2.3 确定二次函数的表达式课件
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课件30张PPT。第二章 二次函数第3节 确定二次函数
的表达式1课堂讲解确定二次函数的表达式
用一般式（三点式）确定二次函数表达式
用顶点式确定二次函数表达式
用交点式确定二次函数的表达式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m )与水平距离
x ( m )之间的关系如图所示，其中(4, 3)为图象的顶点，
你能求出y与x之间的关系式吗？知识点确定二次函数的表达式想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.知1－导1知1－导1.
知1－导2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有
几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条
件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．1．用待定系数法求二次函数的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)．
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通
常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相
互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同
的已知条件来确定的．知1－讲(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特
别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，
应灵活地选用不同的方法来求解，以达到事半功
倍的效果．
2．易错警示：根据题目中的条件设出相应的函数表
达式．知1－讲例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3)和
（-1，-3)，求这个二次函数的表达式.知1－讲解：将点(2, 3)和(-1，-3)的坐标分别代入表达式y= ax2+c，
得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5.知1－讲导引：由题意可得A点的坐标为(2，－1)．∵抛物线的顶点在
坐标原点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2.
将点A(2，－1)的坐标代入，可得a＝－ ，∴抛物线
对应的函数表达式为y＝－ x2.例2 〈衡阳改编，图文信息题〉如图，已知
抛物线的顶点在坐标原点，矩形ABCD
的顶点A，D在抛物线上，且AD平行于
x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴
上，B点的坐标为(2，1)，此抛物线对应的函数表达式
为___________．知1－讲 如果已知函数图象，函数图象的位置可决定函数
的形式，特别关注的是顶点的位置：若顶点在原点上，
则y＝ax2(a≠0)；若顶点在y轴上，则y＝ax2＋c(a≠0)；
若顶点在x轴上，则y＝a(x－h)2(a≠0)；若顶点不在坐
标轴上，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．1 (1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个
求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的
二次函数与第(1)题相同.知1－练2知识点用一般式(三点式)确定二次函数表达式例3 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标.解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代人表达式，得
知2－讲知2－讲所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
因为y=2x2-3x+5=2
所以，二次函数图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为例4〈武汉改编〉科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一
天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函
数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说
明不选择另一种函数的理由．
(2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量
的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内
选择？请直接写出结果．知2－讲导引：由x，y的对应关系，易知y是x的二次函数．
解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，
∴y关于x的函数关系式是y＝－x2－2x＋49.
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.知2－讲 已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采
用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．知2－讲1 (2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函
数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－知2－练2 (中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一
个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋
1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．知2－练3 已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和(-2,
3)，求这个二次函数的表达式.知2－练3知识点用顶点式确定二次函数表达式知3－讲 二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，
顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另
一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，
3)求这条抛物线的解析式.解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的解析
式为：y= (x-4)2-1.知3－讲 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通
常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).知3－讲1 已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,1),且经过
点(1,-3)，求这个二次函 数的表达式.知3－练2 已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，
E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其
中三个点．
(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2
＋k(a>0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．知3－练4知识点用交点式确定二次函数的表达式例6〈宁波〉如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平
移后抛物线的顶点落在直线y＝
－x上，并写出平移后抛物线对
应的函数表达式．导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，
再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上
加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.知4－讲解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，
故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个
单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平移
后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．知4－讲知4－讲 此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标
及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移
后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一
个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、
纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求
其表达式时，一般采用二次函数的交点式．1 (中考·宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点
落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线对应的函
数表达式．知4－练 用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法：
若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y＝
ax2＋bx＋c求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函
数的最值)，则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；若已知
图象与x轴的两个交点，则利用交点式y＝a(x－x1)(x－
x2)求．
的表达式1课堂讲解确定二次函数的表达式
用一般式（三点式）确定二次函数表达式
用顶点式确定二次函数表达式
用交点式确定二次函数的表达式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m )与水平距离
x ( m )之间的关系如图所示，其中(4, 3)为图象的顶点，
你能求出y与x之间的关系式吗？知识点确定二次函数的表达式想一想 确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.知1－导1知1－导1.
