3.8 圆内接正多边形 课件
图片预览
文档简介
课件32张PPT。第三章 圆第8节 圆内接正多边形1课堂讲解圆内接正多边形及相关定义
圆内接正多边形的画法2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升请观察下列图形：1知识点圆内接正多边形及相关定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边 形的外接圆.知1－导知1－导 把一个圆n等分(n≥3 ),依次连接各分点，我们 就可
以作出一个圆内接正多边形.
如图,五边形ABCDE是⊙O的内接
正五边 形，圆心O叫做这个正五边形
的中心；OA是这个正五边 形的半径；
∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM丄BC，垂足
为M，OM是这个正五边形圆心距.知1－讲1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆
内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆．
2．与正多边形有关的概念：
(1)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做这个正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的
边心距．知1－讲 要点精析：
边心距与弦心距的关系：
边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心
距也可以看作正多边形的外接圆中，圆心到多边形的边
(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距；但弦心
距不一定是边心距．知1－讲拓展：正多边形的有关计算：知1－讲如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半 径OC = 4,
OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、
边长和边心距.例1知1－讲解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = = 60°
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC= ×4=2,
∴ OG =
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为知1－讲如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C
＝∠D＝∠E.
求证：五边形ABCDE是正五边形．例2导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出
利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到
，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.知1－讲解：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对 ，
圆周角∠B对 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等．
∴五边形ABCDE是正五边形．知1－讲(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦
等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解
答．其证明思路如下：角相等?弧相等?弦相等?
?正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①
利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多
边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连
接各等分点，所得多边形即为正多边形．知1－练给出下列五个命题：
①各多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角αn＝ ，且与每一个外角相等．
其中正确命题有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知1－练(2016·南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )
A．1 B. C．2 D．2
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是( )
A．1∶ B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
知1－练(2015·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB等于( )
A．30° B．35° C．45° D．60°知1－练(2016·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三
角形的面积是( )
A. B. C. D.知1－练(2015·随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°2知识点圆内接正多边形的画法知2－导利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，
就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.知2－导为了减少累积误差，通常像如图那样，作⊙O的 任意一条直
径FC,分别以F，C为圆心，以⊙O的半 径R为半径作弧，与
⊙O相交于点E，A和D，B则A, B,C，D，E，F是⊙O的六等
分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六
边形ABCDEF.知2－讲1. 用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可
以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这
种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形．
2. 用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆
上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形
都能用此法作图．从理论上讲这是一种准确方法，但在作图时较
复杂，同样存在作图的误差．
3. 易错警示：作图时由于忽视累积误差的影响，导致作图不准，
应减少累积误差．知2－讲作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.例3导引：先作出一个半径为0.9 cm的圆，再用量角器画出中心角
为120°的角(2个)，依次连接与圆的交点即可；或将圆
六等分，再依次连接相隔一个的等分点即可．知2－讲解：作法一：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；
(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
形，如图所示．知2－讲作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB；
(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．知2－讲解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．知2－讲 如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，
图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n(n≥3)的关系式(直接
写出答案)．例4知2－讲导引：如图①，连接OB，OC，因为BM＝CN，OB＝OC，且
易知∠OBM＝∠OCN，所以△BOM≌△CON，所以
∠BOM＝∠CON，进而易得∠MON＝∠BOC，即转化
为求正三角形的中心角．类似地，其他图形中求
∠MON也可转化为求正多边形的中心角．知2－讲解：(1)如图①，连接OB，OC.
易知∠BOC＝ ＝120°，∠OBM＝∠OCN＝30°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.
∴∠BON＋∠BOM＝∠BON＋∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(2)90°；72° (3)∠MON＝ (n≥3)．知2－讲此题运用了从特殊到一般的思想．解决此类问题，关键
是对未知角先进行分析，再通过三角形全等进行角度的
等量转化．知2－练如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两
点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对知2－练在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．1.常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等
于其外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的
倍，正方形的边长等于其外接圆半径的 倍．
2.求解与正多边形有关的计算问题，关键是找出被半径和
边心距分割成的直角三角形，将正多边形的计算问题转
化为直角三角形问题．
圆内接正多边形的画法2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升请观察下列图形：1知识点圆内接正多边形及相关定义 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边 形的外接圆.知1－导知1－导 把一个圆n等分(n≥3 ),依次连接各分点，我们 就可
以作出一个圆内接正多边形.
