3.2 圆的对称性课件
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课件28张PPT。第三章 圆第2节 圆的对称性1课堂讲解圆的中心对称性
圆心角、弧、弦之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能
与原来的图形重合吗？ 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能
与原来的图形重合.特别地，圆是中心对称图形，对
称中心为圆心.1知识点圆的中心对称性1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来
的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合，
所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点精析：(1)圆是平面图形中唯一一个具有旋转不变性
的图形，也就是说旋转不变性是圆的特殊性质．
(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．知1－讲知1－讲 如图，在⊙O中，将△AOB绕圆心O顺时针旋转150°，
得到△COD，指出图中相等的量．例1导引：题中涉及的量有：弧、角、线段，
按圆的旋转不变性这一规律找相等的量．相等的弧有： ；
相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，∠A
＝∠B＝∠C＝∠D；
相等的线段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD. 解：知1－讲 将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性:一
是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持
不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线
段都相等．知1－练(2016·徐州)下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )知1－练(2016·凉山州)在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知1－练下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D．圆的每一条直径都是它的对称轴2知识点圆心角、弧、弦之间的关系知2－导 在等圆⊙O和⊙O ′中，分别作相等的圆心角∠AOB和
∠A ′O ′B ′ (如图)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其
中的一个圆旋转一个角度，使 得OA与O ′A ′重合.
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.
知2－导小红认为 她是这样想的：
∵半径 OA与O ′A ′重合∠AOB=∠A ′O ′B ′ ，
∴半径OB与O ′B ′重合.
∵点A与点A ′重合，点B与点B ′重合，
∴ 与 重合，弦AB 与弦A'B'重合.
∴知2－导 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那
么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎
么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么
结论？知2－导1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.知2－讲1.弧、弦、圆心角之间的关系．
在同圆或等圆中：
(1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
(3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相等．
知2－讲 要点精析：(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆
或等圆中”，否则不成立．
(2)由于一条弦对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中
的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
拓展：(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它
们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，弦越长,
则其弦心距越小．
(2)在同圆中，两条平行弦所夹的弧相等．知2－讲下列命题中，正确的是( )
①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①②③例2C知2－讲导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，
故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、
圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相
等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也
不等，故正确．知2－讲本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于
圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注
意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．知2－讲如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且
. BE与CE的大小有什么关系？为什么？例3解：BE=CE. 理由是
∵ ∠AOD=∠BOE,
∴
又∵
∴
∴ BE=CE.知2－讲〈菏泽〉如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A
＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，
交AC于点E，则 的度数为________．例4解：如图，连接CD，∵∠ACB＝90°，
∠A＝25°，∴∠B＝65°.
∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°.
∴∠BCD＝50°.
∴ 的度数为50°.50°知2－讲在圆中，弧的度数就等于弧所对的圆心角的度数．知2－练下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等知2－练在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则 与 的关系是( )
A. B.
C. D．不能确定知2－练(2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是( )
?
?
A．120° B．135° C．150° D．165°知2－练如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为( )
A．5π cm B．6π cm C．9π cm D．8π cm知2－练在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果 OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；② ；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
圆心角、弧、弦之间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能
与原来的图形重合吗？ 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能
与原来的图形重合.特别地，圆是中心对称图形，对
称中心为圆心.1知识点圆的中心对称性1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来
的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合，
所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
要点精析：(1)圆是平面图形中唯一一个具有旋转不变性
的图形，也就是说旋转不变性是圆的特殊性质．
(2)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．知1－讲知1－讲 如图，在⊙O中，将△AOB绕圆心O顺时针旋转150°，
得到△COD，指出图中相等的量．例1导引：题中涉及的量有：弧、角、线段，
按圆的旋转不变性这一规律找相等的量．相等的弧有： ；
相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，∠A
＝∠B＝∠C＝∠D；
相等的线段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD. 解：知1－讲 将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性:一
是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持
不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线
段都相等．知1－练(2016·徐州)下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )知1－练(2016·凉山州)在线段、平行四边形、矩形、等腰三角形、圆这几个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知1－练下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D．圆的每一条直径都是它的对称轴2知识点圆心角、弧、弦之间的关系知2－导 在等圆⊙O和⊙O ′中，分别作相等的圆心角∠AOB和
∠A ′O ′B ′ (如图)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其
中的一个圆旋转一个角度，使 得OA与O ′A ′重合.
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由.
知2－导小红认为 她是这样想的：
∵半径 OA与O ′A ′重合∠AOB=∠A ′O ′B ′ ，
∴半径OB与O ′B ′重合.
∵点A与点A ′重合，点B与点B ′重合，
∴ 与 重合，弦AB 与弦A'B'重合.
∴知2－导 在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那
么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎
么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么
结论？知2－导1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.知2－讲1.弧、弦、圆心角之间的关系．
在同圆或等圆中：
(1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
(3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都
分别相等．
知2－讲 要点精析：(1)上述三种关系成立的前提条件是“在同圆
或等圆中”，否则不成立．
(2)由于一条弦对着两条弧，“弦相等，所对的弧相等”中
的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“优弧相等”．
拓展：(1)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
弦与弦心距的关系：在同一个圆中，两条弦相等，则它
们的弦心距相等，反之亦成立；在同一个圆中，弦越长,
则其弦心距越小．
(2)在同圆中，两条平行弦所夹的弧相等．知2－讲下列命题中，正确的是( )
①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①②③例2C知2－讲导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，
故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等
的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、
圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相
等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也
不等，故正确．知2－讲本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于
圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注
意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．知2－讲如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且
. BE与CE的大小有什么关系？为什么？例3解：BE=CE. 理由是
∵ ∠AOD=∠BOE,
∴
又∵
∴
∴ BE=CE.知2－讲〈菏泽〉如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A
＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，
交AC于点E，则 的度数为________．例4解：如图，连接CD，∵∠ACB＝90°，
∠A＝25°，∴∠B＝65°.
∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°.
∴∠BCD＝50°.
∴ 的度数为50°.50°知2－讲在圆中，弧的度数就等于弧所对的圆心角的度数．知2－练下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等，所对的圆心角相等知2－练在⊙O中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则 与 的关系是( )
A. B.
C. D．不能确定知2－练(2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是( )
?
?
A．120° B．135° C．150° D．165°知2－练如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，若BC＝CD＝DA＝4 cm，则⊙O的周长为( )
A．5π cm B．6π cm C．9π cm D．8π cm知2－练在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果 OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；② ；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.