4.1.1 三角形及其内角和 课件

课件48张PPT。第1课时 三角形及其
内角和第四章 三角形4.1 认识三角形1课堂讲解三角形有关概念
三角形的内角和
直角三角形两锐角互余
三角形按角的大小分类 2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 院子的栅栏门，为什么钉上一根木条就结实、稳
定了呢？
在没有任何测量工具的条件下，一个战士测得了
隔河相望的敌军碉堡与我军阵地的距离，你想知道这
个战士是怎样测量的吗？
本章我们将学习三角形的基本性质，探索三角形
全等的条件，并利用这些结果解决一些实际问题.1知识点三角形有关概念 知1－导观察下面的屋顶框架图：(1)你能从图中找出4个不同的三角形吗?
(2)这些三角形有什么共同的特点？知1－讲1.三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾
顺次相接所组成的图形叫做三角形．用符号“△”表
示三角形，顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，
读作“三角形ABC” ．
要点精析：
(1)定义中的三要素：①三条线段，②不在同一直线上，
③首尾顺次相接；
(2)三角形的表示方法中“△”表示“三角形”，后边
的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序可以
自由安排．知1－讲2.三角形的三元素：
(1)顶点：三角形任意两边的公共点；
(2)边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边；
(3)内角：在三角形中，每相邻两边所组成的角．
3.说明：在三角形中，一个角对着一条边，那么这条边就叫
做这个角的对边．同理，这个角叫做这条边的对角．
例如：如图，∠A所对的边可以用BC
表示，也可以用a表示；∠B所对的边
可以用AC表示，也可以用b表示；
∠C所对的边可以用AB表示，也可以
用c表示；边AB的对角为∠C，边BC
的对角为∠A，边AC的对角为∠B.知1－讲例1 下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的
是(　　)按三角形的定义进行判断．观察每一个选项中的图
形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺次相接.导引：C(1)判断一个图形是否是三角形的条件：
①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接．
三者必须同时满足，否则不是三角形．
(2)易错警示：图形是三角形与图形内含有三角形是两
个不同的概念．图形是三角形表示整个图形是一个
三角形，图形内含有三角形表示图形内局部有三角
形．如选项A，B，D中的图形内都含有三角形，但
整个图形不是三角形．知1－讲知1－讲例2 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，
连接BE，AD交于点F，问：
(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来．
(2)△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？
(3)以AB为边的三角形有哪些？
(4)以F为顶点的三角形有哪些？知1－讲(1)以点A为顶点的三角形有：△ABF，△AEF，
△ABE，△ABD，△ACD，△ABC；除此以外，
以点B为顶点的三角形有：△BDF，△BCE.
(2)由三角形的表示法可知△BDF的三个顶点是B，D，
F，顺次连接B，D，F三点的线段BD，DF，BF
是△BDF的三条边．
(3)点D，E，F，C都在直线AB外，所以它们都可以
和点A，B组合作为三角形的三个顶点．
(4)从(1)中挑出含有点F的三角形．导引：知1－讲解：(1)图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，
△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，
△BCE.
(2)△BDF的三个顶点是B，D，F，三条边是BD，
DF，BF.
(3)以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，
△ABC.
(4)以F为顶点的三角形有△ABF，△AEF，△BDF.(1)在复杂的图形中数三角形个数的方法：
①按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照
三角形形成的先后顺序去数)；
②按三角形的大小顺序去数；
③从图中的某一条边开始沿着一定的方向去数；
④先固定一个顶点，然后按照一定的顺序不断变换
另两个顶点去数(如本例中的导引)．知1－讲知1－讲(2)本例如按方法③去找，可以为：
①以AB为边开始找，有△ABF，△ABE，△ABD，
△ABC；
②以BF为边开始找，有△BFD；
③以BE为边开始找，有△BEC；
④以AD为边开始找，有△ADC；
⑤以AF为边开始找，有△AFE.
(3)易错警示：不管按哪种方法数三角形的个数，都
要按照一定的顺序，做到不重复、不遗漏．知1－练1　几位同学用三根木棒拼成的图形如图所示，则其中符合三角形定义的是(　　)知1－练2　如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．
(1)其中以AB为一边可以画出________个三角形；
(2)其中以C为顶点可以画出________个三角形．2知识点三角形的内角和 知2－导做一做
我们知道，将一个三角形的三个角撕下来，拼在
一起，可以得到三角形的内角和等于180°.
小明只撕下三角形的一个角，也得到了上面的结
论，他是这样做的：?
(1)如图所示，剪一个三角形纸片，
它的三个内角分别为∠1，∠2
和∠3.知2－导(2)将∠1撕下，按如图所示进行摆放，其中∠1的顶
点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边
重合.
此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗？
为什么？知2－导(3)如图所示，将∠3与∠2的公共边延长；它与b所夹的角
为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？
现在，你能够确定这个三角形的内角的和了吗？
自己剪一个三角形纸片，重复上面的过程，你得到同
样的结论了吗？与同伴进行交流. 三角形三个内角的和等于180°.知2－导知2－讲1.三角形三个内角的和等于180°.
要点精析：在三角形中已知两个内角的度数，可以求
出第三个内角的度数.
