1.4 解直角三角形课件
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课件32张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.4 解直角三角形1课堂讲解已知两边解直角三角形
已知一边及一锐角解直角三角形
已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解
决这些问题，往 往需要确定直角三角形的边和角.
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么
至少知道几个元 素，就可以求出其他的元素呢？1知识点已知两边解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出
这个三角形的其他元 素吗？知1－讲例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边
分别为a,b,c，且a= b= 求这个三角形的其
他元素.
在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2，
在 Rt△ABC 中，sinB =
∴∠B = 30°. ∴∠ A = 60°.知1－讲解：1．定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知
元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形中的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对
边分别为a，b，c.则有：知1－讲(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝知1－讲要点精析：解直角三角形时，
①已知两边求第三边用勾股定理；
②已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余”；
③在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的
定义求出第三个元素．
由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角)
中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，
就可以求出另外三个元素．知1－讲3．解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则：
①尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
②尽量选择便于计算的关系式．如：当所求的元素既可
用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法．
4．易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素
的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关
系，注意正弦、余弦、正切三种函数都是涉及两边一角，
要正确选择，不能将它们弄混．知1－讲5. 解直角三角形的类型：
（1）已知两边解直角三角形
（2）已知一边及一锐角解直角三角形
已知两边解直角三角形
已知斜边和一条直角边解直角三角形知1－讲例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角
形的其他元素．(角度精确到1′)
求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角
形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
求∠B，因为 ＝sin B＝cos A.知1－讲导引： 由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得知1－讲解：知1－讲 已知斜边和一条直角边求两锐角及另一直角边，先求出已
知直角边与斜边之比，即为某一锐角的正弦或余弦，从而可求
得一锐角，则另一锐角也易求出．至于另一直角边的计算方法，
可运用勾股定理；也可运用三角函数定义由斜边乘某锐角的正
弦得该锐角的对边或斜边乘某锐角的余弦得该锐角的邻边．但
要注意若连续进行近似计算有可能使计算结果误差变大，一般
尽量使用原始数据以减少误差．例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对
边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2.求这个三角形的
其他元素．(角度精确到1′，边长精确到0.01)
已知两边，根据勾股定理可求出第三边．求锐角，
需要由边的比值，运用三角函数求得．知1－讲导引： 由勾股定理得
由tan A＝ ＝0.5，得∠A≈26°34′，
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.知1－讲解：知1－讲 已知两直角边，则运用勾股定理可求出斜边．求锐
角时，可先求得两直角边之比，即为某锐角的正切，从
而求得该锐角，则另一锐角易求出．也可通过求直角边
与斜边之比得到某锐角的正弦，从而求得该锐角，但若
斜边为近似值，后续计算有可能使误差变大．知1－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝
那么∠B的度数为( )
A．60° B．45° C．30° D．15°知1－练在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝ c＝ 则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝2知识点已知一边及一锐角解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能
求出这个三角形的其他元素吗？知2－讲知2－讲1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：
已知一锐角，则另一锐角易求．而求另两边则需
要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计
算．如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，
用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边．有
时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所
以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式．知2－讲例4 在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c， 且b = 30, ∠B = 25°求这个三角形的其他
元素（边长精确到1).
在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B = 25°
∴∠A=65°.
∵
∴
∵
∴解：知2－讲 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果
再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元
素就都可以确定下来.知2－讲2.已知斜边和一锐角解直角三角形：
已知斜边和一锐角，则另一锐角易求．而求两直
角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦
可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得
已知锐角的邻边．当求出一直角边后，另一直角边也
可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大．知2－讲例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31.
解：导引：知2－练根据下列所给条件：①已知一直角边和一锐角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．解直角三角形，结果不能确定的是( )
A．②③ B．②④ C．② D．②④⑤
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的
值是( )
A. B. C. D.知2－练(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4
C． D．
知3－讲3知识点已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形例6 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ sin B＝
求BC的长．
要求的BC边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B的正弦值，作BC边上的高，
将∠B置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可
解决问题．导引： 如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝知3－讲解：知3－讲 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角
形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种
“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知
条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，
则∠B的正弦值就无法利用．(2016·西宁)如图，在△ABC中，∠B＝90°，tan C＝
AB＝6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s
的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s
的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，
在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )
A．18 cm2
B．12 cm2
C．9 cm2
D．3 cm2知3－练如图，已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若sin B＝
AD＝6，则菱形ABCD的面积为( )
A．12 B． C．24 D．54知3－练1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.
