3.5 确定圆的条件 课件
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课件28张PPT。第三章 圆第5节 确定圆的条件1课堂讲解确定圆的条件
三角形的外接圆、外心2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定
一条直线.那么，经过几 点能确定一个圆？1知识点确定圆的条件(1)作圆，使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A，B.你是如何做的？你能作出几
个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段AB有什么
关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点木A，B，C(A，B，C三点不在同一
条直线上). 你是如何做的？你能作出几个这样的圆？知1－导做一做知1－导利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法如下：说说以上作法的道理.知1－导 在上面的作图过程中，因为直线DE和FG只有一个
交点O,并且点O到 A，B，C三个点的距离相等，所以经
过A，B，C三个点可以作一个圆，并且 只能作一个圆.知1－讲1. 经过一点可作无数个圆；过已知的两点可作无数个圆．
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2. 确定一个圆的条件：
(1)已知圆心、半径可确定一个圆．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
拓展：
过多点作圆，先过不在同一直线上的三点作一个圆，
再看其他点是否在圆上．是则能作；不是，就不能作．
3. 易错警示：三点确定一个圆时，前提条件是“不在同
一直线上”的三点．知1－讲如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个
同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
例1导引：可先在圆弧上任意取三个点，然后作出两条弦，分别作
这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心．知1－讲解：如图②：
(1)在圆轮所在的圆弧上任取三
点A，B，C，并连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线
DE，FG，DE，FG相交于点O；
(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O就是圆轮所
在的圆．知1－讲 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，
圆心O是线段AB，BC的垂直平分线的交点，再以
OA(或OB，OC)为半径作圆即可，这样的圆只能作
一个．知1－练下列说法中正确的是( )
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆知1－练如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4知1－练已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－练如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，
B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M2知识点三角形的外接圆、外心知2－讲1. 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角
形．
要点精析：
(1)任何一个三角形都有一个外接圆，而一个圆有无数个
内接三角形．知2－讲(2)锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外
心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．
(3)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
2．三角形外接圆的作法：
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距
离为半径作圆即可．知2－讲如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(1，3)
D．(3，1)例2D知2－讲导引：由A(1，4)，B(5，4)可知AB∥x轴，△ABC的外接圆
圆心在线段AB的垂直平分线上，所以圆心的横坐标
应为 ＝3；同理，圆心还应在线段AC的垂直平
分线上，其纵坐标应为 ＝1.知2－讲 根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，
作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．知2－讲如图1，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．例3知2－讲导引：要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需以AB为边与
⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有
两个切入点．方法一：如图2，连接OA，OB，利
用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用
勾股定理求出半径；方法二：
如图2，作直径AD，连接BD，
利用同弧所对的圆周角相等，得
∠D＝∠C＝45°，再利用勾股
定理可求出半径．知2－讲解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .知2－讲方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径
为r.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°.
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .知2－讲 求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出
圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径
变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．知2－练下列说法中，真命题的个数是( )
①任何三角形有且只有一个外接圆；② 任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三
角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4知2－练(2015·河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的
是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE知2－练如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，
则经画图操作可知△ABC的外心坐标应是( )
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(－2，－1)
D．(2，0)1.确定圆的条件：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2.三角形外心的性质：三角形的外心是它的外接圆的圆心，它是
三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各个顶点的距离相
等；锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是
斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．
3．三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合．
三角形的外接圆、外心2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定
一条直线.那么，经过几 点能确定一个圆？1知识点确定圆的条件(1)作圆，使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A，B.你是如何做的？你能作出几
个这样的圆？其圆心的位置有什么特点？与线段AB有什么
关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点木A，B，C(A，B，C三点不在同一
条直线上). 你是如何做的？你能作出几个这样的圆？知1－导做一做知1－导利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆的方法如下：说说以上作法的道理.知1－导 在上面的作图过程中，因为直线DE和FG只有一个
交点O,并且点O到 A，B，C三个点的距离相等，所以经
过A，B，C三个点可以作一个圆，并且 只能作一个圆.知1－讲1. 经过一点可作无数个圆；过已知的两点可作无数个圆．
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
2. 确定一个圆的条件：
(1)已知圆心、半径可确定一个圆．
(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
拓展：
过多点作圆，先过不在同一直线上的三点作一个圆，
再看其他点是否在圆上．是则能作；不是，就不能作．
3. 易错警示：三点确定一个圆时，前提条件是“不在同
一直线上”的三点．知1－讲如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个
同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
例1导引：可先在圆弧上任意取三个点，然后作出两条弦，分别作
这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心．知1－讲解：如图②：
(1)在圆轮所在的圆弧上任取三
点A，B，C，并连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC的垂直平分线
DE，FG，DE，FG相交于点O；
(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O就是圆轮所
在的圆．知1－讲 经过不在同一条直线上的三点A，B，C作圆，
圆心O是线段AB，BC的垂直平分线的交点，再以
OA(或OB，OC)为半径作圆即可，这样的圆只能作
一个．知1－练下列说法中正确的是( )
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆知1－练如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4知1－练已知AB＝4 cm，则过点A，B且半径为3 cm的圆有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－练如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，
B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M2知识点三角形的外接圆、外心知2－讲1. 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角
形．
要点精析：
(1)任何一个三角形都有一个外接圆，而一个圆有无数个
内接三角形．知2－讲(2)锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外
心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．
(3)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
2．三角形外接圆的作法：
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距
离为半径作圆即可．知2－讲如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(1，3)
D．(3，1)例2D知2－讲导引：由A(1，4)，B(5，4)可知AB∥x轴，△ABC的外接圆
圆心在线段AB的垂直平分线上，所以圆心的横坐标
应为 ＝3；同理，圆心还应在线段AC的垂直平
分线上，其纵坐标应为 ＝1.知2－讲 根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，
作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．知2－讲如图1，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．例3知2－讲导引：要求⊙O的半径，已知弦AB的长，需以AB为边与
⊙O的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有
两个切入点．方法一：如图2，连接OA，OB，利
用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用
勾股定理求出半径；方法二：
如图2，作直径AD，连接BD，
利用同弧所对的圆周角相等，得
∠D＝∠C＝45°，再利用勾股
定理可求出半径．知2－讲解：方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .知2－讲方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O的半径
为r.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°.
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD中，AB2＋BD2＝AD2，即42＋42＝(2r)2
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O的半径为2 .知2－讲 求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出
圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径
变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．知2－练下列说法中，真命题的个数是( )
①任何三角形有且只有一个外接圆；② 任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三
角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4知2－练(2015·河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的
是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE知2－练如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，
则经画图操作可知△ABC的外心坐标应是( )
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(－2，－1)
D．(2，0)1.确定圆的条件：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
2.三角形外心的性质：三角形的外心是它的外接圆的圆心，它是
三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各个顶点的距离相
等；锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是
斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部．
3．三角形的外接圆有且只有一个；一个圆的内接三角形却有无
数个，这些三角形的外心重合．