2.1 二次函数课件
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课件25张PPT。第二章 二次函数第1节 二次函数1课堂讲解二次函数的定义
利用二次函数的表达式表示实际问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结
600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果
园产量，但是如果多种树，那么树之间的距
离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据
经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会
少结5个橙子.
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式. 果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）
个橙子，因此果园橙子的总产量
y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60 000.1知识点二次函数的定义做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也
就是说，利率是一个变量.在我国，利率的
调整是由中国人民银行根据国民经济发展
的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，
一年到期后，银行将本金和利息自动按一
年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那
么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式.知1－导知1－导 （1）两数和是20，设其中一个数是x，你能写出中两
数之积y的表达式吗？
（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2
吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的
面积与其一边长的关系吗？想一想1．定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示
成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x
的二次函数；其中a是二次项系数，b为一次项系数，c为
常数项．
要点精析：(1)二次函数必须满足三个条件：
①函数表达式为整式；
②函数表达式有唯一的自变量；
③自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.
(2)二次函数中自变量的取值范围是一切实数，函数值范围不
是一切实数．知1－讲2．判断一个函数是否为二次函数的方法：
(1)将函数表达式整理为右边是含自变量的代数式，左边是
因变量的形式；
(2)判断右边含自变量的代数式是否为整式；
(3)判断自变量的最高次数是否为2；
(4)判断二次项系数是否为0.
3．易错警示：判断一个函数是不是二次函数，化为一般形
式后当二次项系数包含字母时，一定要注意二次项的系
数不能为零这一条件．知1－讲例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数
的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2； (3)y＝3a3＋2a2；
(4)y＝x－2＋x; (5)y＝3(x－2)(x－5); (6)y＝x2＋ .知1－讲解：(2)与(5)是二次函数．(2)y＝－5x2的二次项系数为
－5，一次项系数和常数项为0；(5)化为一般式，
得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.知1－讲 判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数
的表达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个
条件：
(1)所表示的函数的表达式为整式；
(2)函数的表达式有唯一自变量；
(3)自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.知1－讲导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项
式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．知1－讲 当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须
满足二次项系数不为0这一条件．1 (2015·兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
2 下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2＋ ＋1
C．y＝2x2－1 D．y＝
3 下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2 D．x2－y2＋1＝0知1－练4 若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，
则( )
A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
5 若y＝(m－1)x m2＋1是二次函数，则m的值是( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
6 下列结论中正确的是( )
A．二次函数中两个变量的值是非零实数
B．二次函数中变量x的值可以是所有实数
C．形如y＝ax2＋bx＋c的函数叫二次函数
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值均不能为零知1－练2知识点利用二次函数的表达式表示实际问题知2－讲?1．根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关
系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
2．易错警示：一般情况下，二次函数中自变量的取值范
围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必
须使实际问题有意义．知2－讲 例3 填空：
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半
径r(cm)之间的函数关系式是_______________；
(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
y与x之间的函数关系式是_____________________． (1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解；
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝
S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x)
＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝
S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2
＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10
－x)2＝－x2＋20x.V＝14πr2(r＞0)y＝－x2＋20x(0≤x≤10)导引：知2－讲(1)求几何问题中二次函数的关系式，除了根据有关面积、体积公式
写出二次函数关系式以外，还应考虑问题的实际意义，明确自变
量的取值(在一些问题中，自变量的取值可能是整数或者是在一
定的范围内)；
(2)如果不能通过已知条件直接写出函数关系式(直接法)，应适当考
虑通过割补法，将问题转化为几个图形面积和差的问题(间接法)，
再寻求解答；判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，
不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的取值范围的常
见方法．
(3)如果要作实际问题中的函数的图象，注意其图象应是在自变量取
值范围内的部分图象．知2－讲例4〈易错题〉在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要
在一块靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，
花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成，若设
花园平行于墙的一边长为x m，花园的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗？若能，求出此
时x的值，若不能，说明理由．导引：本例根据实际问题建立数学模型，转化为几何问题，
得出的有关结果要符合实际，因此列函数关系式时，
要求出自变量的取值范围．知2－讲(1)因为栅栏的总长为40 m，如图，
若BC的长为x m，则AB的长为 m.
由 可得0 根据题意，得y＝x· ，即y＝－ x2＋20x，
所以y＝－ x2＋20x(0(2)不能．理由如下：当y＝200时，－ x2＋20x＝200，所
以x2－40x＋400＝0.解得x1＝x2＝20.因为0 花园的面积不能达到200 m2.解：知2－讲(1)此题将生活问题转化为几何问题，列生活中有关几何
面积问题的函数关系式，一般先要根据题中条件求出
自变量的取值范围，再由相关的面积公式求出函数关
系式．
(2)求自变量的取值范围，应结合问题，全面考虑，不要
漏掉一些约束条件(如本例中墙长15 m)，列不等式组
是求自变量取值范围的常用方法．
(3)本例(2)中常常因不考虑自变量x的范围而出现错误结
论．1 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( )
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2知2－练(2015·温州)如图，∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH，
已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，
图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数表达式是
( )
A．y＝ x2 B．y＝ x2
C．y＝2 x2 D．y＝3 x2知2－练 3 下列函数关系中，不是二次函数的是( )
A．边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系
B．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个
直角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系
C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方
形，剩余面积S与t的函数关系
D．多边形的内角和m与边数n的函数关系知2－练1.关于二次函数的定义要理解三点：
(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实
数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实
际意义．
(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要
把函数表达式化为一般式．
(3)二次项系数不为0.2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关
系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
利用二次函数的表达式表示实际问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结
600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果
园产量，但是如果多种树，那么树之间的距
离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据
经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会
少结5个橙子.
