4.1.3 三角形的中线、角平分线 课件

课件30张PPT。第3课时 三角形的中线、
角平分线第四章 三角形4.1 认识三角形1课堂讲解三角形的中线
三角形的重心
三角形的角平分线2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.三角形的内角和是多少度？
2.三角形的三边关系的内容是什么？复习回顾1知识点三角形的中线知1－导 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形的中线(median).
如图，AE是△ABC的BC边上的中线.知1－讲1.定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线
段，叫做这个三角形的中线．
2.表达方式：(1)AD是△ABC中BC边上的中线．
(2)点D是BC边的中点．
(3)BD＝DC或BD＝ BC或DC＝ BC或BD＝DC＝ BC.
注：上述三种情况都表示AD是△ABC的中线，选用哪种
表示法，应根据解题需要合理选用．
3.易错警示：中线是线段，不要将它与线段所在直线混淆．知1－讲例1 〈动手操作题〉在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm的两部分，求三角形的各边长．因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：
(BC＋CD)和(AD＋AB)，谁为12 cm，谁为15 cm，
不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，
因此可建立方程模型，利用设未知数来求解．导引：知1－讲设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，
则x＋ x＝12，解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，CD＝4 cm.
故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.解：知1－讲(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，
则x＋ x＝15，
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，
则CD＝5 cm，
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，
所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，此三角形的三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.(1)本例中由于条件不确定，因此我们针对条件的不确定性
对图形可能出现的不同情况，运用分类讨论思想对题目
进行分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个“形”
较多，为了使解答更简便，我们将它们建立方程这个
“数”的模型；因此本例的解答过程体现了：分类讨论
思想、数学建模思想、数形结合思想、方程思想等．
(2)易错警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形
的三边关系．知1－讲知1－讲例2 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．根据等底等高的两个三角形的面
积相等，要等分三角形的面积，
只需要作出一条边上的中线即可．导引：知1－讲根据要求，平分田地的直线只能经过三
角形的顶点．画△ABC的中线AD(如图)，
则AD就把△ABC的面积平分成两份．
这是因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和△ACD
中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面
积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等，因此，要
把△ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是
一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中
线也可以)解：(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等
的两部分，即等底等高的两个三角形的面积相等；
(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，
如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等．知1－讲知1－练1　若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是(　　)
A．AB＝BC 　B．BD＝DC
C．AD平分BC 　 D．BC＝2DC
2　三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形 　
B．面积相等的三角形
C．直角三角形 　
D．周长相等的三角形知1－练3　如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝4，则S阴影为(　　)
A．2 B．1
C. D.2知识点三角形的重心 知2－导如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.
你知道怎样确定这个点的位置吗？知2－导议一议
(1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，
它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位
置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的重心！知2－导知2－讲位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该
点在三角形的内部，如图，这个点叫三角形的重心．1　已知三角形的三条中线交于一点，则下列结论：
①这一点在三角形的内部；
②这一点有可能在三角形的外部；
③这一点是三角形的重心．
其中正确的结论有________．(填序号)
2　有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的________处最恰当．知2－练3知识点三角形的角平分线知3－导 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相
交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角
平分线.如图，AD是△ABC的一条角平分线.知3－讲1.定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对
边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角
形的角平分线．
2.位置图例：任何三角形的三条角平分线交于一点，
且该点在三角形的内部，这个点叫这个三角形的内
心．如图所示.
3.表达方式：
(1)AD是△ABC的角平分线；
(2)AD平分∠BAC交BC于点D；
(3)∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC.知3－讲注：上述三种情况都表示同一意义，即AD是△ABC
的角平分线，选用哪种表示法，应根据解题需要合
理选用．
4.易错警示：角的平分线是一条射线，而三角形的角
平分线是一条线段，不要混淆．知3－讲例3 关于三角形的角平分线，下列说法正确的是(　　)
A．是线段　　　　　
B．是射线
C．是直线
D．可以是射线或线段三角形的角平分线是一条线段，故选A.导引：A 三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个
概念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分
线是一条射线；一个三角形的角平分线有三条，一
个角的平分线只有一条；在三角形中，三角形的角
平分线是三角形的内角平分线上的一部分．本题易
因混淆概念而错选D.知3－讲知3－讲例4 如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(　　)
A．20°　 B．30° C．45° D．60°因为AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
所以∠BAD＝40°.
又因为AE平分∠BAD，
所以∠EAD＝20°.导引：A 三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的
两部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数
时起着关键作用．知3－讲1　下列说法中正确的是(　　)
A．三角形的角平分线和中线都是线段
B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段
D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线知3－练2　如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠D等于(　　)
A．120° B．130°
C．115° D．110°知3－练1.三角形的中线
(1)定义：三角形的中线是一条线段.
(2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形
的重心.
(3)面积法是一种常用的、重要的数学解题思想方法，
它利用同一图形面积相等、等底等高的三角形面积
相等、三角形中线分三角形为面积相等的两部分、
分割后的各图形面积之和等于原图形的面积等解决
有关数学问题．2.三角形的角平分线
(1)定义：三角形的角平分线是一条线段.
(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角
形的内心.