3.1 多项式的因式分解 同步练习
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3.1 多项式的因式分解
核心笔记: 因式分解:一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式,称为把这个多项式因式分解.21·cn·jy·com
基础训练
1.下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.(x-1)(x-2)=x2-3x+2
B.x2-3x+2=(x-1)(x-2)
C.x2+4x+4=x(x-4)+4
D.x2+y2=(x+y)(x-y)
2.下列因式分解正确的是( )
A.2x2-2=2(x+1)(x-1)
B.x2+2x-1=(x-1)2
C.x2+1=(x+1)2
D.x2-x+2=x(x-1)+2
3.36和120的最大公因数是( )
A.4 B.6 C.12 D.18
4.下列各式中,可以作为因式分解的最后结果的是( )
A.a(x2+y2)+2axy
B.(2m-n)[m-(2m-n)]
C.(x2+y2+xy)(x2+y2-xy)
D.a2
5.已知(x-2)(x-5)=x2-7x+10,则x2-7x+10因式分解的结果为_______________.?【来源：21·世纪·教育·网】
6.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成1个正方形(如图所示),从而可得到a2+b2+2ab因式分解的结果为 .?21·世纪*教育网
7.判断下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是,并简要说明理由.
(1)4a2-4a+1=4a(a-1)+1;
(2)x2-4y2=(x+4y)(x-4y);
(3)x2-4x+3=(x-1)(x-3);
(4)(x-3)(x+2)=x2-x-6.
培优提升
1.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A.a2+4a-21=a(a+4)-21
B.a2+4a-21=(a-3)(a+7)
C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21
D.a2+4a-21=(a+2)2-25
2.下列变形正确的是( )
A.-x2+(-2)2=(x-2)(x+2)
B.x2+2x-1=(x-1)2
C.4x2-4x+1=(2x-1)2
D.x2-4x=x(x+2)(x-2)
3.多项式x2+x-2分解因式为(x+a)(x+b),则ab的值是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.已知-(4m+3n)(4m-3n)是下列某一个多项式因式分解的结果,那么这个多项式是( )
A.16m2-9n2 B.16m2+9n2
C.9n2-16m2 D.-9n2-16m2
5.请你写一个多项式,使它能因式分解,你写的多项式是 ,因式分解的结果是 .?
6.如图,各块图形的面积之和为a2+3ab+2b2,则a2+3ab+2b2因式分解的结果为 .?21世纪教育网版权所有
7.多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则
m= ,n= .?
8.下列各式从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?
(1)m(a+b)=ma+mb;
(2)a2+2ab+b2-1=a(a+2b)+(b+1)(b-1);
(3)xa2-9x=x(a+3)(a-3);
(4)m2-n2-4=(m+n)(m-n)-4;
(5)x2-4x+6=(x-5)(x+1)+11;
(6)x2+1=x.
9.观察下列计算:
22-12=(2-1)×(2+1)=2+1;
32-22=(3-2)×(3+2)=3+2;
42-32=(4-3)×(4+3)=4+3;….
(1)可以发现:52-42= = ;?
(2)请计算2 0152-2 0142的结果;
(3)写出你发现的规律.
10.阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n),即
x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,
所以解得
所以另一个因式为x-7,m的值为-21.
结合上述解法,解答下列问题:
(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则
a=_____________;?
(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),则
b=___________;?
(3)已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
解：根据因式分解的概念,A,C的等号右边都不是乘积形式,所以A,C错误;根据平方差公式:(x+y)(x-y)=x2-y2,所以D错误.故选B.
2.【答案】A
3.【答案】C
解：36=2×2×3×3,120=2×2×2×3×5,最大公因数是2×2×3=12.
4.【答案】C
解：A.不是积的形式;B.因式[m-(2m-n)]能够化简;C.都不能再化简,正确;D.不是整式积的形式.www.21-cn-jy.com
5.【答案】(x-2)(x-5)
解：因式分解和整式的乘法互为逆运算.因式分解即把一个多项式化成几个整式的积的形式.因为(x-2)(x-5)=x2-7x+10,所以x2-7x+10=(x-2)(x-5).2·1·c·n·j·y
6.【答案】(a+b)2
解： 本题运用了数形结合思想,由大正方形的面积=2个小正方形的面积+2个长方形的面积,得出大正方形的面积为(a+b)2.