（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式. 果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）
个橙子，因此果园橙子的总产量
y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60 000.1知识点二次函数的定义做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也
就是说，利率是一个变量.在我国，利率的
调整是由中国人民银行根据国民经济发展
的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，
一年到期后，银行将本金和利息自动按一
年定期储蓄转存.如果存款额是100元，那
么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式.知1－导知1－导 （1）两数和是20，设其中一个数是x，你能写出中两
数之积y的表达式吗？
（2）已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2
吗？可能是75cm2吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的
面积与其一边长的关系吗？想一想1．定义：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示
成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x
的二次函数；其中a是二次项系数，b为一次项系数，c为
常数项．
要点精析：(1)二次函数必须满足三个条件：
①函数表达式为整式；
②函数表达式有唯一的自变量；
③自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.
(2)二次函数中自变量的取值范围是一切实数，函数值范围不
是一切实数．知1－讲2．判断一个函数是否为二次函数的方法：
(1)将函数表达式整理为右边是含自变量的代数式，左边是
因变量的形式；
(2)判断右边含自变量的代数式是否为整式；
(3)判断自变量的最高次数是否为2；
(4)判断二次项系数是否为0.
3．易错警示：判断一个函数是不是二次函数，化为一般形
式后当二次项系数包含字母时，一定要注意二次项的系
数不能为零这一条件．知1－讲例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数
的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2； (3)y＝3a3＋2a2；
(4)y＝x－2＋x; (5)y＝3(x－2)(x－5); (6)y＝x2＋ .知1－讲解：(2)与(5)是二次函数．(2)y＝－5x2的二次项系数为
－5，一次项系数和常数项为0；(5)化为一般式，
得到y＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.知1－讲 判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数
的表达式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个
条件：
(1)所表示的函数的表达式为整式；
(2)函数的表达式有唯一自变量；
(3)自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.知1－讲导引：若是二次函数，则等号的右边应是关于x的二次多项
式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．知1－讲 当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须
满足二次项系数不为0这一条件．1 (2015·兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( )
A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c
C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋
2 下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ B．y＝x2＋ ＋1
C．y＝2x2－1 D．y＝
3 下列各式中，y是x的二次函数的是( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0
C．y2－ax＝2 D．x2－y2＋1＝0知1－练4 若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，
则( )
A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
5 若y＝(m－1)x m2＋1是二次函数，则m的值是( )
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
6 下列结论中正确的是( )
A．二次函数中两个变量的值是非零实数
B．二次函数中变量x的值可以是所有实数
C．形如y＝ax2＋bx＋c的函数叫二次函数
D．二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值均不能为零知1－练2知识点利用二次函数的表达式表示实际问题知2－讲?1．根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关
系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
2．易错警示：一般情况下，二次函数中自变量的取值范
围是全体实数，但对实际问题的自变量的取值范围必
须使实际问题有意义．知2－讲 例3 填空：
(1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半
径r(cm)之间的函数关系式是_______________；
(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
y与x之间的函数关系式是_____________________． (1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解；
(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝
S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x)
＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝
S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2
＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10
－x)2＝－x2＋20x.V＝14πr2(r＞0)y＝－x2＋20x(0≤x≤10)导引：知2－讲(1)求几何问题中二次函数的关系式，除了根据有关面积、体积公式
写出二次函数关系式以外，还应考虑问题的实际意义，明确自变
量的取值(在一些问题中，自变量的取值可能是整数或者是在一
定的范围内)；
(2)如果不能通过已知条件直接写出函数关系式(直接法)，应适当考
虑通过割补法，将问题转化为几个图形面积和差的问题(间接法)，
再寻求解答；判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，
不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的取值范围的常
见方法．
(3)如果要作实际问题中的函数的图象，注意其图象应是在自变量取
值范围内的部分图象．知2－讲例4〈易错题〉在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要
在一块靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，
花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成，若设
花园平行于墙的一边长为x m，花园的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)满足条件的花园的面积能达到200 m2吗？若能，求出此
时x的值，若不能，说明理由．导引：本例根据实际问题建立数学模型，转化为几何问题，
得出的有关结果要符合实际，因此列函数关系式时，
要求出自变量的取值范围．知2－讲(1)因为栅栏的总长为40 m，如图，
若BC的长为x m，则AB的长为 m.
由 可得0
所以y＝－ x2＋20x(0
以x2－40x＋400＝0.解得x1＝x2＝20.因为0
面积问题的函数关系式，一般先要根据题中条件求出
自变量的取值范围，再由相关的面积公式求出函数关
系式．
(2)求自变量的取值范围，应结合问题，全面考虑，不要
漏掉一些约束条件(如本例中墙长15 m)，列不等式组
是求自变量取值范围的常用方法．
(3)本例(2)中常常因不考虑自变量x的范围而出现错误结
论．1 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( )
A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2知2－练(2015·温州)如图，∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH，
已知∠DFE＝∠GFH＝120°，FG＝FE.设OC＝x，
图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数表达式是
( )
A．y＝ x2 B．y＝ x2
C．y＝2 x2 D．y＝3 x2知2－练 3 下列函数关系中，不是二次函数的是( )
A．边长为x的正方形的面积y与边长x的函数关系
B．一个直角三角形两条直角边长的和是6，则这个
直角三角形的面积y与一条直角边长x的函数关系
C．在边长为5的正方形内挖去一个边长为t的小正方
形，剩余面积S与t的函数关系
D．多边形的内角和m与边数n的函数关系知2－练1.关于二次函数的定义要理解三点：
(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实
数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实
际意义．
(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要
把函数表达式化为一般式．
(3)二次项系数不为0.2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下
几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关
系列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．