1.5.1 解直角三角形在实际中的一般应用课件
文档属性
| 名称 | 1.5.1 解直角三角形在实际中的一般应用课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 399.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-02-21 20:42:08 | ||
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文档简介
课件25张PPT。第一章 直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用第1课时 解直角三角形在实
际中的一般应用1课堂讲解方位角
借助工具测量的应用
借助影子测量的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图1 - 13,海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗
礁.今有货轮 由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，
往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货
轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是
怎样想的？与同伴 进行交流.1知识点方位角1．定义：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°
的角，叫做方向角．如图，∠NOA，∠SOC， ∠SOB，
∠NOD都为方向角．目标方向OA表示的方向角为北偏东
35°，目标方向OB表示的方向
角为南偏东 75°，目标方向OC
表示的方向角为南偏西45°，也
称西南方向，目标方向OD表示
的方向角为北偏西40°.知1－导方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方
向所形成的角叫做方位角．如图，∠NOA，∠NOB，
∠NOC都是方位角．目标方向OA表示的方位角为50°，
目标方向OB表示的方位角为110°，目标方向OC表示的
方位角为250°.知1－导拓展：(1)方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏
(东、西)．
(2)观测点不同，所得的方向角不同．知1－导2. 易错警示：例1 一轮船以15 n mile/h的速度向正东方向航行，上午8时，
该船在A处测得灯塔B位于它的北偏东30°方向，上午
10时行至C处，测得灯塔B恰好在它的正北方向，此时
它与灯塔的距离是多少？知1－讲灯塔B位于A的北偏东30°方向，指的是∠DAB＝30°.
由于对方向角的错误认识，导致错解．错解分析：知1－讲如图，由题意知在△ABC中，∠BCA＝90°，
∠BAC＝90°－∠BAD＝90°－30°＝60°，
AC＝15×2＝30(n mile)，
∴BC＝AC·tan 60°＝30× ＝30 (n mile)．
即此时它与灯塔的距离是30 n mile.解：某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，继续向东航行100 m，到达B处后测得航标C在北偏东45°方向上，如图所示．现已知以航标C为圆心，以120 m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有搁浅的危险？( ≈1.732)知1－练2知识点借助工具测量的应用知2－讲想一想
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测
得仰角为30°，再往塔的方向前 进50m至B处，测得仰角
为60°，那么该塔有多 高？（小明的身高忽略不计，结
果精确到1m)知2－讲1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：
(1)弄清题意，画出示意图；
(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要
解决的问题；
(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；
(4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算；
(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．知2－讲2、常见的图形与关系式如下表所示：知2－讲续表：知2－讲例2〈益阳〉“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通
状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．
如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B
之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线形道路l上测得如下
数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82 m．求
AB的长．(结果精确到0.1 m．
参考数据：sin 76.1°≈0.97，
cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.0；
sin 68.2°≈0.93，cos 68.2°≈0.37，
tan 68.2°≈2.5)知2－讲设AD＝x m，在Rt△ABC中，利用∠BCA的正切值，
可以用含x的代数式表示AB.同理在Rt△ABD中，利
用∠BDA的正切值表示出AB，从而列出关于x的方程，
求出x的值就能求出AB的长了．导引：知2－讲 设AD＝x m，则AC＝(x＋82) m.
在Rt△ABC中，tan ∠BCA＝
∴AB＝AC·tan ∠BCA＝(x＋82)tan 68.2° m.
在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝
∴AB＝AD·tan ∠BDA＝xtan 76.1° m.
∴(x＋82)tan 68.2°＝xtan 76.1°.∴x≈136.67.
∴AB≈4×136.67≈546.7(m)．
即AB的长约为546.7 m.解：知2－讲 解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为
数学模型来解决．解决直角三角形有关的应用题最常用
的方法是画图(包括作辅助线，构造直角三角形或特殊平
行四边形)，根据所给数据，选用恰当的锐角三角函数求
出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求
解．警示点：(1)注意方程思想的运用；(2)注意结果必须
根据题目要求进行保留．长为4 m的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高了________．知2－练知2－练(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为( )
A. B.
C. D.知3－讲3知识点借助影子测量的应用例3 如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且
AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°
时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在
台阶的MN这层上晒太阳( 取1.73)．
(1)求楼房的高度约为多少米．
(2)过了一会儿，当α＝45°时，
问小猫还能否晒到太阳？
请说明理由．(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，
∵tan 60°＝
∴AB＝10·tan 60°＝10 ≈10×1.73＝17.3(m)．
即楼房的高度约为17.3 m.