7.解:(1)不是.理由:因为4a(a-1)+1不是几个多项式乘积的形式.
(2)不是.理由:不是恒等变形.
(3)是.理由:因为从左边到右边是把多项式x2-4x+3表示成了多项式x-1与多项式x-3的积的形式.21教育网
(4)不是.理由:因为x2-x-6不是几个多项式乘积的形式.
【培优提升】
1.【答案】B 2.【答案】C
3.【答案】D
解：x2+x-2=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以ab=-2.
4.【答案】C
解：因为
-(4m+3n)(4m-3n)=(-4m-3n)(4m-3n)=(-3n-4m)(-3n+4m)=(-3n)2-(4m)2=9n2-16m2,所以选C.21cnjy.com
5.【答案】x2-1;(x+1)(x-1)
解：答案不唯一.
6.【答案】(a+b)(a+2b)
解：题图中整个图形的面积为(a+2b)(a+b),由题意可知,a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b). 本题运用了数形结合思想.
7.【答案】6;1
解：因为(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n,
所以x2+mx+5=x2+(n+5)x+5n.
所以解得
8.解:只有(3)是因式分解,其余均不是.
9.解:(1)(5-4)×(5+4);5+4
(2)2 0152-2 0142=(2 015-2 014)×(2 015+2 014)=4 029.
(3)(n+1)2-n2=2n+1(n为正整数).
10.解:(1)-3 (2)9
(3)设另一个因式为x+a,则2x2+5x-k=(2x-3)(x+a)=2x2+(2a-3)x-3a,
所以解得所以另一个因式为x+4,k的值为12.
核心笔记: 因式分解:一般地,把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式,称为把这个多项式因式分解.21·cn·jy·com
基础训练
1.下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A.(x-1)(x-2)=x2-3x+2
B.x2-3x+2=(x-1)(x-2)
C.x2+4x+4=x(x-4)+4
D.x2+y2=(x+y)(x-y)
2.下列因式分解正确的是( )
A.2x2-2=2(x+1)(x-1)
B.x2+2x-1=(x-1)2
C.x2+1=(x+1)2
D.x2-x+2=x(x-1)+2
3.36和120的最大公因数是( )
A.4 B.6 C.12 D.18
4.下列各式中,可以作为因式分解的最后结果的是( )
A.a(x2+y2)+2axy
B.(2m-n)[m-(2m-n)]
C.(x2+y2+xy)(x2+y2-xy)
D.a2
5.已知(x-2)(x-5)=x2-7x+10,则x2-7x+10因式分解的结果为_______________.?【来源：21·世纪·教育·网】
6.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成1个正方形(如图所示),从而可得到a2+b2+2ab因式分解的结果为 .?21·世纪*教育网
7.判断下列各式由左边到右边的变形,哪些是因式分解,哪些不是,并简要说明理由.
(1)4a2-4a+1=4a(a-1)+1;
(2)x2-4y2=(x+4y)(x-4y);
(3)x2-4x+3=(x-1)(x-3);
(4)(x-3)(x+2)=x2-x-6.
培优提升
1.下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A.a2+4a-21=a(a+4)-21
B.a2+4a-21=(a-3)(a+7)
C.(a-3)(a+7)=a2+4a-21
D.a2+4a-21=(a+2)2-25
2.下列变形正确的是( )
A.-x2+(-2)2=(x-2)(x+2)
B.x2+2x-1=(x-1)2
C.4x2-4x+1=(2x-1)2
D.x2-4x=x(x+2)(x-2)
3.多项式x2+x-2分解因式为(x+a)(x+b),则ab的值是( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4.已知-(4m+3n)(4m-3n)是下列某一个多项式因式分解的结果,那么这个多项式是( )
A.16m2-9n2 B.16m2+9n2
C.9n2-16m2 D.-9n2-16m2
5.请你写一个多项式,使它能因式分解,你写的多项式是 ,因式分解的结果是 .?
