2017年人教版必修4 第二章 平面向量单元测试卷A卷
一．选择题（共12小题）
1．已知，且∥，则x的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．±16 D．±4
2．空间任意四个点A、B、C、D，则+﹣等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中不能化简为的是（ ）
A．+（+） B．（+）+（﹣） C．﹣+ D．+﹣
4．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．+和﹣ B．3﹣2和﹣6+4
C．+2和2+ D．和+
5．已知ABCDEF是正六边形，且=，=，则=（ ）
A．（﹣） B．（﹣） C．+ D．（+）
6．E，F分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若（+）⊥，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．2
8．已知=（3，0），=（﹣5，5），则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
10．已知A，B，O三点不共线，若||=|+|，则向量与的夹角为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或钝角
11．P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（ ）
A．四边形ABCD对角线交点 B．AC中点
C．BD中点 D．CD边上一点
12．在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点F，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．1
二．填空题（共4小题）
13．化简后结果等于 ．
14．如图所示，D是△ABC的AB边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．
①，②，③，④．
15．已知向量均为单位向量，且夹角为，则|2|= ．
16．已知向量=（2，﹣1），=（x，2），且⊥，则|+λ|的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
17．设两个非零向量和不共线．
（1）如果=﹣，=3+2，=﹣8﹣2，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果=+，=2﹣3，=3﹣k，且A、C、F三点共线，求k的值．
18．（Ⅰ）化简﹣+；
（Ⅱ）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．21世纪教育网版权所有
19．已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（﹣3，﹣4），B（5，﹣12），若=+，=﹣．21·世纪*教育网
（Ⅰ）求点C和点D的坐标；
（Ⅱ）求?．
20．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=
（Ⅰ）求，夹角的大小；
（Ⅱ）求|3+|的值．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
求：（1）的值；
（2）与夹角的余弦值．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．已知，且∥，则x的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．±16 D．±4
解：已知，且∥，
由向量平行的坐标运算可知：x2﹣4×4=0，
解得x=±4，
故选D
2．空间任意四个点A、B、C、D，则+﹣等于（ ）
A． B． C． D．
解：+﹣=+=．
故选D
4．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是（ ）
A．+和﹣ B．3﹣2和﹣6+4
C．+2和2+ D．和+
解：在A中，∵，是两不共线的向量，
∴+和﹣不共线，
∴+和﹣能作为平面向量的一组基底；
在B中，∵，是两不共线的向量，
∴3﹣2和﹣2（3﹣2）共线，
∴3﹣2和﹣6+4不能作为平面向量的一组基底；
在C中，∵，是两不共线的向量，
∴+2和2+不共线，
∴+2和2+为平面向量的一组基底；
在D中，∵，是两不共线的向量，
∴和+不共线，
∴和+能作为平面向量的一组基底．
故选：B．
∴==
∴=+=+
∴==（+）=（+）．
故选：D．
6． E，F分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，则+=（ ）
A． B． C． D．
解：由=+，=+，
由E，F分别为正方形ABCD的边AD和AB的中点，
∴==，==，
∴+=+++=+=（+）=，
故答案选：B．
7．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若（+）⊥，则实数a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．2
解：知向量=（1，2），=（a，﹣1），+=（1+a，1），（+）⊥，
可得：1+a+2=0，解得a=﹣3．
故选：A．
9．已知点A（﹣1，1）、B（1，2）、C（﹣2，1）、D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，1），D（3，4），
∴=（4，3），=（3，1），
∴?=4×3+3×1=15，||==10，
∴向量在方向上的投影为==，
故选：D．
10．已知A，B，O三点不共线，若||=|+|，则向量与的夹角为（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．锐角或钝角
解：，
||=|+|，||=|+|，
∴（）2=（+）2，
4=0，
向量与的夹角为，
故答案为：B．
11． P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（ ）
A．四边形ABCD对角线交点 B．AC中点
C．BD中点 D．CD边上一点
解：∵，．
又，
∴，
∴．
∴点P为线段AC的中点．
故选：B．
12．在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点F，若=λ+μ，则λ+μ=（ ）21教育网
A． B． C． D．1
解：取BF的中点G，连结DG，
∵D是BC中点，E是AD中点，CE的延长线交AB于点F，
∴=，
∴==﹣（）+=﹣，
∵=λ+μ，
∴，
∴λ+μ=﹣．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13． 化简后结果等于 ．
解：
=+++
=．
故答案为：．
14．如图所示，D是△ABC的AB边上的中点，则向量= ① （填写正确的序号）．
①，②，③，④．
解：由=+，
∵D是△ABC的AB边上的中点，
∴=，
=﹣，
∴=+=﹣+，
故答案为：①．
15．已知向量均为单位向量，且夹角为，则|2|= ．
解：由题意可得：
|2|=
=
=
=
故答案为：
16．已知向量=（2，﹣1），=（x，2），且⊥，则|+λ|的最小值为 ．
解：∵⊥，∴=0，
∴2x﹣2=0，解得x=1．
∴=（2，﹣1）+λ（1，2）=（2+λ，﹣1+2λ）．
∴|+λ|==，当且仅当λ=0时取等号．
∴|+λ|的最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
17．设两个非零向量和不共线．