知1－导2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有
几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条
件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．1．用待定系数法求二次函数的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)．
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通
常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相
互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同
的已知条件来确定的．知1－讲(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特
别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，
应灵活地选用不同的方法来求解，以达到事半功
倍的效果．
2．易错警示：根据题目中的条件设出相应的函数表
达式．知1－讲例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3)和
（-1，-3)，求这个二次函数的表达式.知1－讲解：将点(2, 3)和(-1，-3)的坐标分别代入表达式y= ax2+c，
得
解这个方程组，得
所以，所求二次函数表达式为y=2x2-5.知1－讲导引：由题意可得A点的坐标为(2，－1)．∵抛物线的顶点在
坐标原点，∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2.
将点A(2，－1)的坐标代入，可得a＝－ ，∴抛物线
对应的函数表达式为y＝－ x2.例2 〈衡阳改编，图文信息题〉如图，已知
抛物线的顶点在坐标原点，矩形ABCD
的顶点A，D在抛物线上，且AD平行于
x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴
上，B点的坐标为(2，1)，此抛物线对应的函数表达式
为___________．知1－讲 如果已知函数图象，函数图象的位置可决定函数
的形式，特别关注的是顶点的位置：若顶点在原点上，
则y＝ax2(a≠0)；若顶点在y轴上，则y＝ax2＋c(a≠0)；
若顶点在x轴上，则y＝a(x－h)2(a≠0)；若顶点不在坐
标轴上，则y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．1 (1)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过(1，1)与(2, 3)
两点，求这个二次函数的表达式；
(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个
求二次函数y=x2+bx+c表达式的题目，使所求得的
二次函数与第(1)题相同.知1－练2知识点用一般式(三点式)确定二次函数表达式例3 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标.解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代人表达式，得
知2－讲知2－讲所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
因为y=2x2-3x+5=2
所以，二次函数图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为例4〈武汉改编〉科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一
天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表)：
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函
数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种．
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说
明不选择另一种函数的理由．
(2)温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量
的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内
选择？请直接写出结果．知2－讲导引：由x，y的对应关系，易知y是x的二次函数．
解：(1)选择二次函数，设y＝ax2＋bx＋c，
∴y关于x的函数关系式是y＝－x2－2x＋49.
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.知2－讲 已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采
用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．知2－讲1 (2016·临沂)二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函
数y的对应值如表：
下列说法正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－知2－练2 (中考·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图
象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一
个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋
1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于
二次函数的值．知2－练3 已知二次函数的图象经过点(0, 2), (1，0)和(-2,
3)，求这个二次函数的表达式.知2－练3知识点用顶点式确定二次函数表达式知3－讲 二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，
顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另
一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，
3)求这条抛物线的解析式.解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的解析
式为：y= (x-4)2-1.知3－讲 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通
常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).知3－讲1 已知二次函数图象的顶点坐标是(-1,1),且经过
点(1,-3)，求这个二次函 数的表达式.知3－练2 已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，
E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其
中三个点．
(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2
＋k(a>0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
(3)求a和k的值．知3－练4知识点用交点式确定二次函数的表达式例6〈宁波〉如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平
移后抛物线的顶点落在直线y＝
－x上，并写出平移后抛物线对
应的函数表达式．导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，
再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上
加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.知4－讲解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，
故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个
单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平移
后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．知4－讲知4－讲 此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标
及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移
后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一
个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、
纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求
其表达式时，一般采用二次函数的交点式．1 (中考·宁波)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点
落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线对应的函
数表达式．知4－练 用待定系数法求二次函数表达式选择类型的方法：
若已知图象上三个任意点的坐标，则利用一般式y＝
ax2＋bx＋c求；若已知图象的顶点坐标(或对称轴或函
数的最值)，则利用顶点式y＝a(x－h)2＋k求；若已知
图象与x轴的两个交点，则利用交点式y＝a(x－x1)(x－
x2)求．