6.如图,各块图形的面积之和为a2+3ab+2b2,则a2+3ab+2b2因式分解的结果为 .?21世纪教育网版权所有
7.多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则
m= ,n= .?
8.下列各式从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?
(1)m(a+b)=ma+mb;
(2)a2+2ab+b2-1=a(a+2b)+(b+1)(b-1);
(3)xa2-9x=x(a+3)(a-3);
(4)m2-n2-4=(m+n)(m-n)-4;
(5)x2-4x+6=(x-5)(x+1)+11;
(6)x2+1=x.
9.观察下列计算:
22-12=(2-1)×(2+1)=2+1;
32-22=(3-2)×(3+2)=3+2;
42-32=(4-3)×(4+3)=4+3;….
(1)可以发现:52-42= = ;?
(2)请计算2 0152-2 0142的结果;
(3)写出你发现的规律.
10.阅读下面例题,解答问题:
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)(x+n),即
x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n,
所以解得
所以另一个因式为x-7,m的值为-21.
结合上述解法,解答下列问题:
(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)(x+a),则
a=_____________;?
(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)(x+5),则
b=___________;?
(3)已知二次三项式2x2+5x-k有一个因式是2x-3,求另一个因式以及k的值.
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
解：根据因式分解的概念,A,C的等号右边都不是乘积形式,所以A,C错误;根据平方差公式:(x+y)(x-y)=x2-y2,所以D错误.故选B.
2.【答案】A
3.【答案】C
解：36=2×2×3×3,120=2×2×2×3×5,最大公因数是2×2×3=12.
4.【答案】C
解：A.不是积的形式;B.因式[m-(2m-n)]能够化简;C.都不能再化简,正确;D.不是整式积的形式.www.21-cn-jy.com
5.【答案】(x-2)(x-5)
解：因式分解和整式的乘法互为逆运算.因式分解即把一个多项式化成几个整式的积的形式.因为(x-2)(x-5)=x2-7x+10,所以x2-7x+10=(x-2)(x-5).2·1·c·n·j·y
6.【答案】(a+b)2
解： 本题运用了数形结合思想,由大正方形的面积=2个小正方形的面积+2个长方形的面积,得出大正方形的面积为(a+b)2.
7.解:(1)不是.理由:因为4a(a-1)+1不是几个多项式乘积的形式.
(2)不是.理由:不是恒等变形.
(3)是.理由:因为从左边到右边是把多项式x2-4x+3表示成了多项式x-1与多项式x-3的积的形式.21教育网
(4)不是.理由:因为x2-x-6不是几个多项式乘积的形式.
【培优提升】
1.【答案】B 2.【答案】C
3.【答案】D
解：x2+x-2=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以ab=-2.
4.【答案】C
解：因为
-(4m+3n)(4m-3n)=(-4m-3n)(4m-3n)=(-3n-4m)(-3n+4m)=(-3n)2-(4m)2=9n2-16m2,所以选C.21cnjy.com
5.【答案】x2-1;(x+1)(x-1)
解：答案不唯一.
6.【答案】(a+b)(a+2b)
解：题图中整个图形的面积为(a+2b)(a+b),由题意可知,a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b). 本题运用了数形结合思想.
7.【答案】6;1
解：因为(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n,
所以x2+mx+5=x2+(n+5)x+5n.
所以解得
8.解:只有(3)是因式分解,其余均不是.
9.解:(1)(5-4)×(5+4);5+4
(2)2 0152-2 0142=(2 015-2 014)×(2 015+2 014)=4 029.
(3)(n+1)2-n2=2n+1(n为正整数).
10.解:(1)-3 (2)9
(3)设另一个因式为x+a,则2x2+5x-k=(2x-3)(x+a)=2x2+(2a-3)x-3a,
所以解得所以另一个因式为x+4,k的值为12.