3.4.1 圆周角和圆心角、弧的关系课件

课件33张PPT。第三章 圆3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角和圆心角、
弧的关系1课堂讲解圆周角的定义
圆周角和圆心角的关系
同弧或等弧所对的圆周角2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度
与他所处的位 置B对球门AC的张角(∠ ABC)有关.当球
员在B ， D，E处射门时，他所 处的位置对球门AC分别
形成三个张角∠ ABC， ∠ ADC， ∠ AEC.这三个角 的
大小有什么关系？ 观察图中的∠ ABC， ∠ ADC， ∠ AEC，可以发
现，它们的顶点都 在圆上，两边分别与圆还有另一个
交点.像这样的角，叫做圆周角（angle of
circumference).1知识点圆周角的定义定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆
周角．
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交，这两个特
征是判定圆周角不可缺少的条件．
要点精析：圆周角的概念与圆心角的概念类似，它们的区别
主要是顶点位置不同，圆心角因为顶点在圆心，所以角的两边
必与圆相交，所以圆心角的概念中无需说明这一点．知1－讲如图，下列各角是圆周角的是(　　)
A．∠AOD　
B．∠AOC　
C．∠BAD　
D．∠BOD知1－讲可根据圆周角的定义进行判断，显然∠AOD，
∠AOC，∠BOD均是圆心角，只有∠BAD符合
圆周角的两个特征．导引： 例1C知1－讲 判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否
具备圆周角的两个特征：
(1)角的顶点在圆上；
(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可．(中考·柳州)下列四个图中，∠x为圆周角的是(　　)知1－练如图，图中的圆周角共有______个，其中 所对的
圆周角是________， 所对的圆周角是________．知1－练2知识点圆周角和圆心角的关系知2－导如图, ∠ AOB = 80°.
(1)请你画出几个 所对的圆周角，这几
个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
(2 )这些圆周角与圆心角∠ AOB的大小有什 么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中，改变∠ AOB的度数，你得到的结论还成立吗？做一做知2－导圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.知2－讲1. 圆周角定理的证明：
已知：如图, ∠ C是 所对的圆 周角， ∠ AOB是
所对的圆心角.
求证： ∠ C= ∠ AOB
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三 种情况讨论：
知2－讲(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1);
(2)圆心O在∠ C的内部，如图 (2);
(3)圆心O在∠ C的外部，如图 (3).
在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以
转化为(1)的情况进行证明.
(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1).
∵ ∠ AOB是△AOC的外角，∴ ∠ AOB = ∠ A + ∠ C.
∵ OA = OC，∴ ∠ A = ∠ C.
∴ ∠ AOB = 2 ∠ C,
即 ∠ C = ∠ AOB.
请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.证明：知2－讲2. 圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
要点精析：
(1)圆周角相对于圆心的位置关系有三种，因此定理的证明
必须分三种情况(如图)：①圆心在圆周角的一条边上；
②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．?
(2)注意同一条弧所对的圆周角和圆心角度数才有这样的数
量关系．知2－讲如图，A，B，C，D是同一圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D＝________．例2由圆周角定理的推论1可知
∠C＝∠A＝40°，由三角
形的外角性质得
∠D＝∠1－∠C＝68°－40°
＝28°.导引：28°知2－讲 本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等”
将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然
后利用三角形的外角性质求解．知2－讲如图，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度数，并判断∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之间的度数关系．例3解题的关键是分清同弧所对的圆
心角和圆周角，如 所对的圆
心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，
所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周
角是∠ADC.导引：知2－讲∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
∴∠ADC＝ ∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC与∠ADC相等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC和∠ADC互补．解：(2015·张家界)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝________．知2－练知2－练(2016·绍兴)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，
，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(　　)
A．60°
B．45°
C．35°
D．30°知2－练(2015·珠海)如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(　　)
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°知2－练(2015·海南)如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是 上一点，则∠APB的度数为(　　)
A．45°
B．30°
C．75°
D．60°知3－导3知识点同弧或等弧所对的圆周角想一想 在如图的射门游戏中，当球员在B ， D，E处射门
时，所 形成的三个张角∠ ABC， ∠ ADC， ∠ AEC的
大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？知3－导推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.2．圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
要点精析：
圆周角定理的推论主要有两个作用：
一是用来证明角相等，从而证明两个三角形相似或全等；
二是角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆
周角；从而达到题目中的要求．知3－讲知3－讲拓展：
在同圆或等圆中，在圆心角、圆周角、弦、弧这四组量
中，如果其中一组量相等，那么其余的三组量也分别相
等．
注意：其中的“等弦对等圆周角”，必须是弦的同侧的圆
周角．〈广州〉如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，
AC＝2 cm.
(1)求∠BAC的度数；
(2)求⊙O的周长．知3－讲例4(1)观察图形发现∠BAC与∠BDC为同弧所对的圆周角，
故∠BAC＝∠BDC＝60°；(2)要求圆的周长，需先求出
半径，可利用垂径定理，即连接OA，作OE⊥AC于点E，
构造直角三角形求出半径．导引：知3－讲 解：(1)在⊙O中，∠BDC与∠BAC均为 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
(2)∵∠ACB＝60°，又由(1)知∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．连接OA，作OE⊥AC于点E，
如图所示．
∵OE⊥AC，AC＝2 cm，∴AE＝ cm.
在Rt△AOE中，∠AOE＝∠ABC＝60°，
∴∠OAE＝30°.∴OE＝ OA.
又∵OE2＋AE2＝OA2，∴OA＝2 cm.
∴⊙O的周长为2π×2＝4π(cm)．知3－讲 同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等，
这里特别要注意不要误认为 “同弦所对的圆周角” 相
等 , 因为一条弦(非直径)所对的圆周角的大小有两种．知3－练(2016·自贡)如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点M，
∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是(　　)
A．15°
B．25°　
C．30°　
D．75°知3－练(2016·达州)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(　　)
A.
B．
C.
D.
知3－练(2015·莆田)如图，在⊙O中， ，∠AOB＝
50°，则∠ADC的度数是(　　)
A．50°
B．40°
C．30°
D．25° “圆周角定理”是圆中的又一个重要定理，其作用在
于转化同弧所对的圆心角与圆周角、同弧或等弧所对的圆
周角之间的数量关系．在应用这一定理时，要注意“同弧、
等弧”的前提条件，只有准确识别图形中角的位置关系，
才能得到角之间的数量关系．