江苏省南京市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=　　．
2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为　　．
3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为　　．
4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=　　．
5．若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为　　．
6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为　　cm2．
7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为　　．
8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为　　．
9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为　　．
10．函数f（x）=2x+a 2﹣x是偶函数，则a的值为　　_．
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若 =﹣2，则 的值为　　
12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为　　．
13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为　　．
14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为　　．
　
二、解答题（共6题，90分）
15．已知=2．
（1）求tanα；
（2）求cos（﹣α） cos（﹣π+α）的值．
16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．
（1）求（+） （2﹣）的值；
（2）求向量与+的夹角．
17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．
（1）试写出V（x）的解析式；
（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．
19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．
①当λ=时，求 ；
②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．
①若a=，求函数y=F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．
（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．
　
2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=　{0，1，2}　．
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，
B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，
∴A∩B={0，1，2}．
故答案为：{0，1，2}．
　
2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为　{x|x＜1}　．
【考点】对数函数的定义域．
【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．
【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义
则1﹣x＞0即x＜1
∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}
故答案为：{x|x＜1}
　
3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为　　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，
故答案为：．
　
4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=　　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为
r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=
求出结果．
【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为
r=13，
由任意角的三角函数的定义得
cosα==﹣．
故答案为﹣．
　
5．若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为　　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数y=xa的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．
【解答】解：幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），
所以4a=2，
解得a=．
故答案为：．
　
6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为　9　cm2．
【考点】扇形面积公式．
【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，
所以：圆的半径为：3，
所以：扇形的面积为：
6×3=9．
故答案为：9．
　
7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为　﹣　．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．
【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，
∴，
∴λk=1，λ=﹣4，
∴，
故答案为﹣．
　
8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为　5　．
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．
【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：
由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，
所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．
故答案为：5．
　
9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为　c＜a＜b　．
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，
∴c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
　
10．函数f（x）=2x+a 2﹣x是偶函数，则a的值为　1　_．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）=2x+a 2﹣x是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即f（﹣x）=2﹣x+a 2x=2x+a 2﹣x，
则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），
即a=1，
故答案为：1
　
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若 =﹣2，则 的值为　3　
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．
【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，
则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）
可得：
=（a，2a），=（2a，﹣2a）．
若 =﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，
=（﹣1，2），=（1，2），
则 的值：﹣1+4=3．
故答案为：3．
　
12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为　2　．
【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．
【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．
【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，
f=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，
点P是该函数图象上一点，
可得21+a=8，解得a=2．
故答案为：2．
　
13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为　0＜x＜3或x＞3　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．
【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减
∵f（1）＞f（log3x）
∴1＜|log3x|，
∴0＜x＜3或x＞3，
∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，
故答案为0＜x＜3或x＞3．
　
14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为　（0，）　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．
【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，
可得f（x+1）=，
作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），
由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，
只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，
由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得
2m=1﹣2m，解得m=，
通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．
故答案为：（0，）．
　
二、解答题（共6题，90分）
15．已知=2．
（1）求tanα；
（2）求cos（﹣α） cos（﹣π+α）的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．
（2）cos（﹣α） cos（﹣π+α）=sinα （﹣cosα）===﹣．
　
16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．
（1）求（+） （2﹣）的值；
（2）求向量与+的夹角．
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．
（2）利用数量积求解向量的夹角即可．
【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．
（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．
所以（+） （2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．
（2）+=（1，﹣3），
cos＜，
+＞===﹣．
向量与+的夹角为135°．
　
17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．
（1）试写出V（x）的解析式；
（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；
（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．
【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；
（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，
∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．
　
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．
（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．
【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，
=π，
∴ω=2．
∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ω=，
∴f（x）=2sin（2x+）．
（2）∵x∈[﹣，0]，
∴2x+∈[﹣，]，
∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，
得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），
∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，
可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，
∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，
∴，
∴解得：，k∈Z，
∵0＜θ＜，
∴当k=0时，θ∈[，]．
　
19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．
①当λ=时，求 ；
②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；
（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；
②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，
求出 =0时的λ值即可．
【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，
由余弦定理得，
AB2=CA2+CB2﹣2CA CB cos∠ACB
=12+22﹣2×1×2×cos60°
=3，
∴AB=，即||=；
（2）①λ=时，
=，
=，
∴D、E分别是BC，AB的中点，
∴=+=+，
=（+），
∴ =（+） （+）
= + + +
=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22
=；
②假设存在非零实数λ，使得⊥，
由=λ，得=λ（﹣），
∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；
又=λ，
∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；
∴ =λ（1﹣λ）﹣λ +（1﹣λ）2 ﹣（1﹣λ）
=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）
=﹣3λ2+2λ=0，
解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；
即存在非零实数λ=，使得⊥．
　
20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．
①若a=，求函数y=F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．
（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．
【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．
①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．
（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立 h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，
①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：
|x|=x﹣，
当x≥0时，解得：x=1；
当x＜0时，解得：x=（舍去）；
综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；
②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，
当a＞0时，作图如下：
由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；
同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；
又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；
综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，
∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；
当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；
又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，
则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，
①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；
h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；
∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，
∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，
∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，
综上，﹣2≤a≤﹣1；
②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，
且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，
∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，
由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；
③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减
（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；
∴h（x）min=h（0）=﹣a；
又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），
∴h（x）max=h（2）=2+a，
∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，
∴1≤a≤2；
综上所述，﹣2≤a≤2．
　
2017年2月21日