1.6.1 视角在测量中的应用课件
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课件21张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.6 利用三角函数的测高第1课时 视角在测量中的
应用1课堂讲解仰角的应用
俯角的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为仰角．
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角．定义：要点精析：
观察视线与水平线的位置关系是区分仰角和俯角
的关键，计算时我们可以作铅垂线，将仰角和俯角放
在直角三角形中再解题．例1 如图小山岗的斜坡AC的坡度是 坡角为α，在
与山脚C距离200 m的点D处测得山顶A的仰角为
26.6°，求小山岗的高．(结果精确到1 m，参考
数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，
tan 26.6°≈0.50)知1－讲1知识点仰角的应用知1－讲 设小山岗的高为x m，由题意得tan α＝
又在Rt△ABD中，tan 26.6°＝
而BD＝BC＋CD，由此可得关于x的方程，
从而解得AB的长．导引：知1－讲设小山岗的高为x m，
在Rt△ABC中，由题意得 tan α＝
∴BC＝
∴BD＝DC＋BC＝
在Rt△ABD中，tan ∠ADB＝tan 26.6°＝
∴ 解得x≈300，即小山岗的高约为
300 m.解：知1－讲与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法：
首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造
恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，
选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量． 例2 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳
初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在N处看塔顶，仰角为60°.
乙：我站在M处看塔顶，仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5 m.
乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.
请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结
果精确到1 m)．知1－讲知1－讲 由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20 m，
AM＝BN＝DP＝1.5 m．
在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，
∴∠ACB＝60°－30°＝30°.
∴∠ACB＝∠CAB.∴BC＝AB＝20 m．
在Rt△CBD中，BC＝20 m，∠CBD＝60°，
sin ∠CBD＝
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝20sin 60°＝20× (m)．
∴CP＝CD＋DP＝10 ＋1.5≈19(m)．
答：白塔的高度约为19 m.解：知1－讲 从不同位置看同一点测高度时，往往用高度来
表示这两个不同位置到被测物底部的距离．然后利用
两次测量的不同位置之间的距离来解决问题．(2015·长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A. m
B．30sin α m
C．30tan α m
D．30cos α m知1－练(2015·聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50 m的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD的高度为1 m，则桥塔AB的高度约为( )(参考数据：sin 41.5°≈0.663，
cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34 m B．38 m
C．45 m D．50 m知1－练(2015·衡阳)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D
处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰
角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又
测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的
高度AB为( )
A．50 m
B．51 m
C．(50 ＋1) m
D．101 m知1－练2知识点俯角的应用知2－讲例3〈青岛〉小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大
桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图
所示．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100
m．请求出热气球离地面
的高度．(结果保留整数．
参考数据：sin 35°≈0.574，
cos 35°≈0.819，
tan 35°≈0.700)知2－讲过点A作AD⊥BC于点D，热气球离地面的高度即为AD
的长．利用BC长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构
造出Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．
如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，
∠ACD＝35°，BC＝100 m.
设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m.
∵BC＝CD－BD，∴ －x＝100.
∴x≈233.
答：热气球离地面的高度约为233 m.导引：解：知2－讲 从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置
之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，
利用不同位置之间的距离列方程来解决问题．(2015·哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正
下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，
从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A
与指挥台B的距离为( )
A．1 200 m
B．1 200 m
C．1 200 m
D．2 400 m知2－练知2－练(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )
A．160 m
B．120 m
C．300 m
D．160 m知2－练(2015·潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测
量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测
观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶
端B点处观测观光塔底部D
处的俯角是30°(如图)．
已知楼房高AB是45 m，根
据以上观测数据可求观光
塔的高CD是________．解答含有仰角、俯角问题的方法：
(1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰
角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物
体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯
角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物
体的高度．
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实
际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
应用1课堂讲解仰角的应用
俯角的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为仰角．
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成
的锐角称为俯角．定义：要点精析：
观察视线与水平线的位置关系是区分仰角和俯角
的关键，计算时我们可以作铅垂线，将仰角和俯角放
在直角三角形中再解题．例1 如图小山岗的斜坡AC的坡度是 坡角为α，在
与山脚C距离200 m的点D处测得山顶A的仰角为
26.6°，求小山岗的高．(结果精确到1 m，参考
数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，
tan 26.6°≈0.50)知1－讲1知识点仰角的应用知1－讲 设小山岗的高为x m，由题意得tan α＝
又在Rt△ABD中，tan 26.6°＝
而BD＝BC＋CD，由此可得关于x的方程，
从而解得AB的长．导引：知1－讲设小山岗的高为x m，
在Rt△ABC中，由题意得 tan α＝
∴BC＝
∴BD＝DC＋BC＝
在Rt△ABD中，tan ∠ADB＝tan 26.6°＝
∴ 解得x≈300，即小山岗的高约为
300 m.解：知1－讲与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法：
首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造
恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，
选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量． 例2 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳
初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在N处看塔顶，仰角为60°.
乙：我站在M处看塔顶，仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5 m.
乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.
请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结
果精确到1 m)．知1－讲知1－讲 由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20 m，
AM＝BN＝DP＝1.5 m．
在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，
∴∠ACB＝60°－30°＝30°.
∴∠ACB＝∠CAB.∴BC＝AB＝20 m．
在Rt△CBD中，BC＝20 m，∠CBD＝60°，
sin ∠CBD＝
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝20sin 60°＝20× (m)．
∴CP＝CD＋DP＝10 ＋1.5≈19(m)．
答：白塔的高度约为19 m.解：知1－讲 从不同位置看同一点测高度时，往往用高度来
表示这两个不同位置到被测物底部的距离．然后利用
两次测量的不同位置之间的距离来解决问题．(2015·长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )
A. m
B．30sin α m
C．30tan α m
D．30cos α m知1－练(2015·聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50 m的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD的高度为1 m，则桥塔AB的高度约为( )(参考数据：sin 41.5°≈0.663，
cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34 m B．38 m
C．45 m D．50 m知1－练(2015·衡阳)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D
处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰
角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又
测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的
高度AB为( )
A．50 m
B．51 m
C．(50 ＋1) m
D．101 m知1－练2知识点俯角的应用知2－讲例3〈青岛〉小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大
桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图
所示．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100
m．请求出热气球离地面
的高度．(结果保留整数．
参考数据：sin 35°≈0.574，
cos 35°≈0.819，
tan 35°≈0.700)知2－讲过点A作AD⊥BC于点D，热气球离地面的高度即为AD
的长．利用BC长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构
造出Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．
如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，
∠ACD＝35°，BC＝100 m.
设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m.
∵BC＝CD－BD，∴ －x＝100.
∴x≈233.
答：热气球离地面的高度约为233 m.导引：解：知2－讲 从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置
之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，
利用不同位置之间的距离列方程来解决问题．(2015·哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正
下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，
从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A
与指挥台B的距离为( )
A．1 200 m
B．1 200 m
C．1 200 m
D．2 400 m知2－练知2－练(2016·长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为( )
A．160 m
B．120 m
C．300 m
D．160 m知2－练(2015·潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测
量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测
观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶
端B点处观测观光塔底部D
处的俯角是30°(如图)．
已知楼房高AB是45 m，根
据以上观测数据可求观光
塔的高CD是________．解答含有仰角、俯角问题的方法：
(1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰
角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物
体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯
角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物
体的高度．
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实
际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．