3.3.2完全平方公式法 同步练习
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3.3.2完全平方公式法
核心笔记: 1.完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
2.完全平方公式法分解因式:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.当2倍乘积项符号为正时,右边是两个平方项底数和的平方,否则为差的平方.21cnjy.com
基础训练
1.(3x+2y)2=(3x-2y)2+A,则代数式A是( )
A.-12xy B.12xy C.24xy D.-24xy
2.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
3.若x2-2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )
A.-1 B.7
C.7或-7 D.7或-1
4.多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个完全平方式,你添加的单项式是_____________.(写出一个即可)?21世纪教育网版权所有
5.因式分解:x3-6x2+9x=_____________.?
6.若x2+mx+1=(x+n)2,且m>0,则n的值是_____________.?
7.分解因式:
(1)x2-ax+a2;
(2)(a+b)2+6(a+b)+9;
(3)2a3-4a2b+2ab2.
8.已知a=2 015,b=2 014,求(a2+b2-2ab)-(6a-6b)+9的值.
培优提升
1.把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y)
C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
2.下列因式分解正确的是( )
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)
B.x2-x+=
C.x2-2x+4=(x-2)2
D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
3.若x=2 014,y=2 015,则x2-2xy+y2的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.4 029
4.当m+n=3时,式子m2+2mn+n2的值为______________.?
5.若x-y=9,xy=8,则x2+y2=______________.?
6.因式分解:-x3+2x2-x=______________.?
7.把下列各式因式分解:
(1)a2+ab+b2;
(2)(x2+y2)2-4x2y2.
8.已知a2-4a+4+9b2+6b+1=0,求a,b的值.
9.一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方,则称自然数a为完全平方数(如64=82,64就是一个完全平方数).若a=2 0152+2 0152×2 0162+2 0162,试说明:a是一个完全平方数.21·cn·jy·com
参考答案
【课堂集训】
1.【答案】C 解：(3x+2y)2=9x2+12xy+4y2,(3x-2y)2=9x2-12xy+4y2.
2.【答案】D
3.【答案】D
解： 本题运用了分类讨论思想,解答此题时注意有完全平方差和完全平方和两种情况,故依题意,得m-3=±4,解得m=7或-1.
4.【答案】4x
解：答案不唯一.
5.【答案】x(x-3)2
6.【答案】1
解：因为x2+mx+1=(x±1)2=(x+n)2,
所以m=±2,n=±1.
因为m>0,所以m=2.所以n=1.
7.解:(1)原式=.
(2)原式=(a+b)2+6(a+b)+32=(a+b+3)2.
(3)原式=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.
8.解:(a2+b2-2ab)-(6a-6b)+9
=(a-b)2-6(a-b)+9
=(a-b-3)2
=(2 015-2 014-3)2
=4.
【培优提升】
1.【答案】C
解：x2y-2y2x+y3=y(x2-2yx+y2)=y(x-y)2.
2.【答案】B
3.【答案】B
解：x2-2xy+y2=(x-y)2.
4.【答案】9
解：m2+2mn+n2=(m+n)2=9.
5.【答案】97
解：x2+y2=(x-y)2+2xy=97.
6.【答案】-x(x-1)2
7.解:(1)a2+ab+b2=+2×a·b+=.
(2)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2.
8.解:由完全平方公式可将原式化为:(a-2)2+(3b+1)2=0,所以
a-2=0,3b+1=0,所以a=2,b=-.
9.解:a=2 0152+2 0152×2 0162+2 0162=(2 015×2 016)2+2 0152+2 0162=(2 015×2 016)2+2 0152+(2 015+1)2=(2 015×2 016)2+2×2 0152+2×2 015+1=(2 015×2 016)2+2×2 015×(2 015+1)+1=(2 015×2 016)2+2×2 015×2 016+1=(2 015×2 016+1)2.21教育网
故a是一个完全平方数.