(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．
理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射
下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点
为点H(如下图)．
知3－讲解： ∵∠BFA＝45°，
∴tan 45°＝ ＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m．
∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1 m．
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，
∴小猫仍可以晒到太阳．
知3－讲如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4 m，BC＝(4 －2 ) m，则电线杆AB的长为________．知3－练(2015·绵阳)如图，要在宽为22 m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A．(11－2 ) m
B．(11 －2 ) m
C．(11－2 ) m
D．(11 －4) m知3－练利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解
直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
注意：当有些图形不是直角三角形时，可考虑适当添加
辅助线构造直角三角形或其他特殊的四边形得出．
际中的一般应用1课堂讲解方位角
借助工具测量的应用
借助影子测量的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图1 - 13,海中有一个小岛A，该岛四周10nmile内有暗
礁.今有货轮 由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，
往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货
轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是
怎样想的？与同伴 进行交流.1知识点方位角1．定义：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°
的角，叫做方向角．如图，∠NOA，∠SOC， ∠SOB，
∠NOD都为方向角．目标方向OA表示的方向角为北偏东
35°，目标方向OB表示的方向
角为南偏东 75°，目标方向OC
表示的方向角为南偏西45°，也
称西南方向，目标方向OD表示
的方向角为北偏西40°.知1－导方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方
向所形成的角叫做方位角．如图，∠NOA，∠NOB，
∠NOC都是方位角．目标方向OA表示的方位角为50°，
目标方向OB表示的方位角为110°，目标方向OC表示的
方位角为250°.知1－导拓展：(1)方向角通常是以南北方向线为主，分南偏和北偏
(东、西)．
(2)观测点不同，所得的方向角不同．知1－导2. 易错警示：例1 一轮船以15 n mile/h的速度向正东方向航行，上午8时，
该船在A处测得灯塔B位于它的北偏东30°方向，上午
10时行至C处，测得灯塔B恰好在它的正北方向，此时
它与灯塔的距离是多少？知1－讲灯塔B位于A的北偏东30°方向，指的是∠DAB＝30°.
由于对方向角的错误认识，导致错解．错解分析：知1－讲如图，由题意知在△ABC中，∠BCA＝90°，
∠BAC＝90°－∠BAD＝90°－30°＝60°，
AC＝15×2＝30(n mile)，
∴BC＝AC·tan 60°＝30× ＝30 (n mile)．
即此时它与灯塔的距离是30 n mile.解：某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，继续向东航行100 m，到达B处后测得航标C在北偏东45°方向上，如图所示．现已知以航标C为圆心，以120 m为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有搁浅的危险？( ≈1.732)知1－练2知识点借助工具测量的应用知2－讲想一想
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测
得仰角为30°，再往塔的方向前 进50m至B处，测得仰角
为60°，那么该塔有多 高？（小明的身高忽略不计，结
果精确到1m)知2－讲1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：
(1)弄清题意，画出示意图；
(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要
解决的问题；
(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；
(4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算；
(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．知2－讲2、常见的图形与关系式如下表所示：知2－讲续表：知2－讲例2〈益阳〉“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通
状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．
如图，新大桥的两端位于A，B两点，小张为了测量A，B
之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线形道路l上测得如下
数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82 m．求
AB的长．(结果精确到0.1 m．
参考数据：sin 76.1°≈0.97，
cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.0；
sin 68.2°≈0.93，cos 68.2°≈0.37，
tan 68.2°≈2.5)知2－讲设AD＝x m，在Rt△ABC中，利用∠BCA的正切值，
可以用含x的代数式表示AB.同理在Rt△ABD中，利
用∠BDA的正切值表示出AB，从而列出关于x的方程，
求出x的值就能求出AB的长了．导引：知2－讲 设AD＝x m，则AC＝(x＋82) m.
在Rt△ABC中，tan ∠BCA＝
∴AB＝AC·tan ∠BCA＝(x＋82)tan 68.2° m.
在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝
∴AB＝AD·tan ∠BDA＝xtan 76.1° m.
∴(x＋82)tan 68.2°＝xtan 76.1°.∴x≈136.67.
∴AB≈4×136.67≈546.7(m)．
即AB的长约为546.7 m.解：知2－讲 解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为
数学模型来解决．解决直角三角形有关的应用题最常用
的方法是画图(包括作辅助线，构造直角三角形或特殊平
行四边形)，根据所给数据，选用恰当的锐角三角函数求
出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求
解．警示点：(1)注意方程思想的运用；(2)注意结果必须
根据题目要求进行保留．长为4 m的梯子搭在墙上，与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图)，则梯子的顶端沿墙面升高了________．知2－练知2－练(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为( )
A. B.
C. D.知3－讲3知识点借助影子测量的应用例3 如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且
AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°
时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在
台阶的MN这层上晒太阳( 取1.73)．
(1)求楼房的高度约为多少米．
(2)过了一会儿，当α＝45°时，
问小猫还能否晒到太阳？
请说明理由．(1)当α＝60°时，在Rt△ABE中，
∵tan 60°＝
∴AB＝10·tan 60°＝10 ≈10×1.73＝17.3(m)．
即楼房的高度约为17.3 m.
(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．
理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射
下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点
为点H(如下图)．
知3－讲解： ∵∠BFA＝45°，
∴tan 45°＝ ＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m．
∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1 m．
∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，
∴小猫仍可以晒到太阳．
知3－讲如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4 m，BC＝(4 －2 ) m，则电线杆AB的长为________．知3－练(2015·绵阳)如图，要在宽为22 m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A．(11－2 ) m
B．(11 －2 ) m
C．(11－2 ) m
D．(11 －4) m知3－练利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解
直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
注意：当有些图形不是直角三角形时，可考虑适当添加
辅助线构造直角三角形或其他特殊的四边形得出．