3.1 圆的认识 课件
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课件35张PPT。第三章 圆第1节 圆第1课时 圆的认识1课堂讲解圆的定义
与圆有关的概念
点与圆的位置关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 为什么车轮要做成圆形？你知道怎样利用直角尺
检查某些工件恰好为半圆形吗？用一张三角形的纸片，
你能裁出一个尽可能大的圆吗？ 与三角形、四边形一样，圆也是我们常见的图形.
本章将运用我们以前学习过的对称、平移、旋转以及证
明等方法研究圆的有关性质，并利用这些知识 解决一些
实际问题.1知识点圆的定义 如 图，一些学生正在做投圈游戏，的投圈目标都是
图中的花瓶. 如果他们呈“一”字排开，这样的队形对
每个人都公平吗？你认
为他们应当排 成什么
样的队形才公平？知1－导知1－导 前面我们已经认识了圆.事实上，圆还可以看成
是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图
形，定点就是圆心，定长就是半径.以点O为圆心的圆
记作⊙ O，读作“圆O”.知1－讲1. 圆的定义：
(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端
点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固
定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
(2)集合观点定义：圆还可以看成是到定点(圆心)的距离等于
定长(半径)的所有点组成的图形．
要点精析：
(1)确定一个圆需要两个要素，一是圆心，二是半径．圆心定
其位置，半径定其大小．
知1－讲(2)圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是
“圆面”．
(3)“圆上的点”指圆周上的点．
2．圆的特性：
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)，
即同圆的半径相等．
(2)到定点O的距离等于定长r的点都在同一个圆上，即到
圆心的距离等于半径的点在圆上．知1－讲下列说法中，错误的有( )
(1)经过点P的圆有无数个；
(2)以点P为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3 cm且经过点P的圆有无数个；
(4)以点P为圆心，3 cm为半径的圆有无数个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－讲确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条
件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，由此可知(1)(2)
正确；(3)半径确定，但圆心不确定，仍有无数个圆；(4)圆
心和半径都确定的圆有且只有一个(唯一)．导引： 例1A知1－讲(1)圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心和
半径．两者缺一不可；
(2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在
圆周上．
特别提醒：圆是“圆周”，而非“圆面”．下列关于圆的叙述中正确的是( )
A．圆是由圆心唯一确定的
B．圆是一条封闭的曲线
C．平面上到定点的距离小于或等于定长的所有点组
成圆
D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
平面内已知点P，以P为圆心，3 cm为半径作圆，这样
的圆可以作( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个知1－练2知识点与圆有关的概念知2－讲1．与圆有关的概念：
(1)弦与直径：弦：连接圆上任意两点的
线段叫做弦(如图中的CD和AB)．
直径：经过圆心的弦叫做直径(如图中的AB)，且直径等于半
径(OA，OB)的2倍. 直径是圆中最长的弦．
注意：弦与直径间的关系：直径是过圆心的弦，因此直径是弦，
但弦不一定是直径；在提到“弦”时，如果没有特别说明，不要
忘记直径这种特殊的弦．知2－讲(2)弧、半圆、优弧、劣弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两
个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣
弧(如图中的 )，大于半圆的弧叫做优弧(如图 中的 )．劣
弧用“⌒”和弧两端的字母表示；优弧用“⌒ ”和三个字母(弧两端的
字母和弧中间的任一字母)表示．弧分为优弧、半圆、劣弧．
注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆．
(3)等圆与等弧：
能够重合的两个圆叫做等圆．所以半径相等的两个圆是等圆．
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．知2－讲2．弦与弧之间的关系：
(1)弦是连接圆上任意两点的线段，有无数条；弧是圆上任意两点间
的部分，弧是曲线，弧也有无数条．
(2)每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条：优弧、劣弧或两个
半圆．
3．易错警示：
(1)只有同圆或等圆中才可能有等弧，等弧长度一定相等，但长度
相等的弧不一定是等弧．
弧不仅有长度，还有度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度
数小于180°，优弧的度数大于180°.
