3.6.2 切线的判定 课件
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课件29张PPT。第三章 圆3.6 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定1课堂讲解圆心到直线的距离等于半径 直线是圆的切线
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾
1.直线和圆的位置关系有哪些？
2.切线的性质是什么？经常做的辅助线是什么？1知识点圆心到直线的距离等于半径 直线是圆的切线如图, AB是⊙O的直径，直线l经过点点A与l的夹角为∠α.
当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化, 点O到l的距离d如何变
化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d
等 于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？
为什么？知1－导
知1－导过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.1. 判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆
的切线．
要点精析：
切线必须同时具备两个条件：
(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于半径．
2. 判定方法：
(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆
的切线；知1－讲知1－讲无切点：作垂直，证半径：
如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过
圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即
可，简记为：无切点，作垂直，证半径．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，
DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．知1－讲 例1直线AC是否与⊙D有公共点不确定，不能像上例那样
“连半径，证垂直”，为此，过D点作DF⊥AC于点F，
由d＝r?直线与圆相切可知，只需证DF＝DB即可．导引：知1－讲如图，过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠B＝90°，∴DB⊥AB.
又∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DB.
∴AC与⊙D相切．解：知1－讲 如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，
其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的
长等于半径的长即可，简记为：作垂直，证半径．(2015·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝________
时，BC与⊙A相切．知1－练(2015·烟台)如图，直线l∶y＝－ x＋1与坐标轴交
于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为
圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相
切时，m＝________．知1－练(2015·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，
且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位
置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能知1－练在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离知1－练2知识点过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线知2－讲1.判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
2.有切点：连半径，证垂直：
如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到
辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：
有切点，连半径，证垂直．知2－讲如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．例2因为点C在圆上，所以连接OC，证明OC⊥CD，而
要证OC⊥CD，只需证△OCD为直角三角形．导引：知2－讲如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD.
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．证明：知2－讲(1)解答本题运用了连半径，证垂直．一定要分清圆的切
线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径(或直
径)的外端”和“垂直于这条半径(或直径)”这两个条件缺一
不可，否则就不是圆的切线．(2)如果要证的切线过圆上
某一点，那么连接这点和圆心(连半径)，证明该直线与过
这点的半径垂直(证垂直)，即可判定直线与圆相切，这就
是：连半径，证垂直．知2－讲〈菏泽〉如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接
BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接
DC并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切
线．例3连接OC，已知DA是⊙O的切线，则∠DAO＝90°，
要证∠DCO＝90°，只需证明△DAO与△DCO全等
即可．导引：知2－讲如图，连接OC.
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，∴∠DAB＝90°.
∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵OC＝OB，∴∠2＝∠4.∴∠1＝∠3.
在△COD和△AOD中，
∴△COD≌△AOD.
∴∠OCD＝∠DAB＝90°，即OC⊥DE于点C.
∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．证明：知2－讲利用全等或特殊四边形的性质证垂直.知2－讲〈新疆〉如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且 ，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝ ，求⊙O的半径．例4知2－讲(1)连接OC，由 ，得∠FAC＝∠BAC，
而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判定OC∥AF,
由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定
理得到CD是⊙O的切线；
(2)连接BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由
得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，利用含30°角的直角三角形中边的关系得
AC＝2CD＝ ，在Rt△ACB中，利用含30°角的直角三
角形中边的关系得BC＝ AC＝4，AB＝2BC＝8，所以
⊙O的半径为4.导引：知2－讲(1)连接OC，如图所示．
∵ ，∴∠FAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF.
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD.
又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；证明:知2－讲(2)连接BC，如图所示．
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵ ，
∴∠BOC＝ ×180°＝60°.
∴∠BAC＝30°.∴∠DAC＝30°.
在Rt△ADC中，CD＝ ，∴AC＝2CD＝ .
在Rt△ACB中，BC＝ AC＝ ＝4，
∴AB＝2BC＝8. ∴⊙O的半径为4.解：(中考·西宁)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为
d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m＝________．知2－练知2－练下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③到圆心的
距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径端点，
且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中是真命题
是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④知2－练如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径切线的三种判定方法：
(1)定义：直线和圆只有一个公共点，这时，我们说这条
直线和圆相切．
(2)数量关系：若圆心到直线的距离d等于圆的半径r，则
直线是圆的切线．
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线．
在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，
在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾
1.直线和圆的位置关系有哪些？
2.切线的性质是什么？经常做的辅助线是什么？1知识点圆心到直线的距离等于半径 直线是圆的切线如图, AB是⊙O的直径，直线l经过点点A与l的夹角为∠α.
