1.1.2 正弦与余弦课件
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课件28张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数第2课时 正弦和余弦1课堂讲解正弦 余弦
锐角三角函数的取值范围 2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图，当Rt△ABC中的锐角A确定时， ∠A的对边与邻边
的比便随之确定.此时，其他边 之间的比也确定吗？与同伴进
行交流.在Rt△ABC中，如果锐角A确定， 那么∠A的对边
与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定. 1知识点正弦 正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即
sin A＝
知1－讲例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,
sinA= 0.6, 求BC的长.知1－讲在Rt△ABC中，
∵
即
∴BC=200×0.6=120.解：C知1－练把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值( )
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定知1－练(中考·贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， BC＝5，则sin A的值为( )
A. B. C. D.
如图，P是α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，
则α的正弦值为( )
A. B.
C. D.知1－练(2016·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A．sin B＝
B．sin B＝
C．sin B＝
D．sin B＝2知识点余弦 余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻
边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cos A，即cos A＝知2－讲知2－讲要点精析：正弦、余弦的概念是类比正切得到的，其
本质是两条线段的长度之比，没有单位，其大小只与
角的大小有关，与所在的直角三角形无关．
易错警示：(1)“sin A”“cos A”与“tan A”是整体符号，
符号中省去了“∠”．对于用三个大写字母表示的角
来说，如∠AOB，其正弦应写成“sin∠AOB”，而不
能写成“sin AOB”，余弦、正切也是这样的．
(2)(sin A)2应写成sin2 A，而不能写成sin A2.知2－讲例2 如图，在Rt△ABC中，
∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
导引：在Rt△ABC中，已知两直角边长，可先用勾股定理求
斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝
∴sin A＝ cos A＝知2－讲 在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定
要根据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往
往借助勾股定理进行求解．知2－讲例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ BC＝40，
求△ABC的周长和面积．
已知BC＝40，求△ABC的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin A的值可求出AB的长，再
利用勾股定理求出AC的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边
长乘积的一半．导引：知2－讲解：∵sin A＝ ∴AB＝
∵BC＝40，sin A＝ ，∴AB＝50.
又∵AC＝
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC的面积为 BC·AC＝ ×40×30＝600.知2－讲正弦的定义表达式sin A＝ 可根据解题需要变形为
BC＝ABsin A或AB＝
余弦的定义表达式cos A＝ 也可变形为
AC＝ABcos A或AB＝ .知2－练在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinA,cosB,tanB.
在△ABC中，∠C=90°，sinA= BC = 20,
求△ABC的周长和面积.
知2－练(2015·温州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，那么cos A的值等于( )
A. B.
C. D.知2－练(2015·丽水)如图，点A为α边上的任意一点，作
AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比
表示cos α的值，错误的是( )
A. B.
C. D.知2－练(2016·广东)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( )
A. B.
C. D.知3－讲3知识点锐角三角函数的取值范围1. 锐角三角函数的定义：
定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，
∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有sin A＝ ，
cos A＝ tan A＝ 我们把sin A，cos A，tan A
叫做∠A的三角函数，即
锐角A的正弦、余弦、正
切叫做∠A的三角函数．要点精析：在锐角三角函数的概念中，∠A是自变量，
其取值范围是0°＜∠A＜90°.三个比值是因变量，当
∠A确定时，三个比值(正弦、余弦、正切)分别唯一确定，
因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为因变量
的函数．知3－讲2. 锐角三角函数的取值范围：
在Rt△ABC中，因为各边边长都是正数，且斜边边长
大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A＞0，
0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
3. 易错警示：
求三角函数值的前提条件是在直角三角形中，遇到锐
角三角形或钝角三角形时一般需要作高构造直角三角
形．知3－讲例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，
BC＝3，求∠A，∠B的三角函数值．
由已知AC与BC的长可确定∠A与∠B的正切，但要
确定∠A与∠B的正弦与余弦，根据定义必须确定
斜边AB的长，这就需要先用勾股定理计算AB的长．
知3－讲 导引：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∴sin A＝ cos A＝
tan A＝ sin B＝
cos B＝ tan B＝知3－讲解：知3－讲求一个直角三角形中锐角的三角函数值时，
①若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根
据概念直接求；
②若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然
后再用方法①求．若α是锐角，sin α＝3m－2，则m的取值范围是( )
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D．m＞
如果0°＜∠A＜90°，并且cos A是方程
(x－0.35)＝0的一个根，那么cos A＝_______．知3－练1.正弦的定义
2.余弦的定义
3.求锐角三角函数值的三种方法：
(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．
(2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若
该角的三角函数值知道或者易求)．
(3)利用互余的两个角间的特殊关系求．
锐角三角函数的取值范围 2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图，当Rt△ABC中的锐角A确定时， ∠A的对边与邻边
的比便随之确定.此时，其他边 之间的比也确定吗？与同伴进
行交流.在Rt△ABC中，如果锐角A确定， 那么∠A的对边
与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定. 1知识点正弦 正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即
sin A＝
知1－讲例1 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC=200,
sinA= 0.6, 求BC的长.知1－讲在Rt△ABC中，
∵
即
∴BC=200×0.6=120.解：C知1－练把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值( )
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定知1－练(中考·贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， BC＝5，则sin A的值为( )