(2)半径不变，圆心变产生等圆；圆心不变，半径变产生同心圆．知2－讲〈易错题〉以下命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；③弦是直径；④直径是圆中最长的弦；⑤直径不是弦；⑥优弧大于劣弧； ⑦以O为圆心可以画无数个圆. 正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4例2C知2－讲①弧分为劣弧、半圆、优弧三种，所以半圆是弧，但弧不一
定是半圆，故正确；②过圆上任意一点可以作无数条弦，故
错误；③直径是过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径，故错
误；④圆有无数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长
的弦，故正确；⑤直径是过圆心的弦，故错误；⑥在同圆或
等圆中，优弧大于劣弧，故错误；⑦以一个点为圆心，若不
指明半径，可画出无数个大小不等的同心圆，故正确．导引：知2－讲 (1)本题主要考查圆的有关概念，深刻理解圆中弦、弧、
直径的概念是克服误判的关键．
(2)弧只有在同圆或等圆中才能比较大小；在判断两条
弧是否是等弧时，首先要看两条弧所在的圆是否为
同圆或等圆．知2－讲如图 ，已知⊙O上有A，B，C三个点，
以其中两个点为端点的弧共有_____条，
弦共有____条．例3由弧的概念知以A，B，C中任意两个点为端点的弧有，
共6条；由弦的概念知以A，
B，C中任意两个点为端点的弦有AB，BC，AC，共3条．导引：63知2－讲 圆上的任意两点分圆为两条弧：一条优弧、一条劣
弧或两个半圆，本题容易忽视圆中的优弧而造成得到3条
弧的错误答案；在同圆中每段弧对应一条弦，而每条弦对
应两条弧：一条优弧、一条劣弧或两个半圆．下列说法中，正确的是( )
①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦．
A．②③ B．③⑤ C．④⑤ D．②⑤知2－练知2－练如图，点A，B，C在⊙O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上，下列说法正确的是( )
A．线段AB，AC，CD，OB都是弦
B．与线段OB相等的线段有OA，
OC，CD
C．图中的优弧有2条
D．AC是弦，AC又是⊙O的直径，所以弦是直径知2－练下列说法中，错误的是( )
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等知2－练(2016·赤峰)如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心， 为半径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B. π C. π D．2π知3－导3知识点点与圆的位置关系 如图所示， ⊙O是一个半径为r的圆.在圆内、 圆外、
圆上分别取一点，点到圆心的距离为d， 你能用r与 d的
大小关系刻画它们的位置特征吗？知3－导点与圆的位置关系有三种：
点在圆外、点在圆上、点 在圆内.1．点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点
在圆内，每一种位置关系都与圆的半径r及这一点到圆
心的距离d的大小 关系密切相关，具体如下表：
知3－讲2．圆上的点到圆心的距离都等于半径，圆内的点到圆心
的距离都小于半径，圆外的点到圆心的距离都大于半
径．反过来，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，
到圆心的距离小于半径的点都在
圆的内部，到圆心的距离大于半径的点都在圆的外部．
3．易错警示：
忽视点不在圆上有两种情况，导致解题时漏解．
知3－讲如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，AC＝3 cm.以C为圆心， cm为半径画⊙C，请指出点A，B，D与⊙C的位置关系．知3－讲例4要判断点A，B，D与⊙C的位置关系，只需求出点A，B，
D到点C的距离，即AC，BC，CD的长，并和半径
cm比较大小，进而得出结果．知3－讲 解：导引：在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴CD＝ AC＝ ×3＝
1.5(cm)．∵CD＝1.5 cm＜ cm，∴点D在⊙C内部．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝AC·tan 30°＝
3× ＝ (cm)．∴点B在⊙C上．∵AC＝3 cm＞
cm，∴点A在⊙C外部．知3－讲判断一个点与圆的位置关系，只需求出这个点到圆心
的距离，然后和半径比较大小即可得解．知3－练（来自<典中点>）(2015·湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定知3－练(2016·宜昌)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F知3－练已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( )
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10
C．6＜r≤8 D．8＜r≤101.理解圆的定义要注意两层含义：
(1)圆上各点到圆心的距离都相等，到圆心的距离等于半径
的点必定在圆上；
(2)当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它
的另一个端点的运动轨迹就是一个圆．
2.与圆有关的概念
弦与直径，弧、半圆、优弧、劣弧，等圆与等弧，
3.点和圆的位置关系
与圆有关的概念
点与圆的位置关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 为什么车轮要做成圆形？你知道怎样利用直角尺
检查某些工件恰好为半圆形吗？用一张三角形的纸片，
你能裁出一个尽可能大的圆吗？ 与三角形、四边形一样，圆也是我们常见的图形.
