3.6.3 三角形的内切圆 课件
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课件25张PPT。第三章 圆3.6 直线和圆的位置关系第3课时 三角形的内切圆1课堂讲解三角形内切圆及相关概念
三角形内切圆的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾
1. 切线的性质是什么？
2. 切线的判定方法有哪些？1知识点三角形内切圆及相关概念已知：△ABC(如图).
求作： ⊙ I，使它与△ ABC的三边都相切.知1－导
作法：
1.作∠B ， ∠C的平分线BE和CF,交点为I，如图.
2.过I作BC的垂线，垂足为D.
3.以I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.知1－导知1－导 由以上的作图过程可知，BE和CF只有一个 交
点I，并且I到 △ABC三边的距离相等.1. 定义：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切
圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，
叫做三角形的内心．
2. 要点精析：
(1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆；
(2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．知1－讲下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ ） ①三角形的内心是三角形内切圆的圆心； ②三角形的内心是三个角平分线的交点； ③三角形的外心到三边的距离相等； ④三角形的外心是三边中垂线的交点．
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④知1－讲 例1C知1－讲由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角
形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求
解即可求得答案．
解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的
定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理
可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形
的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离
相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正
确的说法为：①②④.导引：知1－讲 此题考查了三角形内心与外心的知识．此题难度
不大，熟练掌握定义与性质是关键．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆知1－练下面关于“三角形的内心”的说法正确的是( )
A．三角形的内心到三边的距离相等
B．三角形的内心是三条高所在直线的交点
C．三角形的内心是三边中线的交点
D．三角形的内心到三个顶点的距离相等知1－练(2016·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O
均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心知1－练下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中
正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个知1－练2知识点三角形内切圆的性质知2－讲拓展：(1)三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ lr.(2)直角三角形内切圆的半径r＝ (直角边长a
＋直角边长b－斜边长c)．知2－讲如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )
A．130°
B．100°
C．50°
D．65°例2由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ ×(180°
－80°)＝50°.∴∠BOC＝180°－50°＝130°.导引：A知2－讲(1)此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形三
条角平分线的交点．与三角形内心有关的问题常见的辅助
线有两种作法：一是连接内心与三角形的顶点，得到三角
形内角的平分线；二是连接内心与切点，得到垂直的位置
关系和相等半径的数量关系．
(2)求这类角时，也可证结论：三角形两条角平分线所夹的
钝角等于90°与三角形第三个内角一半的和，即：∠BOC
＝90°＋ ∠A(可直接用)．知2－讲如图，是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形ABC，两直角边AC，BC的长度分别为6 m和8 m，若按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则输油中心O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，输油中心O为点)是( )
A．2 m
B．3 m
C．6 m
D．9 m例3C知2－讲根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
即 AC·BC＝ AB·r＋ BC·r＋ AC·r，∴6×8＝10r＋8r
＋6r，解得r＝2.故输油中心O到三条支路的管道总长是
2×3＝6(m)．导引：知2－讲直角三角形内切圆的半径的求法：
①r＝ (S为直角三角形的面积，l为直角三角形的周长)；
②r＝ (a＋b－c)，其中c为斜边．(2016·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形
(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步知2－练知2－练在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则
它的内切圆与外接圆半径分别为( )
A．1.5，2.5 B．2，5
C．1，2.5 D．2，2.5知2－练如图，正三角形ABC的内切圆半径为1，那么这个正
三角形的边长为( )
A．2
B．3
C.
D．2知2－练在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是( )
B．1
C．2 D.三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的性质：
三角形内切圆的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾
1. 切线的性质是什么？
2. 切线的判定方法有哪些？1知识点三角形内切圆及相关概念已知：△ABC(如图).
求作： ⊙ I，使它与△ ABC的三边都相切.知1－导
作法：
1.作∠B ， ∠C的平分线BE和CF,交点为I，如图.
2.过I作BC的垂线，垂足为D.
3.以I为圆心，以ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆.知1－导知1－导 由以上的作图过程可知，BE和CF只有一个 交
点I，并且I到 △ABC三边的距离相等.1. 定义：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切
圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，
叫做三角形的内心．
2. 要点精析：
(1)任意一个三角形都只有一个内切圆、一个外接圆；
(2)一个圆有无数个外切三角形、内接三角形．知1－讲下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说
法为（ ） ①三角形的内心是三角形内切圆的圆心； ②三角形的内心是三个角平分线的交点； ③三角形的外心到三边的距离相等； ④三角形的外心是三边中垂线的交点．
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④知1－讲 例1C知1－讲由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角
形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求
解即可求得答案．
解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的
定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理
可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形
的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离
相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正
确的说法为：①②④.导引：知1－讲 此题考查了三角形内心与外心的知识．此题难度
不大，熟练掌握定义与性质是关键．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆知1－练下面关于“三角形的内心”的说法正确的是( )
A．三角形的内心到三边的距离相等
B．三角形的内心是三条高所在直线的交点
C．三角形的内心是三边中线的交点
D．三角形的内心到三个顶点的距离相等知1－练(2016·河北)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O
均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心知1－练下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中
正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个知1－练2知识点三角形内切圆的性质知2－讲拓展：(1)三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r，
则S＝ lr.(2)直角三角形内切圆的半径r＝ (直角边长a
＋直角边长b－斜边长c)．知2－讲如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为( )
A．130°
B．100°
C．50°
D．65°例2由题意知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ ×(180°
－80°)＝50°.∴∠BOC＝180°－50°＝130°.导引：A知2－讲(1)此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形三
条角平分线的交点．与三角形内心有关的问题常见的辅助
线有两种作法：一是连接内心与三角形的顶点，得到三角
形内角的平分线；二是连接内心与切点，得到垂直的位置
关系和相等半径的数量关系．
(2)求这类角时，也可证结论：三角形两条角平分线所夹的
钝角等于90°与三角形第三个内角一半的和，即：∠BOC
＝90°＋ ∠A(可直接用)．知2－讲如图，是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形ABC，两直角边AC，BC的长度分别为6 m和8 m，若按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则输油中心O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，输油中心O为点)是( )
A．2 m
B．3 m
C．6 m
D．9 m例3C知2－讲根据△ABC的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋
△AOC的面积即可求解．在Rt△ABC中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ ＝10(m)．∵输油
中心O到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB的面积＋△BOC的面积＋△AOC的面积，
即 AC·BC＝ AB·r＋ BC·r＋ AC·r，∴6×8＝10r＋8r
＋6r，解得r＝2.故输油中心O到三条支路的管道总长是
2×3＝6(m)．导引：知2－讲直角三角形内切圆的半径的求法：
①r＝ (S为直角三角形的面积，l为直角三角形的周长)；
②r＝ (a＋b－c)，其中c为斜边．(2016·德州)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形
(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步知2－练知2－练在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则
它的内切圆与外接圆半径分别为( )
A．1.5，2.5 B．2，5
C．1，2.5 D．2，2.5知2－练如图，正三角形ABC的内切圆半径为1，那么这个正
三角形的边长为( )
A．2
B．3
C.
D．2知2－练在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是( )
B．1
C．2 D.三角形的外接圆与内切圆以及外心与内心的性质：