2.4.2 利用建立坐标系解决“抛物线”型最值问题课件

课件25张PPT。第二章 二次函数第4节 二次函数的应用第2课时 利用建立坐标系解决“抛
物线”型最值问题1课堂讲解建立坐标系解抛物线型建筑问题
建立坐标系解抛物线型运动问题2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最
值．即当x＝－ 时，y最值＝ .当a＞0时，在顶点处
取得最小值，此时不存在最大值；当a＜0时，在顶点处取得
最大值，此时不存在最小值．（如下图）1知识点建立坐标系解抛物线型建筑问题知1－讲1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛
(投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象
与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；
(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．知1－讲3．易错警示：
(1)利用二次函数求最值，对于实际问题中的最值，
要注意自变量的取值范围．
(2)建立平面直角坐标系时，要遵循以下两个原则：
①所建立的坐标系能使求出的二次函数表达式比较
简单；
②根据已知点所在位置建立坐标系求函数表达式比
较简单．导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O为坐标原
点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴的直角坐标
系，利用二次函数y＝ax2＋c 解决问题．例1 〈乌鲁木齐〉如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的
跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立
柱间的水平距离均为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距
A点10 m处的立柱FE的高度为3.6 m.
(1)求正中间的立柱OC的高度．
(2)是否存在一根立柱，其高度恰
好是OC的一半？请说明理由．知1－讲知1－讲 (1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB的中点O，如图，
以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y
轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为(50，0)．
∵OF＝OA－FA＝40 m，∴E点的坐标为(－40，3.6)．
由题意可设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c，
∴y＝－ x2＋10. 当x＝0时，y＝10，
即正中间的立柱OC的高度是10 m.解：知1－讲(2)不存在．
理由：假设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这
根立柱的高度是5 m，则有5＝－ x2＋10，
解得x＝±25 .由题意知相邻立柱间的水平距离均
为10 m，正中间的立柱OC在y轴上，
∴每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍．
∴x＝±25 与题意不符．
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半．知1－讲 本题运用待定系数法求二次函数y＝ax2＋
c的表达式.1 (2015·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛
物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数
表达式为 y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO
是4 m时，这时水面宽度AB为(　　)
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m知1－练2 (2015·金华)图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱
与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB
为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成
抛物线y＝－ (x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交
点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10 m，则桥面
离水面的高度AC为(　　) ?
A．16 m B. m
C．16 m D. m知1－练例2 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如
图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函
数表达式为y＝－ x2＋c且过点C(0，5).(长度单位：m)
(1)直接写出c的值；
(2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的
台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地
毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元；
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，
G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形
EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度
数．(精确到0.1°)知1－讲导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设
地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得
所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱
数；(3)求出点G的坐标，在Rt△EFG中，利用三角
函数求∠GEF的度数．
解：(1)c＝5.
(2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－ x2＋5＝0，
解得x1＝10，x2＝－10.
∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．
∴30×1.5×20＝900(元)．
∴购买地毯需要900元．知1－讲(3)可设G的坐标为 其中a＞0，
则EF＝2a m，GF＝
由已知得2(EF＋GF)＝27.5 m，即2
解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时，
＋5＝－ ×52＋5＝3.75，∴点G的坐标是(5，3.75)．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
0.375，∴∠GEF≈20.6°.知1－讲知1－讲 本题实际上是一道函数与几何的综合题．主要考
查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思
想等来解决问题，是中等难度的试题．3 (中考·绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，
桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以
水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为
坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝－ (x－
6)2＋4，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数
表达式是______________________．知1－练2知识点建立坐标系解抛物线型运动问题知2－讲例3 〈一题多解〉如图，某灌溉设备的喷
头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线
型水流在与喷头底部A的距离为1 m
处达到距离地面最大高度2.25 m，试
建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应
的二次函数关系式．导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把
实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定
系数法求二次函数关系式．知2－讲解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物
线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是
设所求二次函数关系式为y＝ax2，
则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1.
∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.知2－讲方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的
顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(－1，1.25)．于是
设所求二次函数关系式为y＝ax2＋2.25，则有1.25＝a·
(－1)2＋2.25，解得a＝－1.
∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2＋2.25.知2－讲方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的
顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)．于是设所求二
次函数关系式为y＝a(x－1)2＋2.25，则有1.25＝a(－1)2＋
2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系
式为y＝－(x－1)2＋2.25.知2－讲解决抛物线型问题，其一般步骤为：
(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；
(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；
(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用
二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛
物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．1 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平
地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)
的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4 m
B．5 m
C．6 m
D．7 m知2－练2 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－ x2
＋3.5的一部分(如图)，若命中篮筐中心，则他与篮底
的水平距离l是(　　)
A．3.5 m
B．4 m
C．4.5 m
D．4.6 m知2－练3 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与
高度之间的关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第
14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最
高的(　　)
A．第9.5 s B．第10 s
C．第10.5 s D．第11 s知2－练1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑物有拱形
桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类问题的关键是根据
已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的
数据求出函数表达式，然后利用函数表达式解决问题．
2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题
多根据运动规律中的公式求解．(2)物体的运动路线(轨迹)
问题；解决这类问题的思想方法是利用数形结合思想和函
数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用待定
系数法求出运动轨迹(抛物线)对应的函数表达式，再利用
二次函数的性质去分析、解决问题．