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第六章 实数
6.1.2 平方根
1、判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求出它们的算术平方根.
-36 , 0.09 , , 0 , .
只有非负数才有算术平方根,算术平方根是非负的.
-36没有算术平方根.
2、2的算术平方根怎么求呢？
复习导入
能否用两个面积为1的小正方形(如下图)拼成一个面积为2的大正方形
1
1
1
1
动手操作试一试！
探究新知
把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形.
拼成的这个面积是2的正方形的边长为多少呢
解: 设大正方形的边长为x ，
则x2=2
由算术平方根的定义，得．
所以大正方形的边长为
探究新知
观察图形，小正方形的对角线长多少？
小正方形的对角线的长就是大正方形的边长
探究新知
讨论的大小
是整数吗？如果不是，你知道在哪两个相邻整数范围内吗？
因为所以
能够使的取值范围更加精确吗？
探究新知
解：
探究新知
你以前见过这种数吗？
小数位数无限,且小数部分不循环
是一个无限不循环小数
的小数位无限且小数部分不循环，像这样的数我们称为无限不循环小数。
探究新知
无限不循环小数是_________________________________________
____________的小数.
实际上，许多正有理数的算术平方根（例如____，____，____等）都是无限不循环小数.
小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复，或
者说没有规律
归纳：
探究新知
解：(1) 依次按键 3136
显示：56．
∴ ．
(2) 依次按键 2
显示：1.414213562．
∴ ．
用计算器求算术平方根
例2、用计算器求下列各式的值：
(1) (2)(精确到0.001)
探究新知
用计算器求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)(精确到0.01)
解：（1）依次按键9801=，显示：99.所以
（2）依次按键77.0884=，显示：8.78.所以
（3）依次按键11=，显示：3.316624790355. 所以
牛刀小试
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
当被开方数每扩大(或缩小)100倍，1000倍，……
其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍，100倍，……
总结：
探究新知
用计算器计算(精确到0.001)，并用刚才得到的规律说出，，的近似值。
由
你能否根据的值说出是多少？
因为被开方数30和3不符合上面的规律，所以无法由的值说出是多少。
牛刀小试
例3、试比较下列各组数的大小
(1)4与 (2)与6
解:(1) ∵
∵16>15
∴4>
例题讲解
(2) ∵，
∴
∴
比较下列各组数的大小
(1)5与； (2)与1.5
解:(1) ∵
∴4>
(2) ∵
∴>1.5
牛刀小试
例4、小丽想用一块面积为400 cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
(1)你能将这个问题转化为数学问题吗？
(2)如何求出长方形的长和宽？
(3)长方形的长和宽与正方形的边长之间大小关系是什么？
例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3xcm和2xcm，则有3x·2x=300,
因此长方形纸片的长为.
因为50>49，得所以比原正方形的边长更长，这是不可能的。所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片。
C
0.4472
随堂练习
随堂练习
解：设小铁球的半径是rcm，
则有πr3×8=×123，r=6，
∴小铁球的半径是6cm．
5、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V= R3）
随堂练习
1、已知：的值
解：∵
∴x=±8
∵
∴x=-8
拓展延伸
∴
2、若x、y为实数，y<，化简
解：∵和都有意义
∴x-1=0，1-x=0
∴x=1
∵y<
∴y<
∴
拓展延伸
1、无限不循环小数是____________________
______________________________________的小数.
2、当被开方数的小数点向右移动2位时，算术平方根的小数点只向_____移动____位；
当被开方数的小数点向左移动2位时，算术平方根的小数点只向_____移动_____位.
小数点后有无限个数位,
但没有周期性的重复，或者说没有规律
右
1
左
1
3、举例说明如何估算算术平方根的大小．
课堂小结6.1.2 平方根
教学目标
1、会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.【来源：21·世纪·教育·网】
2、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
3、通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。www-2-1-cnjy-com
重点、难点
重点: 会比较两个数的算术平方根的大小.
难点: 会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识
教学过程
情景导入
1．什么是算术平方根？
2．判断下列各数有没有算术平方根？如果有，请求出它们的算术平方根.
-36 , 0.09 , , 0 , .
