2.5.1 二次函数与一元二次方程间的关系课件

课件20张PPT。第二章 二次函数第5节 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二
次方程间的关系1课堂讲解二次函数与一元二次方程间的关系
二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 一元二次方程根的判别式：
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通
常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.1知识点二次函数的最值 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与
运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+ v0t
+h0表示，其中h0 (m/s)是拋出时的高度，v0 (m/s)
是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速
度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h (m) 与
运动时间t(s)的关系如图所示， 那么
(1) h与t的关系式是什么？
(2 )小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流.知1－导知1－讲 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y值为0时，
就得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 .导引：要求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点坐标即需
求y＝0时对应的x的值；可令y＝0，根据3x2－8x＋
4＝0的根来确定抛物线与x轴的公共点的横坐标．
解：令y＝0 , 则3x2－8x＋4＝0 , 解方程得：x1＝ , x2＝2.
∴抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标
为 ，(2，0)．例1 求抛物线y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标．知1－讲知1－讲 本例将求抛物线与x轴的公共点这个几何
问题转化为求一元二次方程的根的问题来解决，
它充分体现了由形到数的转化思想．1 抛物线y＝－3(x－2)(x＋5)与x轴的交点坐标为_______．
一元二次方程－3(x－2)(x＋5)＝0的解为____________．
2 (2016·永州)抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的
交点，则m的取值范围是(　　)
A．m＜2 B．m＞2
C．0＜m≤2 D．m＜－2知1－练3 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象
如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　)
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4知1－练2知识点二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系知2－导 二次函数y=x2+2x， y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根？用判别
式验证一下.一元二次方程
x2-2x+2=0有实数根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象
与x轴交点的坐标和一元二
次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？知2－导 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情
况：有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有
三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实
数根、没有实数根.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就
是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.知2－讲 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y值为0时，就得到一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0 ，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴是否有
公共点取决于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．
(1)当b2－4ac >0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x
轴有2个公共点；
(2)当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴
有1个公共点；
(3)当b2－4ac<0时，方程没有实数根，抛物线与x轴没有公
共点．
反之亦成立．知2－讲拓展：
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个解，且解为
x1，x2，则将多项式ax2＋bx＋c分解因式得a(x－x1)(x－x2)，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个交点
(x1，0)，(x2，0)，函数表达式可表示为y＝a(x－x1)·(x－
x2)，我们称这种表达式为交点式．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝kx＋m的交点坐
标就是方程组 的解，方程组若有两个解，
则两个函数的图象就有两个交点；若有一个解，则两个函
数的图象就只有一个交点；若没有解，则没有交点．知2－讲(3)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点
A(m，0)，B(n，0)，令m＝ ，n＝ ，其中
Δ＝b2－4ac.此时A，B两点间的距离
AB＝
我们把AB＝ 叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上的截距．知2－讲例2 〈荆门改编〉若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公
共点，且过点A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝_____．导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，∴当x
＝－ 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.又∵抛物
线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，∴点A，B关于直线x
＝－ 对称．
将A点坐标代入抛物线对应的函数表达式，得n＝
＋c＝－ b2＋c＋9，∵b2＝4c，
∴n＝－ ×4c＋c＋9＝9.9知2－讲(1)根据二次函数的图象与x轴的公共点情况可以判断
一元二次方程的根的情况；反之，根据一元二次方
程的根的情况，可以判断二次函数的图象与x轴的
公共点的情况；
(2)拓展：一元二次方程的根的情况由根的判别式定，
二次函数的图象与x轴两公共点间的距离为 ，并
且两公共点关于直线x＝－ 对称．1 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　)
A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
2 (2016·滨州)抛物线y＝2x2－2 x＋1与坐标轴的交
点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3知2－练3 (2015·烟台)如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线
y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中
错误的是(　　)
A．b2＞4ac
B．ax2＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)
在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根
为－5和－1知2－练4 (2016·陕西)已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于
A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接
AC，BC，则tan∠CAB的值为(　　)
A. B. C. D．2知2－练 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一
元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况：有两个不相
等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根. 二次
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二
次方程ax2+bx+c=0的根.
2.判定抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的个数的方法：当
b2－4ac＞0时，有两个交点；当b2－4ac＝0时，有一个
交点；当b2－4ac＜0时，没有交点．