当l绕点A旋转时，
(1)随着∠α的变化, 点O到l的距离d如何变
化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d
等 于半径r?此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？
为什么？知1－导
知1－导过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.1. 判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆
的切线．
要点精析：
切线必须同时具备两个条件：
(1)直线过半径的外端；(2)直线垂直于半径．
2. 判定方法：
(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆
的切线；知1－讲知1－讲无切点：作垂直，证半径：
如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，那么过
圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径即
可，简记为：无切点，作垂直，证半径．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，
DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．知1－讲 例1直线AC是否与⊙D有公共点不确定，不能像上例那样
“连半径，证垂直”，为此，过D点作DF⊥AC于点F，
由d＝r?直线与圆相切可知，只需证DF＝DB即可．导引：知1－讲如图，过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠B＝90°，∴DB⊥AB.
又∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DB.
∴AC与⊙D相切．解：知1－讲 如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点，
其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的
长等于半径的长即可，简记为：作垂直，证半径．(2015·沈阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝________
时，BC与⊙A相切．知1－练(2015·烟台)如图，直线l∶y＝－ x＋1与坐标轴交
于A，B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为
圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相
切时，m＝________．知1－练(2015·张家界)如图，∠O＝30°，C为OB上一点，
且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位
置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能知1－练在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆( )
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离知1－练2知识点过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线知2－讲1.判定定理：过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
2.有切点：连半径，证垂直：
如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到
辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可，简记为：
有切点，连半径，证垂直．知2－讲如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC是⊙O的切线．例2因为点C在圆上，所以连接OC，证明OC⊥CD，而
要证OC⊥CD，只需证△OCD为直角三角形．导引：知2－讲如图，连接OC，BC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，
∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD.
∴∠OCD＝90°.
∴DC是⊙O的切线．证明：知2－讲(1)解答本题运用了连半径，证垂直．一定要分清圆的切
线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径(或直
径)的外端”和“垂直于这条半径(或直径)”这两个条件缺一
不可，否则就不是圆的切线．(2)如果要证的切线过圆上
某一点，那么连接这点和圆心(连半径)，证明该直线与过
这点的半径垂直(证垂直)，即可判定直线与圆相切，这就
是：连半径，证垂直．知2－讲〈菏泽〉如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接
BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接
DC并延长交AB的延长线于点E.求证：DE是⊙O的切
线．例3连接OC，已知DA是⊙O的切线，则∠DAO＝90°，
要证∠DCO＝90°，只需证明△DAO与△DCO全等
即可．导引：知2－讲如图，连接OC.
∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，
∴AD⊥AB，∴∠DAB＝90°.
∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵OC＝OB，∴∠2＝∠4.∴∠1＝∠3.
在△COD和△AOD中，
∴△COD≌△AOD.
∴∠OCD＝∠DAB＝90°，即OC⊥DE于点C.
∵OC是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．证明：知2－讲利用全等或特殊四边形的性质证垂直.知2－讲〈新疆〉如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且 ，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若CD＝ ，求⊙O的半径．例4知2－讲(1)连接OC，由 ，得∠FAC＝∠BAC，
而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判定OC∥AF,
由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定
理得到CD是⊙O的切线；
(2)连接BC，由AB为直径得∠ACB＝90°，由
得∠BOC＝60°，则∠BAC＝30°，所以∠DAC＝30°，
在Rt△ADC中，利用含30°角的直角三角形中边的关系得
AC＝2CD＝ ，在Rt△ACB中，利用含30°角的直角三
角形中边的关系得BC＝ AC＝4，AB＝2BC＝8，所以
⊙O的半径为4.导引：知2－讲(1)连接OC，如图所示．
∵ ，∴∠FAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠FAC＝∠OCA，∴OC∥AF.
∵CD⊥AF，∴OC⊥CD.
又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；证明:知2－讲(2)连接BC，如图所示．
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵ ，
∴∠BOC＝ ×180°＝60°.
∴∠BAC＝30°.∴∠DAC＝30°.
在Rt△ADC中，CD＝ ，∴AC＝2CD＝ .
在Rt△ACB中，BC＝ AC＝ ＝4，
∴AB＝2BC＝8. ∴⊙O的半径为4.解：(中考·西宁)⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为
d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m＝________．知2－练知2－练下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③到圆心的
距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径端点，
且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中是真命题
是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④知2－练如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC是⊙O的直径切线的三种判定方法：
(1)定义：直线和圆只有一个公共点，这时，我们说这条
直线和圆相切．
(2)数量关系：若圆心到直线的距离d等于圆的半径r，则
直线是圆的切线．
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线．
在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，
在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．