2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必
须有一个已知边，为什么？
已知一边及一锐角解直角三角形
已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解
决这些问题，往 往需要确定直角三角形的边和角.
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么
至少知道几个元 素，就可以求出其他的元素呢？1知识点已知两边解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出
这个三角形的其他元 素吗？知1－讲例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边
分别为a,b,c，且a= b= 求这个三角形的其
他元素.
在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2，
在 Rt△ABC 中，sinB =
∴∠B = 30°. ∴∠ A = 60°.知1－讲解：1．定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知
元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形中的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对
边分别为a，b，c.则有：知1－讲(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝知1－讲要点精析：解直角三角形时，
①已知两边求第三边用勾股定理；
②已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余”；
③在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的
定义求出第三个元素．
由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角)
中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，
就可以求出另外三个元素．知1－讲3．解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则：
①尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
②尽量选择便于计算的关系式．如：当所求的元素既可
用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法．
4．易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素
的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关
系，注意正弦、余弦、正切三种函数都是涉及两边一角，
要正确选择，不能将它们弄混．知1－讲5. 解直角三角形的类型：
（1）已知两边解直角三角形
（2）已知一边及一锐角解直角三角形
已知两边解直角三角形
已知斜边和一条直角边解直角三角形知1－讲例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角
形的其他元素．(角度精确到1′)
求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角
形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
求∠B，因为 ＝sin B＝cos A.知1－讲导引： 由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得知1－讲解：知1－讲 已知斜边和一条直角边求两锐角及另一直角边，先求出已
知直角边与斜边之比，即为某一锐角的正弦或余弦，从而可求
得一锐角，则另一锐角也易求出．至于另一直角边的计算方法，
可运用勾股定理；也可运用三角函数定义由斜边乘某锐角的正
弦得该锐角的对边或斜边乘某锐角的余弦得该锐角的邻边．但
要注意若连续进行近似计算有可能使计算结果误差变大，一般
尽量使用原始数据以减少误差．例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对
边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2.求这个三角形的
其他元素．(角度精确到1′，边长精确到0.01)
已知两边，根据勾股定理可求出第三边．求锐角，
需要由边的比值，运用三角函数求得．知1－讲导引： 由勾股定理得
由tan A＝ ＝0.5，得∠A≈26°34′，
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.知1－讲解：知1－讲 已知两直角边，则运用勾股定理可求出斜边．求锐
角时，可先求得两直角边之比，即为某锐角的正切，从
而求得该锐角，则另一锐角易求出．也可通过求直角边
与斜边之比得到某锐角的正弦，从而求得该锐角，但若
斜边为近似值，后续计算有可能使误差变大．知1－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝
那么∠B的度数为( )
A．60° B．45° C．30° D．15°知1－练在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝ c＝ 则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝
D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝2知识点已知一边及一锐角解直角三角形 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能
求出这个三角形的其他元素吗？知2－讲知2－讲1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：
已知一锐角，则另一锐角易求．而求另两边则需
要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计
算．如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，
用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边．有
时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所
以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式．知2－讲例4 在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c， 且b = 30, ∠B = 25°求这个三角形的其他
元素（边长精确到1).
在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B = 25°
∴∠A=65°.
∵
∴
∵
∴解：知2－讲 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果
再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元
素就都可以确定下来.知2－讲2.已知斜边和一锐角解直角三角形：
已知斜边和一锐角，则另一锐角易求．而求两直
角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦
可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得
已知锐角的邻边．当求出一直角边后，另一直角边也
可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大．知2－讲例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31.
解：导引：知2－练根据下列所给条件：①已知一直角边和一锐角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边．解直角三角形，结果不能确定的是( )
A．②③ B．②④ C．② D．②④⑤
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的
值是( )
A. B. C. D.知2－练(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B．4
C． D．
知3－讲3知识点已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形例6 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ sin B＝
求BC的长．
要求的BC边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B的正弦值，作BC边上的高，
将∠B置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可
解决问题．导引： 如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝知3－讲解：知3－讲 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角
形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种
“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知
条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，
则∠B的正弦值就无法利用．(2016·西宁)如图，在△ABC中，∠B＝90°，tan C＝
AB＝6 cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s
的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s
的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，
在运动过程中，△PBQ的最大面积是( )
A．18 cm2
B．12 cm2
C．9 cm2
D．3 cm2知3－练如图，已知在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若sin B＝
AD＝6，则菱形ABCD的面积为( )
A．12 B． C．24 D．54知3－练1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.
2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必
须有一个已知边，为什么？