2.4.1 利用二次函数解决几何面积的最值问题课件

课件28张PPT。第二章 二次函数第4节 二次函数的应用第1课时 利用二次函数解决几
何面积的最值问题1课堂讲解二次函数的最值
几何面积的最值2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点二次函数的最值1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处
取得最值．即当x＝－ 时，y最值＝ .
当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大
值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在
最小值．知1－讲知1－讲2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若－在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
最小值在x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
较大的函数值；当a＜0时，
最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，
x＝x2时的较小的函数值；知1－讲(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和
最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.知1－讲3. 易错警示：
当二次函数自变量的取值范围是全体实数时，最值是
最大值还是最小值要根据二次项系数a的正负来确定，
当a＞0时，为最小值，当a＜0时，为最大值．导引：先求出抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标，然后
看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值
范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，
利用图象求解．例1 分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.知1－讲解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的
图象左右对称，端点处取不到，
∴不存在最大值．知1－讲知1－讲(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，
而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线
y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，
y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.总 结知1－讲 求函数在自变量某一取值范围内的最值，可
根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，
借助于图象的直观性求解．1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值
为(　　)
A．2 B．4 C．－4 D．16
2 已知x2＋y＝3，当1≤x≤2时，y的最小值是(　　)
A．－1 B．2 C. D．3知1－练3 已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x
的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，
则实数a的取值情况是(　　)
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
4 二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范
围是________________．知1－练2知识点几何面积的最值知2－导 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，
那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2，当x
取何值时，y的值最大？
最大值是多少？问 题知2－讲1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相
关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且
用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
2．易错警示：实际问题中的最大(小)值未必就是抛物线
的顶点的纵坐标．最大(小)值的取舍要结合自变量的
取值范围．知2－讲例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，
下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所
有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通
过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的
面积是多少？（结果精确到0.01m2）知2－讲解： ∵ 7x+4y+πx=15,
设窗户的面积是Sm2,则S= πx2+2xy
当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02.
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.知2－讲例3 如图，已知△ABC的面积为2 400 cm2，底边BC长为80
cm.若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四
边形BDEF为平行四边形，设BD＝
x(cm)，S?BDEF＝y(cm2)，求：
(1)y与x之间的函数关系式．
(2)自变量x的取值范围．
(3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出△DCE的边CD上的高和△ABC的边BC
上的高，根据条件求出△ABC的边BC上的高，再利用
相似找出其他等量关系，然后设法用x表示?BDEF的边
BD上的高；(2)BD在BC边上，最长不超过BC；(3)根据
x的取值范围及求最值的方法解题．知2－讲解：(1)设△DCE的边CD上的高为h cm，△ABC的边BC上的
高为b cm，则有S?BDEF＝xh(cm2)．
∵S△ABC＝ BC·b，
∴2 400＝ ×80b.∴b＝60.
∵四边形BDEF为平行四边形，
∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.
∴
∴y＝x· ＝－ x2＋60x，即y＝－ x2＋60x.
知2－讲 (2)自变量x的取值范围是0＜x＜80.
(3)由(1)可得y＝－ (x－40)2＋1 200.
∵a＝－ ＜0，0＜x＜80，
∴当x＝40时，y取得最大值，最大值是1 200. 总 结知2－讲 本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出
各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y
与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次
函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求
出最大面积．知2－讲例4 〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15 m的墙
和长38 m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，
并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门．
(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长
x(m)之间的函数关系式．
(2)当BC边的长为多少时，养殖场的
面积最大？最大面积是多少？导引：由BC边的长和栅栏的总长可以表示出AB的长，故可求
养殖场的面积y与BC边的长x的函数关系式，再由二次
函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的
最大面积．知2－讲解：(1)由题意得，AB＝ m，
∴y＝x· ＝x· ＝－ x2＋20x.
由题意知
∴0＜x≤15.∴y＝－ x2＋20x，其中0＜x≤15.
知2－讲 (2)y＝－ x2＋20x＝－ (x2－40x)
＝－ (x－20)2＋200.
∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.总 结知2－讲 本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函
数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求
出其最值．1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为(　　)
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a的值不可能为(　　)
A．20 B．40 C．100 D．120知2－练3 如图，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，从较短
边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们
的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面
积之和最小时，点E应选在(　　)
A．AD的中点 　　　
B．AE∶ED＝( －1)∶2
C．AE∶ED＝ ∶1 　　　
D．AE∶ED＝( －1)∶2 知2－练4 (2016·内江)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个
矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30 m
的篱笆围成，已知墙长为18 m(如图所示)，设这个苗
圃园垂直于墙的一边的长为x m.
(1)若苗圃园的面积为72 m2，求x.
(2)若平行于墙的一边长不小于8 m，
这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有,
求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m2时，直接写出
x的取值范围．知2－练 利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数
应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助
已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达
式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解
决问题．