3.7 切线长定理 课件
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课件25张PPT。第三章 圆第7节 切线长定理1课堂讲解切线长定理2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看.知识点切线长定理如图,PA，PB是⊙O的两条切线，A ，
B是切点
(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.知1－导1知1－导 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段
长叫做这点到圆的切线长.知1－讲1. 切线长定义：经过圆外的一点画圆的切线，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
要点精析：切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点
与切点外另一点之间的线段的长，可以度量．
2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
要点精析：这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，
(1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角相
等，运用时要根据题意选用．知1－讲(2)如图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很
多结论．
如：①PO⊥AB；
②AO⊥AP，BO⊥BP；
③AP＝BP；
④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；
⑤AD＝BD；⑥ 等．知1－讲如图 ，在 Rt△ABC 中， ∠ C=90°，AC=10, BC=
24， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
求⊙O的半径.例1知1－讲解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF,设OD=r.
在 △ABC中，AC=10, BC=24，
∴AB = = 26.
∵ ⊙O分别与AB，BC, AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE ⊥ BC, OF ⊥ AC，BD = BE，
AD = AF，CE=CF.知1－讲又∵ ∠ C=90°,
∴四边形OECF为正方形.
∴ CE=CF=r.
∴ BE = 24-r, AF=10-r.
∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r+ 10-r= 34-2r.
而AB = 26,
∴ 34 -2r = 26.
∴ r = 4,
即 ⊙O 的半径为4.知1－讲如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8 cm，
求圆O的直径．例2知1－讲导引：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可
得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC，求
∠BAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，
再根据勾股定理求出OB即可．解：如图，连接OE，OA，OB.
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝ ×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm，
由勾股定理得OB＝ (cm)，
即⊙O的半径是 cm，∴⊙O的直径是 cm.,知1－讲知1－讲 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为________，∠DOE的度数为________．例360°6知1－讲导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长
定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的
周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
∠DOC＝ ∠AOC，∠EOC＝ ∠BOC，∴∠DOE＝
(∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB.由∠APB＝60°得
∠APO＝30°.又∵AO＝ ，
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝ ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ ＝3，∠DOE＝ ∠AOB＝60°.知1－讲利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定
理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与圆心
是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的线段、
角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键，
而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了
很好的辅助作用．知1－讲〈天津〉已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切
⊙O于点A，B.
(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，
若BD＝MA，求∠AMB的大小．例4知1－讲导引：(1)要求∠AMB的大小，由切线长定理知△MAB为等腰
三角形，只需求出∠MAB，即可得解．(2)要求∠AMB
的大小，因为题中无已知角的度数，因此需要证明
∠AMB为特殊直角三角形中的角，所以先作出直角三
角形，再寻求求角的条件．知1－讲解：(1)如图①，连接OB，
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB，∠OBM＝∠OAM＝90°，
又∵∠OAB＝25°，
∴∠MAB＝90°－∠OAB＝90°－25°＝65°.
∴∠AMB＝180°－2∠MAB＝180°－2×65°＝50°. 知1－讲解：(2)如图②，过点B作BH⊥AM于点H，
∵直径AC⊥BD，MA是⊙O的切线，
∴BE＝ BD，四边形BHAE是矩形，
∴HA＝BE＝ BD.
又∵BD＝MA，MA＝MB，
∴MH＝ MB.在Rt△MBH中，
∵MH＝ MB，∴∠MBH＝30°，
∴∠AMB＝60°.知1－讲本题用到转化思想，综合运用垂径定理、切线的性质、
切线长定理，通过作垂线构造矩形和直角三角形，求出
角的度数．切线长定理在本题中起到了一个线段等量转
移的作用．知1－练1 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆
的半径知1－练如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，
下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70°
D．∠AOP＝70°知1－练(2015·南充)如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B
是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则
∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°切线长定理中的基本图形
如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：
(1)两个等腰三角形(△PAB，△OAB)．
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)．
(3)三个垂直关系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．
导讲练课堂小结作业提升过圆外一点画圆的切线，你能画出几条？试试看.知识点切线长定理如图,PA，PB是⊙O的两条切线，A ，
B是切点
(1)这个图形是轴对称图形吗？如果是，
它的对称轴是什么？
(2)在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由.知1－导1知1－导 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段
长叫做这点到圆的切线长.知1－讲1. 切线长定义：经过圆外的一点画圆的切线，这点和切点
之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
要点精析：切线是直线，不可度量；切线长是切线上切点
与切点外另一点之间的线段的长，可以度量．
2.切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
要点精析：这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，
(1)由切线长定理既可以得到线段相等，又可以得到角相
等，运用时要根据题意选用．知1－讲(2)如图是切线长定理的一个基本图形，可以直接得到很
多结论．
如：①PO⊥AB；
②AO⊥AP，BO⊥BP；
③AP＝BP；
④∠1＝∠2＝∠3＝∠4；
⑤AD＝BD；⑥ 等．知1－讲如图 ，在 Rt△ABC 中， ∠ C=90°，AC=10, BC=
24， ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
求⊙O的半径.例1知1－讲解：连接OD，OE，OF，则OD=OE=OF,设OD=r.