本章将运用我们以前学习过的对称、平移、旋转以及证
明等方法研究圆的有关性质，并利用这些知识 解决一些
实际问题.1知识点圆的定义 如 图，一些学生正在做投圈游戏，的投圈目标都是
图中的花瓶. 如果他们呈“一”字排开，这样的队形对
每个人都公平吗？你认
为他们应当排 成什么
样的队形才公平？知1－导知1－导 前面我们已经认识了圆.事实上，圆还可以看成
是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图
形，定点就是圆心，定长就是半径.以点O为圆心的圆
记作⊙ O，读作“圆O”.知1－讲1. 圆的定义：
(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端
点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固
定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
(2)集合观点定义：圆还可以看成是到定点(圆心)的距离等于
定长(半径)的所有点组成的图形．
要点精析：
(1)确定一个圆需要两个要素，一是圆心，二是半径．圆心定
其位置，半径定其大小．
知1－讲(2)圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周”，而不能认为是
“圆面”．
(3)“圆上的点”指圆周上的点．
2．圆的特性：
(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)，
即同圆的半径相等．
(2)到定点O的距离等于定长r的点都在同一个圆上，即到
圆心的距离等于半径的点在圆上．知1－讲下列说法中，错误的有( )
(1)经过点P的圆有无数个；
(2)以点P为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3 cm且经过点P的圆有无数个；
(4)以点P为圆心，3 cm为半径的圆有无数个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知1－讲确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条
件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，由此可知(1)(2)
正确；(3)半径确定，但圆心不确定，仍有无数个圆；(4)圆
心和半径都确定的圆有且只有一个(唯一)．导引： 例1A知1－讲(1)圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心和
半径．两者缺一不可；
(2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在
圆周上．
特别提醒：圆是“圆周”，而非“圆面”．下列关于圆的叙述中正确的是( )
A．圆是由圆心唯一确定的
B．圆是一条封闭的曲线
C．平面上到定点的距离小于或等于定长的所有点组
成圆
D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
平面内已知点P，以P为圆心，3 cm为半径作圆，这样
的圆可以作( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个知1－练2知识点与圆有关的概念知2－讲1．与圆有关的概念：
(1)弦与直径：弦：连接圆上任意两点的
线段叫做弦(如图中的CD和AB)．
直径：经过圆心的弦叫做直径(如图中的AB)，且直径等于半
径(OA，OB)的2倍. 直径是圆中最长的弦．
注意：弦与直径间的关系：直径是过圆心的弦，因此直径是弦，
但弦不一定是直径；在提到“弦”时，如果没有特别说明，不要
忘记直径这种特殊的弦．知2－讲(2)弧、半圆、优弧、劣弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两
个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣
弧(如图中的 )，大于半圆的弧叫做优弧(如图 中的 )．劣
弧用“⌒”和弧两端的字母表示；优弧用“⌒ ”和三个字母(弧两端的
字母和弧中间的任一字母)表示．弧分为优弧、半圆、劣弧．
注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆．
(3)等圆与等弧：
能够重合的两个圆叫做等圆．所以半径相等的两个圆是等圆．
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．知2－讲2．弦与弧之间的关系：
(1)弦是连接圆上任意两点的线段，有无数条；弧是圆上任意两点间
的部分，弧是曲线，弧也有无数条．
(2)每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条：优弧、劣弧或两个
半圆．
3．易错警示：
(1)只有同圆或等圆中才可能有等弧，等弧长度一定相等，但长度
相等的弧不一定是等弧．
弧不仅有长度，还有度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度
数小于180°，优弧的度数大于180°.