设计意图：复习算术平方根的知识，为今天要学习的知识作了铺垫，而且通过复习让学生从中去发现、探究、进一步认识算术平方根。2-1-c-n-j-y
二、探究新知
1、请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形．21*cnjy*com
可还有其他方法，鼓励学生探究。
问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？
大正方形的边长是，表示2的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求出它的值吗？
建议学生观察图形感受的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？
让学生思考讨论并估计大概有多大.由直观可知道大于1而小于2，那么是1点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近的1位小数是1.5，大于1.4而小于1.5…...21教育网
关于是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提出打下基础．
交流：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？
的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。2·1·c·n·j·y
设计意图：
2、用计算器求算术平方根
例1 用计算器求下列各式的值：（P71）
（1）（2）（精确到0.001）
注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利用计算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．www.21-cn-jy.com
3、探究2：:被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律.
例2:
(1)求下列各数的算术平方根.
0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000
(2)利用计算器计算下列各式的值:
……
你能找到其中的规律吗 把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说出、、的近似值(已知≈1.732),你能根据的值确定 的值吗
解:(1)∵0.0012=0.000001 ∴=0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =100021世纪教育网版权所有
从中发现被开方数在逐渐扩大,并且每次扩大100倍,其算术平方根也在逐渐扩大,但只扩大10倍,于是猜测两个正数之间如果满足b=100a,则有=10,(或者:被开方数每扩大100倍时,其算术平方根相应地扩大10倍)21cnjy.com
(2) =0.25 ≈0.79057 ≈7.9057 ≈7.9057 =25 ≈79.057 =250 ≈790.57
比较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根,同样可验证在题(1)中的规律,而与中的数开方数只扩大了10倍,它们的算术平方根之间没有规律可循.故若已知≈1.732,可知≈0.1732, ≈17.32, ≈173.2,但不能知的值.21·cn·jy·com
规律：被开方数的小数点向左（向右）移动两位，平方根的小数点相应的向左（向右）移动一位。
4、探究3试比较下列各组数的大小
(1)4与 (2)与6
解：(1) ∵
∵16>15
∴4>
(2) ∵，
∴
∴
规律：已知非负数a，b，若>，则a>b.
探究4
(1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪 【出处：21教育名师】
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,你又怎样剪 根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗
解:(1)面积为400cm2的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,使长方形纸片的面积为300cm2,则其宽为300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.
(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,则可设其两边为3x和2x,则有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故长方形纸片的长为3cm,宽为2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的边长20cm更长,这是不可能的.
通过上述两例发现利用面积大的纸片不一定能剪出面积小的纸片.
设计意图：在学生掌握了用计算器求算术平方根之后，小组展开讨论，在教学中，运用平方根的性质进行算术平方根的大小比较。【版权所有：21教育】
三、随堂练习
1．估计的大小应在( )．
A．5～6之间 B．6～7之间
C．7～8之间 D． 8～9之间
2．利用规律计算：已知，，则
3. 用计算器计算下列各式的值（精确到0.01）.
4．比较下列各组数的大小.
（1）4与； （2）与6； （3）与0.5.
5、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V= R3）21·世纪*教育网
设计意图：随堂练习可以帮助学生巩固新知，老师从学生解题过程中了解教学效果，逐步提高解决问题的能力.
四、拓展延伸
1、已知：的值.
2、若x、y为实数，y<，化简
设计意图：这个环节是巩固本课知识点，通过设置练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。21教育名师原创作品
五、课堂小结
被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？
怎样的数是无限不循环小数？
设计意图：让学生回顾整节课的学习活动中自己的学习状况，学到的知识、方法及参与程度，同时逐渐让学生明白不仅要重视结果，更要重视探索过程.【来源：21cnj*y.co*m】
六、教学反思
在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法．让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力．通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值
参考答案
随堂练习
1、C
2、0.4472
3、0.58,0.57
4、解：(1)∵42=16，，16>15；∴4>.
(2)∵，62=36, ∴6 >.
(3)0.5=，，
5、解：设小铁球的半径是rcm，
则有πr3×8=×123，r=6，
∴小铁球的半径是6cm．
拓展延伸
解：1、∵
∴x=±8
∵
∴x=-8
∴
2、解：∵和都有意义
∴x-1=0，1-x=0
∴x=1
∵y<
∴y<
∴
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