在 △ABC中，AC=10, BC=24，
∴AB = = 26.
∵ ⊙O分别与AB，BC, AC相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE ⊥ BC, OF ⊥ AC，BD = BE，
AD = AF，CE=CF.知1－讲又∵ ∠ C=90°,
∴四边形OECF为正方形.
∴ CE=CF=r.
∴ BE = 24-r, AF=10-r.
∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r+ 10-r= 34-2r.
而AB = 26,
∴ 34 -2r = 26.
∴ r = 4,
即 ⊙O 的半径为4.知1－讲如图，直尺、三角尺均和圆O相切，AB＝8 cm，
求圆O的直径．例2知1－讲导引：连接OE，OA，OB，根据切线长定理和切线性质可
得∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC，求
∠BAC即可求出∠OAB和∠BOA，进而求出OA，
再根据勾股定理求出OB即可．解：如图，连接OE，OA，OB.
∵AC，AB都是⊙O的切线，切点分别是E，B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝ ∠BAC.
∵∠CAD＝60°，∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝ ×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，∴OA＝2AB＝16 cm，
由勾股定理得OB＝ (cm)，
即⊙O的半径是 cm，∴⊙O的直径是 cm.,知1－讲知1－讲 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是 上一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.已知∠APB＝60°，⊙O的半径为 ，则△PDE的周长为________，∠DOE的度数为________．例360°6知1－讲导引：如图，连接PO，CO，AO，BO，DO，EO，由切线长
定理知PA＝PB，DC＝DA，EC＝EB，因而△PDE的
周长可转化为PA＋PB，即2PA.又由切线长定理易得
∠DOC＝ ∠AOC，∠EOC＝ ∠BOC，∴∠DOE＝
(∠AOC＋∠BOC)＝ ∠AOB.由∠APB＝60°得
∠APO＝30°.又∵AO＝ ，
由切线的性质得∠PAO＝90°，∠PBO＝90°，
∴PO＝ ，∠AOB＝180°－∠APB＝120°.
∴PA＝ ＝3，∠DOE＝ ∠AOB＝60°.知1－讲利用切线长定理进行几何计算时，要注意构成切线长定
理的基本图形，作过切点的半径、连接圆外一点与圆心
是常用的作辅助线的方法．由于切线长定理涉及的线段、
角较多，因此熟记基本图形的相关结论是解题的关键，
而三角形的有关性质在解决有关切线问题时，也起到了
很好的辅助作用．知1－讲〈天津〉已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切
⊙O于点A，B.
(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，
若BD＝MA，求∠AMB的大小．例4知1－讲导引：(1)要求∠AMB的大小，由切线长定理知△MAB为等腰
三角形，只需求出∠MAB，即可得解．(2)要求∠AMB
的大小，因为题中无已知角的度数，因此需要证明
∠AMB为特殊直角三角形中的角，所以先作出直角三
角形，再寻求求角的条件．知1－讲解：(1)如图①，连接OB，
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB，∠OBM＝∠OAM＝90°，
又∵∠OAB＝25°，
∴∠MAB＝90°－∠OAB＝90°－25°＝65°.
∴∠AMB＝180°－2∠MAB＝180°－2×65°＝50°. 知1－讲解：(2)如图②，过点B作BH⊥AM于点H，
∵直径AC⊥BD，MA是⊙O的切线，
∴BE＝ BD，四边形BHAE是矩形，
∴HA＝BE＝ BD.
又∵BD＝MA，MA＝MB，
∴MH＝ MB.在Rt△MBH中，
∵MH＝ MB，∴∠MBH＝30°，
∴∠AMB＝60°.知1－讲本题用到转化思想，综合运用垂径定理、切线的性质、
切线长定理，通过作垂线构造矩形和直角三角形，求出
角的度数．切线长定理在本题中起到了一个线段等量转
移的作用．知1－练1 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆
的半径知1－练如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，
下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70°
D．∠AOP＝70°知1－练(2015·南充)如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B
是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则
∠ACB的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°切线长定理中的基本图形
如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，则有：
(1)两个等腰三角形(△PAB，△OAB)．
(2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB)．
(3)三个垂直关系(OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB)．