5.3.1 等腰三角形的性质 课件

课件37张PPT。第1课时 等腰三角形
的性质第五章 生活中的轴对称5.3 简单的轴对称图形1课堂讲解等腰三角形的对称性
等腰三角形的“三线合一”性质
等腰三角形的边、角性质
等边三角形的性质2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升什么样的三角形是等腰三角形？它有哪些特征？复习回顾1知识点等腰三角形的对称性 知1－导等腰三角形是生活中常见的图形.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗？
如果是，请找出它的对称轴.
(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？
底边上的高所在的直线呢？
(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？
说说你的理由. 等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在的直线都
是等腰三角形的对称轴.
等腰三角形的两个底角相等.知1－导知1－讲性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底
边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．知1－练1　(中考·咸宁)如图，在下列学习用具中，不是轴对称图形的是(　　)知1－练2　如图，已知四个图形分别是等边三角形、等腰梯形、正方形、圆，它们全是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是(　　)2知识点等腰三角形的“三线合一”性质 知2－讲性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、
底边上的高重合(简写成“三线合一”)．
要点精析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，
在应用过程中，在三角形是等腰三角形的前提下，
“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高”只
要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．
(2)作用：是说明线段相等、角相等、垂直等关系的重
要方法，应用广泛．知2－讲(3)应用格式：
如图，在△ABC中，
①因为AB＝AC，AD⊥BC，
所以AD平分∠BAC(或BD＝CD)．
②因为AB＝AC，BD＝DC，
所以AD⊥BC(或AD平分∠BAC)．
③因为AB＝AC，AD平分∠BAC，
所以BD＝DC(或AD⊥BC)．知2－讲例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中
线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)试说明：EF＝ED.知2－讲(1)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，
所以∠BAD＝∠CAD.
所以∠BAC＝2∠BAD＝50°.
因为AB＝AC，所以∠C＝∠ABC ＝ (180°－
∠BAC)＝ (180°－50°)＝65°.
(2)因为AB＝AC，AD是BC边上的中线，所以ED⊥BC，
又因为BG平分∠ABC，EF⊥AB，
所以EF＝ED.解：(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是说明角相等、
线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为
题目的说明或计算所求结果大多都是单一的，所以
“三线合一”性质的应用也是单一的，一般得出一
个结论，因此应用要灵活．
(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用
“三线合一”是等腰三角形中常用的方法．知2－讲知2－讲例2 如图，AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M. 试说明：CM＝MD.由已知AM⊥CD和结论
CM＝MD，联想到等腰
三角形“三线合一”的
性质，由此连接AC，AD
构造等腰三角形．导引：知2－讲如图，连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS)．
所以AC＝AD.
又因为AM⊥CD，
所以CM＝MD.解： 对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图
形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据
解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形作“三线
合一”的基本图形，则需巧作辅助线，
下面就如下几种图形说明巧作辅助线
的方法：
1.如图甲的情形，需作底边上的高；知2－讲知2－讲2.如图乙的情形，需作顶角平分线；
3.如图丙的情形，需作中线；
4.如图丁的情形，需连接AD并延长再说明其是“三
线”即可．1　(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D
为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数
为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°知2－练2　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：
①∠BAD＝∠CAD；
②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；
③BD＝CD；
④若点P在直线AD上，则PB＝PC.
其中正确的是(　　)
A．①　　 B．①②　　
C．①②③　　D．①②③④知2－练3　如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
若BC＝6，AD＝5，则图中阴影部分的面积为
(　　)
A．30
B．15
C．7.5
D．6知2－练3知识点等腰三角形的边、角性质知3－讲性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对
等角”)．
要点精析：
(1)适用条件：必须在同一个三角形中．
(2)应用格式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B
＝∠C.
(3)作用：它是说明角相等常用的方法，它的应用可省
去对三角形全等的说明，因而更简便．知3－讲例3 〈毕节，易错题〉已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为(　　)
A．16　　　 B．20或16　　　
C．20　　　 D．12B.
错解分析：本题错在没有对结果进行验证．
当腰长为4时，两边之和为4＋4＝8，不大于第三
边，不能构成三角形，应该把腰长为4的情况舍
去．周长应为8＋8＋4＝20.错误答案：C知3－讲例4 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运
用三角形的内角和为180°与等腰三角形的两底
角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角
不确定，则要分两种情况求解．导引：知3－讲(1)因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.
当顶角为70°时，底角为
因此顶角为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为
若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，
不符合三角形内角和为180°.
因此顶角为90°.解：(1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定
为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的
内角和为180°求解；若没有指出所给的角是顶角
还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三
角形内角和为180°.
(2)若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则
此角必为顶角．知3－讲1　(2015·湘西州)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为
(　　)
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°知3－练2　(2016·枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE
的平分线交于点D，则∠D的度数为(　　)
A．15°
B．17.5°
C．20°
D．22.5°知3－练4知识点等边三角形的性质知4－导想一想
(1)等边三角形有几条对称轴?
(2)你能发现它的哪些特征？知4－讲1.等边三角形的三条边都相等；
2.等边三角形的内角都相等,且等于 60 °;
3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称；
4.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线
都三线合一. 知4－讲例5 如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.连接MN.
试说明：(1)△ACM≌△DCN；(2)MN∥AB.知4－讲(1)因为△ACD和△BCE都是等边三角形，
所以AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°.
因为∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，
所以∠DCE＝60°.
所以∠ACE＝∠DCB＝120°.
所以△ACE≌△DCB(SAS)．
所以∠EAC＝∠BDC.
又因为AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，
所以△ACM≌△DCN(ASA)．解：知4－讲(2)由(1)知△ACM≌△DCN，
所以CM＝CN.
又因为∠MCN＝60°，
所以∠NMC＝∠MNC＝60°.
所以∠NMC＝∠ACM.
所以MN∥AB.1　如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于(　　)
A．20°
B．30°
C．35°
D．40°知4－练2　如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：
①AD⊥BC；
②EF＝FD；
③BE＝BD.
其中正确结论的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0知4－练3　(中考·葫芦岛)三个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝________．知4－练1.等腰三角形的性质总结：
(1)性质1：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或
底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对
称轴．
(2)性质2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、
底边上的高重合(简写成“三线合一”)．
(3)性质3：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边
对等角”)．2.等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三条边都相等；
(2)等边三角形的内角都相等,且等于 60 °;
(3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称；
(4)等边三角形各边上中线，高和所对角的平分线
都三线合一.