(2)半径不变，圆心变产生等圆；圆心不变，半径变产生同心圆．知2－讲〈易错题〉以下命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；③弦是直径；④直径是圆中最长的弦；⑤直径不是弦；⑥优弧大于劣弧； ⑦以O为圆心可以画无数个圆. 正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4例2C知2－讲①弧分为劣弧、半圆、优弧三种，所以半圆是弧，但弧不一
定是半圆，故正确；②过圆上任意一点可以作无数条弦，故
错误；③直径是过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径，故错
误；④圆有无数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长
的弦，故正确；⑤直径是过圆心的弦，故错误；⑥在同圆或
等圆中，优弧大于劣弧，故错误；⑦以一个点为圆心，若不
指明半径，可画出无数个大小不等的同心圆，故正确．导引：知2－讲 (1)本题主要考查圆的有关概念，深刻理解圆中弦、弧、
直径的概念是克服误判的关键．
(2)弧只有在同圆或等圆中才能比较大小；在判断两条
弧是否是等弧时，首先要看两条弧所在的圆是否为
同圆或等圆．知2－讲如图 ，已知⊙O上有A，B，C三个点，
以其中两个点为端点的弧共有_____条，
弦共有____条．例3由弧的概念知以A，B，C中任意两个点为端点的弧有，
共6条；由弦的概念知以A，
B，C中任意两个点为端点的弦有AB，BC，AC，共3条．导引：63知2－讲 圆上的任意两点分圆为两条弧：一条优弧、一条劣
弧或两个半圆，本题容易忽视圆中的优弧而造成得到3条
弧的错误答案；在同圆中每段弧对应一条弦，而每条弦对
应两条弧：一条优弧、一条劣弧或两个半圆．下列说法中，正确的是( )
①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦．
A．②③ B．③⑤ C．④⑤ D．②⑤知2－练知2－练如图，点A，B，C在⊙O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上，下列说法正确的是( )
A．线段AB，AC，CD，OB都是弦
B．与线段OB相等的线段有OA，
OC，CD
C．图中的优弧有2条
D．AC是弦，AC又是⊙O的直径，所以弦是直径知2－练下列说法中，错误的是( )
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能相等知2－练(2016·赤峰)如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心， 为半径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．π B. π C. π D．2π知3－导3知识点点与圆的位置关系 如图所示， ⊙O是一个半径为r的圆.在圆内、 圆外、
圆上分别取一点，点到圆心的距离为d， 你能用r与 d的
大小关系刻画它们的位置特征吗？知3－导点与圆的位置关系有三种：
点在圆外、点在圆上、点 在圆内.1．点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点
在圆内，每一种位置关系都与圆的半径r及这一点到圆
心的距离d的大小 关系密切相关，具体如下表：
知3－讲2．圆上的点到圆心的距离都等于半径，圆内的点到圆心
的距离都小于半径，圆外的点到圆心的距离都大于半
径．反过来，到圆心的距离等于半径的点都在圆上，
到圆心的距离小于半径的点都在
圆的内部，到圆心的距离大于半径的点都在圆的外部．
3．易错警示：
忽视点不在圆上有两种情况，导致解题时漏解．
知3－讲如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，AC＝3 cm.以C为圆心， cm为半径画⊙C，请指出点A，B，D与⊙C的位置关系．知3－讲例4要判断点A，B，D与⊙C的位置关系，只需求出点A，B，
D到点C的距离，即AC，BC，CD的长，并和半径
cm比较大小，进而得出结果．知3－讲 解：导引：在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴CD＝ AC＝ ×3＝
1.5(cm)．∵CD＝1.5 cm＜ cm，∴点D在⊙C内部．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝AC·tan 30°＝
3× ＝ (cm)．∴点B在⊙C上．∵AC＝3 cm＞
cm，∴点A在⊙C外部．知3－讲判断一个点与圆的位置关系，只需求出这个点到圆心
的距离，然后和半径比较大小即可得解．知3－练（来自<典中点>）(2015·湘西州)⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA＝3 cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在圆上 B．点A在圆内
C．点A在圆外 D．无法确定知3－练(2016·宜昌)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为( )
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F知3－练已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是( )
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10
C．6＜r≤8 D．8＜r≤101.理解圆的定义要注意两层含义：
(1)圆上各点到圆心的距离都相等，到圆心的距离等于半径
的点必定在圆上；
(2)当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它
的另一个端点的运动轨迹就是一个圆．
2.与圆有关的概念
弦与直径，弧、半圆、优弧、劣弧，等圆与等弧，
3.点和圆的位置关系