2.5.2 利用函数的图象解一元二次方程课件

课件26张PPT。第二章 二次函数第5节 二次函数与一元二次方程第2课时 利用函数的图象解
一元二次方程1课堂讲解利用函数的图象解一元二次方程
利用二次函数的图象解一元一次不等式2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 如图是函数y=x2+2x-10的图象.由图象可知方程有
两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：
因此，x=-4.3是方程的一个近似
根.
另一个根可以类似地求出：
因此，x=2.3是方程的另一个近
似根.
用一元二次方程的求根公式验
证一下，看是否有相同的结果.1知识点利用二次函数的图象解一元二次方程1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(2)确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点的横坐标在
哪两个整数之间；
(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y值，
当x由x1变到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞
0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较
|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，
则x2是方程的近似根．知1－讲2．利用图象交点法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的步骤：
(1)将方程化为ax2＝－bx－c(或x2＝ )的形式．
(2)在同一平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2与直线y＝－bx
－c.
(3)观察图象，①若抛物线与直线无公共点，则一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0无实根；②若抛物线与直线只有一个公共点，
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，公共
点的横坐标即为方程的实数根；若抛物线与直线有两个公
共点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数
根，公共点的横坐标即为方程的实数根．知1－讲导引：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横
坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如
图所示．例1 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－
3＝－8的近似根．知1－讲解：在平面直角坐标系内作函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图，
由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋
2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐
标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间．
(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：

因此x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根．
知1－讲(2)另一根可以类似地求出：
因此x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根．知1－讲解：先把方程化成x2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数y＝x2和
y＝－2x＋3的图象，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.例2 利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根．知1－讲知1－讲 利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；
(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象；
(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情
况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋
c＝0的根．?1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为(　　)
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3知1－练2 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点
分别为A(2.18，－0.61)，B(2.68，0.44)，则方程ax2＋
bx＋c＝0的一个解只可能是(　　)
A．2.18
　B．2.68　
　C．－0.51　
　D．2.55知1－练3 根据下面表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0
(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　)
A. 3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26知1－练2知识点利用二次函数的图象解一元二次不等式知2－讲 根据图象可直观地回答使得y的值大于、等于或小
于零时x的取值(范围)，具体如下表所述：知2－讲例3 画出抛物线y＝－x2＋4x＋5，观察抛物线，回答下
列问题：
(1)x为何值时，函数值y＞0?
(2)x为何值时，函数值y＝0?
(3)x为何值时，函数值y＜0?导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x
轴和y轴的交点，当函数值y＞0时，对应图象上的点
在x轴上方；当函数值y＝0时，对应图象上的点位于
x轴上；当函数值y＜0时，对应图象上的点在x轴的
下方．知2－讲解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5＝－(x2－4x＋4)＋9＝
－(x－2)2＋9.∴抛物线的顶点坐标
为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝
0，∴x1＝5，x2＝－1.∴抛物线与x
轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的
交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为
(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图
象．观察图象会发现：(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0知2－讲(1)作抛物线y＝ax2＋bx＋c(b2－4ac＞0)一般采用“五点法”，
而这“五点”一般为抛物线顶点，与x轴的两交点，与y
轴的交点及它关于对称轴的对称点．
(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，
一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线
在x轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x
轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x轴的
公共点，对应的函数值等于0.知2－讲例4 〈齐齐哈尔〉抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴
为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在(－3，0)和
(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结
论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；
④点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，
则y1＜y2.正确结论
的个数是(　　)
A．1 　B．2　　　
　 C．3　　D．4C知2－讲导引：观察图象可知二次函数对应的一元二次方程有两个
不相等的实数解，所以Δ＝b2－4ac>0，即4ac－b2<
0，故①正确；因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，
所以－ ＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正确；
由二次函数图象的对称性可知抛物线与x轴的另一
个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y
＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；由于二次函数在对
称轴两侧的增减性不一样，当x1 当－1y2；当x1＜－1＜x2且－1－x1＝
x2－(－1)时，y1＝y2，所以④错误．所以此题正
确的结论有3个．故选C.知2－讲 对于抛物线y＝ax2＋bx＋c(bc≠0)，a决定抛物线的开口
方向，当a>0时抛物线开口向上，当a<0时抛物线开口向下；
a，b共同决定对称轴位置，当a，b同号时，对称轴在y轴左
侧；当a，b异号时，对称轴在y轴右侧；c为抛物线与y轴交
点的纵坐标，当c>0时，抛物线与y轴交于正半轴(x轴上方)，
当c<0时，抛物线与y轴交于负半轴(x轴下方)．b2－4ac的符
号决定抛物线与x轴交点的个数，当b2－4ac>0时，抛物线
与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有唯一
一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．1 (中考·牡丹江)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)如图，则
关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(　　)
A．x<2
B．x>－3
C．－3 D．x<－3或x>1知2－练2 (2015·咸宁)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；
②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1
的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是
x≥0.其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个知2－练 利用图象求一元二次方程的根的方法：直接画出二
次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐
标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为
(1)作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(2)观察图象与x轴交点的个数；
(3)若图象与x轴有交点，估计出图象与x轴交点的横坐标
即可得到一元二次方程的近似根．