2.因为180°的角有：
(1)平角；(2)互为补角的两个角的和；
(3)平行线间一对同旁内角的和，所以要说明三角形
的三个内角和为180°就是要把三角形的三个内角
转化为上述的三种角，而创造平行线是转化的桥梁．知2－讲例3 〈邵阳〉如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，
AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点
E，则∠ADE的大小是(　　)
A．45°　　　
B．54°　　　
C．40°　　　
D．50°C知2－讲根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再根据角
平分线的定义求出∠BAD的度数，然后根据两直线
平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD.
因为∠B＝46°，∠C＝54°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝ ×80°＝40°.
因为DE∥AB，
所以∠ADE＝∠BAD＝40°.导引： 本题运用了综合法和转化思想，借平行线将要求
的∠ADE转化成与△ABC的内角有关的∠BAD，再结
合角平分线和三角形的内角和就可以解决问题．知2－讲1　(2016·贵港)在△ABC中，若∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数为(　　)
A．35°　　 　B．40° 　
C．45°　 D．50°
2　(2015·滨州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于(　　)
A．45° B．60°
C．75° D．90°知2－练3　(2015·佛山)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是
三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B＝45°，
∠C＝60°，则∠EFD等于(　　)
A．80°　　　
B．75°
C．70°　　　
D．65°知2－练3知识点直角三角形两锐角互余知3－讲直角三角形：
(1)定义：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
表示法：直角三角形用符号“Rt△”表示，直角
三角形ABC可以写成Rt△ABC.
(2)性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图，在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
(3)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
注意：这两个角要在同一个三角形中．知3－讲(4)直角三角形的性质与判定的区别与联系：
区别：性质中直角三角形是条件，两锐角的关系
是结论；判定中两角的关系是条件，直角三角形
是结论．
联系：性质和判定的理论依据都是三角形三个内
角的和等于180°.
拓展：性质与判定是两个互逆的过程，即：知3－讲例4 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE
平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F.
(1)试说明∠BCD＝∠ECD；
(2)请找出图中所有与∠B相等的角．知3－讲(1)根据直角三角形的两个锐角互余求出∠BCD的度
数，再利用三角形的内角和求出∠ACB的度数，
然后根据角平分线的定义求出∠BCE的度数，从
而可以求出∠ECD的度数，进而得到结论；
(2)根据三角形的角度关系，找出度数是70°的角即
可．导引：知3－讲(1)因为∠B＝70°，CD⊥AB于点D，
所以∠BCD＝90°－70°＝20°.
在△ABC中，因为∠A＝30°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－30°－70°＝80°.
因为CE平分∠ACB，
所以∠BCE＝ ∠ACB＝40°.
所以∠ECD＝∠BCE－∠BCD
＝40°－20°＝20°.
所以∠BCD＝∠ECD.解：知3－讲(2)因为CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，
所以∠CED＝90°－∠ECD
＝90°－20°＝70°，
∠CDF＝90°－∠ECD
＝90°－20°＝70°，
所以与∠B相等的角有∠CED和∠CDF. 直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两
个锐角互余的本质是三角形的三个内角和等于180°，
是三角形的三个内角和等于180°的一种简化应用，
利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另
一锐角．知3－讲知3－讲例5 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．判定△EFP为直角三角
形的方法：有一个角是
直角或有两个锐角互余，
即要说明∠FPE＝90°
或∠PEF＋∠PFE＝90°.导引：知3－讲因为AB∥CD，所以∠BEF＋∠DFE＝180°.
因为EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
所以∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.
所以∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)
＝ ×180°＝90°.
所以△EFP为直角三角形．解： “有一个角是直角的三角形是直角三角形”是
直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有
两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形
的判定，由三角形内角和等于180°可知第三个角是
直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．本题
主要根据平行线的性质与角平分线的定义计算三角
形两个内角的和等于90°.知3－讲1　(2016·苏州)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为(　　)
A．58°
B．42°
C．32°
D．28°知3－练2　(2015·襄阳)如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为(　　)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°知3－练4知识点三角形按角的大小分类 知4－导议一议
(1)下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？
小颖的呢? 试着说明理由.知4－导(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
将所得结果与(1)的结果进行比较. 我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：知4－导知4－讲 任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有
一个钝角或直角，因此三角形按角分类如下：知4－讲例6 〈滨州〉在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由．引用辅助量x°，用x°表示出△ABC的三个内角，
然后在△ABC中，运用三角形的内角和构造方程，
解方程后，求出△ABC中各内角的度数，从而判断
△ABC的形状．导引：知4－讲△ABC是直角三角形．理由如下：
因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
所以可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，
3x°.
在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x°＋2x°＋3x°＝180°，解得x°＝30°.
所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
所以△ABC是直角三角形．解：判断一个三角形的形状的方法：
(1)看三角形中最大角的大小：最大角是锐角，三角形就
是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角
形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形．
(2)通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大
角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比
例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直
角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则
此三角形为锐角三角形．知4－讲1　(改编·泉州)在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 　　
B．钝角三角形
C．直角三角形 　　
D．锐角三角形或钝角三角形知4－练2　如图所示的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．以上都有可能知4－练1. 理解三角形定义必须明确“三点”：
(1)三条线段必须满足“不在同一条直线上”才能组成
三角形．
(2)特别要注意“首尾顺次相接”，如果三条线段不是
首尾顺次相接，那么形成的图形一定不是三角形．
(3)“△ABC”也可以写成“△ACB”“△BCA”等，就是说
三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，不
过通常按26个英文字母的顺序排列．2.三角形的内角和是180°.
这是在三角形内部求角的度数的重要依据.
3.三角形按角进行分类：