如图,五边形ABCDE是⊙O的内接
正五边 形，圆心O叫做这个正五边形
的中心；OA是这个正五边 形的半径；
∠ AOB是这个正五边形的中心角；OM丄BC，垂足
为M，OM是这个正五边形圆心距.知1－讲1．圆内接正多边形：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆
内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆．
2．与正多边形有关的概念：
(1)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
(2)正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做这个正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的
边心距．知1－讲 要点精析：
边心距与弦心距的关系：
边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心
距也可以看作正多边形的外接圆中，圆心到多边形的边
(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距；但弦心
距不一定是边心距．知1－讲拓展：正多边形的有关计算：知1－讲如图,在圆内接正六边形ABCDEF中，半 径OC = 4,
OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中 心角、
边长和边心距.例1知1－讲解：连接OD.∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴ ∠ COD = = 60°
∴ △COD为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG中，OC = 4，CG= BC= ×4=2,
∴ OG =
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为知1－讲如图，五边形ABCDE内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C
＝∠D＝∠E.
求证：五边形ABCDE是正五边形．例2导引：根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出
利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到
，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.知1－讲解：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对 ，
圆周角∠B对 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴BC＝AE.同理可证其余各边都相等．
∴五边形ABCDE是正五边形．知1－讲(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦
等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解
答．其证明思路如下：角相等?弧相等?弦相等?
?正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①
利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多
边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n等分，依次连
接各等分点，所得多边形即为正多边形．知1－练给出下列五个命题：
①各多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形；
⑤正n边形的中心角αn＝ ，且与每一个外角相等．
其中正确命题有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知1－练(2016·南京)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( )
A．1 B. C．2 D．2
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是( )
A．1∶ B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
知1－练(2015·青岛)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，
若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB等于( )
A．30° B．35° C．45° D．60°知1－练(2016·泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方
形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三
角形的面积是( )
A. B. C. D.知1－练(2015·随州)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2Rsin 36°
C．a＝2rtan 36°
D．r＝Rcos 36°2知识点圆内接正多边形的画法知2－导利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆
的半径R.所 以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，
就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.知2－导为了减少累积误差，通常像如图那样，作⊙O的 任意一条直
径FC,分别以F，C为圆心，以⊙O的半 径R为半径作弧，与
⊙O相交于点E，A和D，B则A, B,C，D，E，F是⊙O的六等
分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六
边形ABCDEF.知2－讲1. 用量角器等分圆：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可
以等分圆周，从而得到正多边形．采用“先用量角器画一个
的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这
种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形．
2. 用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆
上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形
都能用此法作图．从理论上讲这是一种准确方法，但在作图时较
复杂，同样存在作图的误差．
3. 易错警示：作图时由于忽视累积误差的影响，导致作图不准，
应减少累积误差．知2－讲作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.例3导引：先作出一个半径为0.9 cm的圆，再用量角器画出中心角
为120°的角(2个)，依次连接与圆的交点即可；或将圆
六等分，再依次连接相隔一个的等分点即可．知2－讲解：作法一：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；
(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC为所求作的正三角
形，如图所示．知2－讲作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O的任一直径AB；
(3)分别以A，B为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交
⊙O于点C，F和D，E；(4)连接AD，DE，EA.
则△ADE为所求作的正三角形，如图所示．知2－讲解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．知2－讲 如图①②③…，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中∠MON的度数是________，
图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n(n≥3)的关系式(直接
写出答案)．例4知2－讲导引：如图①，连接OB，OC，因为BM＝CN，OB＝OC，且
易知∠OBM＝∠OCN，所以△BOM≌△CON，所以
∠BOM＝∠CON，进而易得∠MON＝∠BOC，即转化
为求正三角形的中心角．类似地，其他图形中求
∠MON也可转化为求正多边形的中心角．知2－讲解：(1)如图①，连接OB，OC.
易知∠BOC＝ ＝120°，∠OBM＝∠OCN＝30°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.
∴∠BON＋∠BOM＝∠BON＋∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(2)90°；72° (3)∠MON＝ (n≥3)．知2－讲此题运用了从特殊到一般的思想．解决此类问题，关键
是对未知角先进行分析，再通过三角形全等进行角度的
等量转化．知2－练如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O于B，C两
点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点；
(2)连接AB，AC.△ABC即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断( )
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对知2－练在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．1.常见正多边形的边长与半径的关系：正六边形的边长等
于其外接圆半径，正三角形的边长等于其外接圆半径的
倍，正方形的边长等于其外接圆半径的 倍．
2.求解与正多边形有关的计算问题，关键是找出被半径和
边心距分割成的直角三角形，将正多边形的计算问题转
化为直角三角形问题．