A. B. C. D.
如图，P是α的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，
则α的正弦值为( )
A. B.
C. D.知1－练(2016·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A．sin B＝
B．sin B＝
C．sin B＝
D．sin B＝2知识点余弦 余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻
边与斜边的比叫做∠A的余弦，
记作cos A，即cos A＝知2－讲知2－讲要点精析：正弦、余弦的概念是类比正切得到的，其
本质是两条线段的长度之比，没有单位，其大小只与
角的大小有关，与所在的直角三角形无关．
易错警示：(1)“sin A”“cos A”与“tan A”是整体符号，
符号中省去了“∠”．对于用三个大写字母表示的角
来说，如∠AOB，其正弦应写成“sin∠AOB”，而不
能写成“sin AOB”，余弦、正切也是这样的．
(2)(sin A)2应写成sin2 A，而不能写成sin A2.知2－讲例2 如图，在Rt△ABC中，
∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
导引：在Rt△ABC中，已知两直角边长，可先用勾股定理求
斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝
∴sin A＝ cos A＝知2－讲 在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定
要根据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往
往借助勾股定理进行求解．知2－讲例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ BC＝40，
求△ABC的周长和面积．
已知BC＝40，求△ABC的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin A的值可求出AB的长，再
利用勾股定理求出AC的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边
长乘积的一半．导引：知2－讲解：∵sin A＝ ∴AB＝
∵BC＝40，sin A＝ ，∴AB＝50.
又∵AC＝
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC的面积为 BC·AC＝ ×40×30＝600.知2－讲正弦的定义表达式sin A＝ 可根据解题需要变形为
BC＝ABsin A或AB＝
余弦的定义表达式cos A＝ 也可变形为
AC＝ABcos A或AB＝ .知2－练在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinA,cosB,tanB.
在△ABC中，∠C=90°，sinA= BC = 20,
求△ABC的周长和面积.
知2－练(2015·温州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，那么cos A的值等于( )
A. B.
C. D.知2－练(2015·丽水)如图，点A为α边上的任意一点，作
AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比
表示cos α的值，错误的是( )
A. B.
C. D.知2－练(2016·广东)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( )
A. B.
C. D.知3－讲3知识点锐角三角函数的取值范围1. 锐角三角函数的定义：
定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，
∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有sin A＝ ，
cos A＝ tan A＝ 我们把sin A，cos A，tan A
叫做∠A的三角函数，即
锐角A的正弦、余弦、正
切叫做∠A的三角函数．要点精析：在锐角三角函数的概念中，∠A是自变量，
其取值范围是0°＜∠A＜90°.三个比值是因变量，当
∠A确定时，三个比值(正弦、余弦、正切)分别唯一确定，
因此，锐角三角函数是以角为自变量，以比值为因变量
的函数．知3－讲2. 锐角三角函数的取值范围：
在Rt△ABC中，因为各边边长都是正数，且斜边边长
大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A＞0，
0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
3. 易错警示：
求三角函数值的前提条件是在直角三角形中，遇到锐
角三角形或钝角三角形时一般需要作高构造直角三角
形．知3－讲例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，
BC＝3，求∠A，∠B的三角函数值．
由已知AC与BC的长可确定∠A与∠B的正切，但要
确定∠A与∠B的正弦与余弦，根据定义必须确定
斜边AB的长，这就需要先用勾股定理计算AB的长．
知3－讲 导引：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∴sin A＝ cos A＝
tan A＝ sin B＝
cos B＝ tan B＝知3－讲解：知3－讲求一个直角三角形中锐角的三角函数值时，
①若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根
据概念直接求；
②若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然
后再用方法①求．若α是锐角，sin α＝3m－2，则m的取值范围是( )
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D．m＞
如果0°＜∠A＜90°，并且cos A是方程
(x－0.35)＝0的一个根，那么cos A＝_______．知3－练1.正弦的定义
2.余弦的定义
3.求锐角三角函数值的三种方法：
(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．
(2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若
该角的三角函数值知道或者易求)．
(3)利用互余的两个角间的特殊关系求．