项D错误．平分弦所对两条弧的
直线必垂直平分弦且经过圆心，所以选项C正确．知3－讲如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.例5知3－讲连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m. 解：知3－讲如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB
上两点，且AC＝BD.
求证：△OCD为等腰三角形．例6知3－讲导引：要证△OCD为等腰三角形，只需证OC＝OD，就现有
图形来看，有两个切入点：(1)利用线段垂直平分线上
的点，则需作垂直于弦的直径；(2)利用全等三角形的
对应边，则需作垂直于弦的直径或连半径．证明：过点O作OM⊥AB，垂足为M，如图.
∵OM⊥AB，∴AM＝BM.
∵AC＝BD，∴CM＝DM.又∵OM⊥CD，
∴OC＝OD.
∴△OCD为等腰三角形．知3－讲(1)垂径定理及其推论在圆中涉及弦、弦心距、直径的命题中应用频
率较高，虽然我们将其归纳为一个定理三个推论，但应用起来灵活
多样，是我们在有关圆的命题中证线段相等、证垂直、证角相等时
最常用的依据．(2)常见的作辅助线的方法有：若已知圆心，则作垂
直于弦的直径；若已知弦、弧的中点，则作弦、弧中点的连线，连
半径等．(3)本例中我们只给出利用线段垂直平分线的性质的证明过
程；而利用全等三角形的对应边，则可找出多种三角形的组合，请
读者自己完成其证法．知3－练如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( )
A．8 cm
cm
C．6 cm
D．2 cm知3－练如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一个动点，则线段OM的长的取值范围是( )
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜51．圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2．垂径定理：
(1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧.(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具
备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为
条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
