1.6.1 完全平方公式课件

课件28张PPT。1.6.1 完全平方公式1.6 完全平方公式第一章 整式的乘除1课堂讲解完全平方公式的特征
完全平方公式
完全平方公式的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升观察下列算式及其运算结果，你有什么发现?
(m+3)2 = (m+3)(m+3)
= m2+3m+3m+9
= m2+ 2×3m+9
=m2 +6m+9 ,
再举两例验证你的发现 .(2+3x)2 = (2+3x)(2+3x)
=22+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4 +12x+9x2 .(a+b)2 = a2+2ab+b2 .1知识点完全平方公式的特征计算下列各题：
(a－b)2 = ？你是怎样做的？知1－导(a－b)2
=(a－b) (a－b)
= a2－2ab+b2.(a－b)2
=?[a+(－b)]2
= a2+2a(－b)+(－b)2
= a2－2ab+b2.(a－b)2 = a2－2ab+b2.知1－导1. 完全平方公式：
两数的和(差)的平方等于这两个数的平方和加上
(减去)这两个数乘积的2倍．
用式子表示为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
要点精析：
(1)弄清公式的特征
公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是
一个三项式，其中两项是左边二项式各项的平方，
另一项是左边二项式各项的乘积的两倍；二项式
的差的完全平方公式是和的完全平方公式的特例 .知1－讲(2)理解字母a，b的意义
公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表
示单项式．
(3)学会用口诀加深记忆
对于公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可以用下述简单
的口诀来记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍
在中央，中间符号照原样．知1－讲拓展：
(1)公式中的字母a，b，还可为多项式表示的数或其
他的代数式所表示的数．
(2)利用完全平方公式，可得到a＋b，ab，a－b，
a2＋b2有下列重要关系：
① a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
② (a＋b)2－(a－b)2＝4ab.知1－讲知1－讲2. 易错警示：由于前面学习了平方差公式(a＋b)(a－b)
＝a2－b2，因此往往出现形如(a±b)2＝a2±b2的错
误．为了防止类似错误，要明确以下三点：
(1)意义不同：(a±b)2表示数a与数b和或差的平方，而
a2±b2表示数a的平方与数b的平方的和或差．
(2)读法不同：(a±b)2读作a，b两数和或差的平方；
a2±b2读作a，b两数平方的和或差．
(3)运算顺序不同：(a±b)2是先算a，b两数的和或差，
后算和或差的平方；a2±b2是先算a2与b2，后算a2，
b2的和或差．知1－讲例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2；(2) (4x+5y)2 ；(3) (mn－a)2 .
解： (1) (2x－3)2 = (2x)2－2·2x·3+32
= 4x2－12x + 9；
(2) (4x+5y)2 = (4x)2 +2·4x·5y+ (5y)2
= 16x2 +40xy+ 25y2 ；
(3) (mn－a)2 = (mn)2－2·mn·a+a2
= m2n2－2amn+a2.例2 利运用完全平方公式计算：
(1)(－2x＋5)2；(2)(－m－2n)2；(3)
导引：先将算式利用(a－b)2＝(b－a)2，(－a－b)2
＝ (a＋b)2化为两数和或差的平方形式，再利
用完全平方公式计算．
解：(1)原式＝(2x－5)2＝(2x)2－2·2x·5＋52
＝4x2－20x＋25；
(2)原式＝(m＋2n)2＝m2＋2·m·2n＋(2n)2
＝m2＋4mn＋4n2；
(3)原式＝知1－讲知1－讲在应用公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 时关键是弄清题目
中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，
同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的
完全平方公式；解(1)(2)时还用到了互为相反数的两
数的平方相等．1 计算：
(1) ；(2) ；(3) (n+1)2－n2 .
2 给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是(　　)
A．4x B．－4x
C．4x4 D．－4x4知1－练知1－练3 若x2＋6x＋k是完全平方式，则k等于(　　)
A．9 B．－9
C．±9 D．±3
4 下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2知识点完全平方公式知2－导你是怎样做的？与同伴交流 .怎样计算1022, 1972更简单呢？知2－讲例3 计算：(1)(2x－1)2－(3x＋1)2；
(2)(a－b)2·(a＋b)2；
(3)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2)．
导引：对于(1)可分别利用完全平方公式计算，再合并
同类项；对于(2)可以把底数(a－b)，(a＋b)分别看作
一个整体，然后逆用积的乘方法则进行计算；对于(3)
先利用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全
平方公式进行计算．(1)原式＝4x2－4x＋1－(9x2＋6x＋1)
＝4x2－4x＋1－9x2－6x－1
＝－5x2－10x；
(2)原式＝[(a－b)(a＋b)]2
＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4；
(3)原式＝－(x＋y)(x－y)(x2－y2)
＝－(x2－y2)2＝－(x4－2x2y2＋y4)
＝－x4＋2x2y2－y4.知2－讲解：知2－讲在解答与乘法公式有关的比较复杂的整式计算问题时，
要注意观察题目结构特征，灵活运用平方差公式和完
全平方公式求解；在能用平方差公式和完全平方公式
时，尽量先用平方差公式；合理运用公式，能使计算
更简便，如(1)小题如果先运用平方差公式，则计算
过程为：原式＝[(2x－1) +(3x+1)][(2x－1)－(3x+1)]
＝5x(－x－2)＝－5x2－10x.知2－讲例4 计算：
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) .
解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2 =6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b)－3]
= (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9；
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)
= x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .知2－讲本题运用了整体思想求解．对于平方式中若底数是三
项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就
符合完全平方公式特点；对于两个三项式或四项式相
乘的式子，可将相同的项及互为相反数的项分别添括
号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，通过平
方差公式展开再利用完全平方公式展开，最后合并可
得结果．知2－练1 (2015·连云港)下列运算正确的是(　　)
A．2a＋3b＝5ab B．5a－2a＝3a
C．a2·a3＝a6 D．(a＋b)2＝a2＋b2
2 计算(－a－b)2等于(　　)
A．a2＋b2 B．a2－b2
C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
知2－练3 下列运算正确的是(　　)
A．4a－a＝3
B．2(2a－b)＝4a－b
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a＋2)(a－2)＝a2－43知识点完全平方公式的应用例5 已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值.
导引：将两数的和(差)的平方式展开，产生两数的平
方和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
解：因为a2＋b2＝13，ab＝6，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25；
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.知3－讲知3－讲在利用完全平方公式进行计算时，经常会遇到这个公
式的如下变形：(1)(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；(2)(a－b)2
＋2ab＝a2＋b2；(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(4)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
灵活运用这些公式的变形，往往可以解答一些特殊的
计算问题，培养综合运用知识的能力．知3－练1 利用整式乘法公式计算：
(1)962；(2)(a－b－3) (a－b＋3)．
2 (2016·南充)如果x2＋mx＋1＝(x＋n)2，且m＞0，则n的值是________．
3 (2016·巴中)若a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝_____．知3－练4 若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(　　)
A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab
5 (2015·邵阳)已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值
为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
6 已知a＋ ＝4，则a2＋ 的值是(　　)
A．4 B．16 C．14 D．151. 完全平方公式的特征：左边是二项式的平方，右
边是二次三项式，其中两项分别是公式左边两项
的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，
可简记为“前平方、后平方，积的2倍在中央”．
2．完全平方公式常见的变形公式有：
(1) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2) (a＋b)2－(a－b)2＝4ab .