核心笔记: 1.完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
2.完全平方公式法分解因式:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.当2倍乘积项符号为正时,右边是两个平方项底数和的平方,否则为差的平方.21cnjy.com
基础训练
1.(3x+2y)2=(3x-2y)2+A,则代数式A是( )
A.-12xy B.12xy C.24xy D.-24xy
2.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
3.若x2-2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于( )
A.-1 B.7
C.7或-7 D.7或-1
4.多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个完全平方式,你添加的单项式是_____________.(写出一个即可)?21世纪教育网版权所有
5.因式分解:x3-6x2+9x=_____________.?
6.若x2+mx+1=(x+n)2,且m>0,则n的值是_____________.?
7.分解因式:
(1)x2-ax+a2;
(2)(a+b)2+6(a+b)+9;
(3)2a3-4a2b+2ab2.
8.已知a=2 015,b=2 014,求(a2+b2-2ab)-(6a-6b)+9的值.
培优提升
1.把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y)
C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
2.下列因式分解正确的是( )
A.a4b-6a3b+9a2b=a2b(a2-6a+9)
B.x2-x+=
C.x2-2x+4=(x-2)2
D.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
3.若x=2 014,y=2 015,则x2-2xy+y2的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.4 029
4.当m+n=3时,式子m2+2mn+n2的值为______________.?
5.若x-y=9,xy=8,则x2+y2=______________.?
6.因式分解:-x3+2x2-x=______________.?
7.把下列各式因式分解:
(1)a2+ab+b2;
(2)(x2+y2)2-4x2y2.
8.已知a2-4a+4+9b2+6b+1=0,求a,b的值.
9.一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方,则称自然数a为完全平方数(如64=82,64就是一个完全平方数).若a=2 0152+2 0152×2 0162+2 0162,试说明:a是一个完全平方数.21·cn·jy·com
参考答案
【课堂集训】
1.【答案】C 解：(3x+2y)2=9x2+12xy+4y2,(3x-2y)2=9x2-12xy+4y2.
2.【答案】D
3.【答案】D
解： 本题运用了分类讨论思想,解答此题时注意有完全平方差和完全平方和两种情况,故依题意,得m-3=±4,解得m=7或-1.
4.【答案】4x
解：答案不唯一.
5.【答案】x(x-3)2
6.【答案】1
解：因为x2+mx+1=(x±1)2=(x+n)2,
所以m=±2,n=±1.
因为m>0,所以m=2.所以n=1.
7.解:(1)原式=.
(2)原式=(a+b)2+6(a+b)+32=(a+b+3)2.
(3)原式=2a(a2-2ab+b2)=2a(a-b)2.
8.解:(a2+b2-2ab)-(6a-6b)+9
=(a-b)2-6(a-b)+9
=(a-b-3)2
=(2 015-2 014-3)2
=4.
【培优提升】
1.【答案】C
解：x2y-2y2x+y3=y(x2-2yx+y2)=y(x-y)2.
2.【答案】B
3.【答案】B
解：x2-2xy+y2=(x-y)2.
4.【答案】9
解：m2+2mn+n2=(m+n)2=9.
5.【答案】97
解：x2+y2=(x-y)2+2xy=97.
6.【答案】-x(x-1)2
7.解:(1)a2+ab+b2=+2×a·b+=.
(2)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2.
8.解:由完全平方公式可将原式化为:(a-2)2+(3b+1)2=0,所以
a-2=0,3b+1=0,所以a=2,b=-.
9.解:a=2 0152+2 0152×2 0162+2 0162=(2 015×2 016)2+2 0152+2 0162=(2 015×2 016)2+2 0152+(2 015+1)2=(2 015×2 016)2+2×2 0152+2×2 015+1=(2 015×2 016)2+2×2 015×(2 015+1)+1=(2 015×2 016)2+2×2 015×2 016+1=(2 015×2 016+1)2.21教育网
故a是一个完全平方数.