1.5 平方差公式课件

课件31张PPT。第一章 整式的乘除1.5 平方差公式1课堂讲解平方差公式的特征
平方差公式
利用平方差公式简便计算2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升复习回顾：
上一节课中我们学习了哪些整式的乘法运算？
它们的运算法则是什么？1知识点平方差公式的特征计算下列各题：
(1) (x+2) (x－2)；(2) (1+3a) (1－3a )；
(3) (x+5y) (x－5y)；(4)(2y+z) (2y－z) .
观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？
再举两例验证你的发现.
知1－导平方差公式
(a+b) (a－b)= a2－b2 .
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.知1－导这是两个特殊的多项式相乘！平方差公式：
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
用式子表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
要点精析：(1) 公式特点：公式左边是两个二项式相乘，
两个二项式中的两项有一项相同，另一项互为相反
数；等号的右边是左边二项式中两项的平方差(相同
项的平方减去相反项的平方)．
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪
个数相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或
多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．知1－讲知1－讲例1 〈义乌〉如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．知1－讲导引：直先计算图①中阴影部分面积为S1＝a2－b2，
再计算图②中阴影部分面积为S2＝ (2b＋2a)
(a－b)，然后根据面积相等得到乘法公式．
解：(1) S1＝a2－b2，
S2＝ (2b＋2a)(a－b) ＝(a＋b)(a－b)．
(2) (a＋b)(a－b)＝ a2－b2.
知1－讲图形面积相等是证明平方差公式的常用方法之一．1 计算：
(1) (a+2) (a－2)； (2) (3a+2b) (3a－2b)；
(3) (－x －1) (1－x) ；(4) (－4k+3) (－4k－3).
2 平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a，b(　　)
A．是数或单个字母 B．是单项式
C．是多项式 D．是单项式或多项式知1－练知1－练3 下列计算能运用平方差公式的是(　　)
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D.知1－练4 (2016·百色)观察下列各式的规律：
(a－b)(a＋b)＝a2－b2
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4
…
可得到(a－b)(a2 016＋a2 015b＋…＋ab2 015＋b2 016)＝____________．2知识点平方差公式知2－导如图1，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b的
小正方形.
(1)请表示图1中阴影部分
的面积.
(2)小颖将阴影部分拼成了
一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是
多少？你能表示出它的面积吗?
(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗?拓展：平方差公式可以连续使用，只要符合公式的特
点即可使用．
易错警示：
(1)公式中的a与b不是单个数或字母时，运用公式忘加
括号．
(2)在运用公式时，没有对号入座．知2－讲例2 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；
(3) (－m+n)(－m－n) .
解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2；
(2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ；
(3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
知2－讲知2－讲例3 利用平方差公式计算：
(1) ；(2) (ab+8)(ab－8) .
解：
(2) (ab+8)(ab－8) =(ab)2－64=a2b2－64.
知2－讲例4 计算(x－1)(x＋1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)．
解：原式＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)
＝(x4－1)(x4＋1)(x8＋1)
＝(x8－1)(x8＋1)
＝x16－1.知2－讲出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点．如果
出现平方差公式的模型就依次运用公式，一直到不能
用为止．知2－练1 计算：
(1) 704×696 ；(2) (x+2y) (x－2y)+(x+1)(x－1)；
(3) x(x－1)－(x－ )(x+ ) .
2 (2015·衡阳)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2＝________．知2－练3 下列运算正确的是(　　)
A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2
B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2
C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9
D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
4 (2015·永州)下列运算正确的是(　　)
A．a2·a3＝a6 　　B．(－a＋b)(a＋b)＝b2－a2
C．(a3)4＝a7 　　C．a3＋a5＝a8知2－练5 若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则(　　)
A．m＝2，n＝3 　　　
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3 　　
D．m＝－2，n＝3知2－练6 (中考·枣庄)如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分沿虚线剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为(　　)
A．a2＋4　　　　 B．2a2＋4a
C．3a2－4a－4 D．4a2－a－23知识点利用平方差公式简便计算知3－导(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?7×9=
8×8=11×13=
12×12=79×81=
80×80=知3－讲例5 用平方差公式进行计算：
(1)103×97；(2)118×122.
解：(1)103×97
=(100+3) (100－3)
=1002－32
=9 991 ；(2)118×122
=(120－2) (100+2)
=1202－22
=14 396 .知3－讲例6 运用平方差公式计算：
(1) 2 014×2 016－2 0152；(2) 1.03×0.97；
(3) 40 ×39 .
导引：在(1)中，2 014与2 016都与2 015相差1，即
2 014＝2 015－1，2 016＝2 015＋1；在(2)中1.03与
0.97都与1相差0.03，即1.03＝1＋0.03，0.97＝1－0.03；
在(3)中40 与39 都与40相差 ，即40 ＝40＋ ，
39 ＝40－ ，因此可运用平方差公式进行计算．知3－讲解： (1)原式 ＝(2 015－1)(2 015＋1)－2 0152
＝2 0152－1－2 0152＝－1；
(2)原式 ＝(1＋0.03)(1－0.03) ＝12－0.032
＝1－0.000 9＝0.999 1；
(3)原式知3－讲本题运用了转化思想求解．运用平方差公式计算两数
乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两
个数与这个平均数进行比较变形成两数的和与这两数
的差的积的形式，再用平方差公式可求解．知3－讲例7 计算：
(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2；(2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
解：(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2；
=a2(a2-b2) +a2b2
=a4-a2b2 +a2b2
=a4 ；
(2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
= (2x)2-25-(4x2 -6x)
= 4x2-25-4x2 +6x
= 6x-25知3－练1 计算2 0162－2 015×2 017的结果是(　　)
A．1　　　B．－1　　　
C．2　　　D．－2
2 计算：
(1)499×501；(2)60 ×59 ；
(3)99×101×10 001.1. 平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并
且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相
反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反
数的项的平方．
2. 公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的字母a，b可以是单
项式，也可以是多项式．
3. 平方差公式可以逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1.必做:完成教材习题1.9T1、2，习题1.10T1、2
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题