（1）如果=﹣，=3+2，=﹣8﹣2，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果=+，=2﹣3，=3﹣k，且A、C、F三点共线，求k的值．
（1）证明：∵====﹣，
∴A、C、D三点共线；
（2）∵==，A、C、F三点共线，
∴存在实数λ使得，
∴3﹣k=λ（）=，
∵两个非零向量和不共线．
∴，解得k=2．
18．（Ⅰ）化简﹣+；
（Ⅱ）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为交点，若=，=，试以，为基底表示、、．21·cn·jy·com
解：（Ⅰ）﹣+=+=，
（Ⅱ），
，
∵G是△CBD的重心，
∴．
19．已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（﹣3，﹣4），B（5，﹣12），若=+，=﹣．www.21-cn-jy.com
（Ⅰ）求点C和点D的坐标；
（Ⅱ）求?．
解：（Ⅰ）∵=（﹣3，﹣4），=（5，﹣12），
∴=+=（﹣3+5，﹣4﹣12）=（2，﹣16），
=﹣=（﹣3﹣5，﹣4+12）=（﹣8，8）；
∴点C（2，﹣16），点D（﹣8，8）；
（Ⅱ）?=2×（﹣8）+（﹣16）×8=﹣144．
20．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=
（Ⅰ）求，夹角的大小；
（Ⅱ）求|3+|的值．
解：（Ⅰ）设与夹角为θ，∵向量，满足||=||=1及|3﹣2|=，
∴，∴9×1+4×1﹣12×1×1×cosθ=7，∴．
又θ∈[0，π]，∴与夹角为．
（Ⅱ）∵===．
21．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
求：（1）的值；
（2）与夹角的余弦值．
解：（1）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，CD的中点．
∴=（+）?（+）=++=++0=4．
（2）设与夹角为θ，则cosθ===．
2017年人教版必修4 第二章 平面向量单元测试卷B卷
一．选择题（共12小题）
1．已知，为非零向量，且|+|=||+||，则一定有（ ）
A．= B．∥，且，方向相同
C．=﹣ D．∥，且，方向相反
2．已知向量，不共线，=k+，=﹣，如果∥，那么（ ）
A．k=1且与同向 B．k=1且与反向
C．k=﹣1且与同向 D．k=﹣1且与反向
3．D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．长方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
5．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ）21cnjy.com
A．= B．=
C．=﹣2 D．+=
6．O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，若∥，则n的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．﹣3
8．关于平面向量，有下列四个命题：
①若，则存在λ∈R，使得；
②若，则或；
③存在不全为零的实数λ，μ使得；
④若，则．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．已知向量，则的坐标是（ ）
A．（7，1） B．（﹣7，﹣1） C．（﹣7，1） D．（7，﹣1）
10．已知点A（1，2），B（4，3），向量，则向量=（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
11．、是两个非零向量，且||=||=|﹣|，则与+的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
12．已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且=2，点F是BD上靠近D的四等分点，则（ ）2·1·c·n·j·y
A．=﹣﹣ B．=﹣
C．=﹣ D．=﹣﹣
二．填空题（共4小题）
13．已知||=2，||=2，与的夹角为45°，且λ﹣与垂直，则实数λ= ．
14．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则?= ．21世纪教育网版权所有
15．如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则= ．
16．已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角，若=（﹣3，4），=（0，2），则|×|的值为 ．21·世纪*教育网
三．解答题（共5小题）
17．如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=4AD，BC=2BE．
（Ⅰ）用向量，表示；
（Ⅱ）设AB=8，AC=5，A=60°，求线段DE的长．
18平面直角坐标系xOy中，已知向量，且．
（1）求x与y之间的关系式；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
19．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，4），B（﹣2，3），C（2，﹣1）．
（I）求?及+；
（Ⅱ）设实数t满足（﹣t）⊥，求t的值．
20．已知向量=（3，﹣1），||=，=﹣5，=x+（1﹣x）．
（Ⅰ）若，求实数x的值；
（Ⅱ）当||取最小值时，求与的夹角的余弦值．
21．已知向量，不共线，t为实数．
（Ⅰ）若=，=t，=（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；
（Ⅱ）若||=||=1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．www-2-1-cnjy-com
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．已知，为非零向量，且|+|=||+||，则一定有（ ）
A．= B．∥，且，方向相同
C．=﹣ D．∥，且，方向相反
解：∵，为非零向量，且|+|=||+||，
∴平方得||2+||2+2?=||2+||2+2||?||，
即?=||?||，
∴||?||cos＜，＞=||?||，
则cos＜，＞=1，即∥，且，方向相同，
故选：B
3． D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点．
∴
．
故选：C．
5．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
A．= B．=
C．=﹣2 D．+=
解：由三角形的重心定理可得：，，===，．
可知：A，C，D都正确，B不正确．
故选：B．
∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM=EC=BC，
∴=，
∴，
∴AD=AM=AC，=t，
∴t=．
故选：B．
7．已知向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，若∥，则n的值为（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．﹣3
解：因为向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，并且∥，
所以存在λ，使，所以，解得n=；
故选B．
8．关于平面向量，有下列四个命题：
①若，则存在λ∈R，使得；
②若，则或；
③存在不全为零的实数λ，μ使得；
④若，则．
其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
解：①根据共线向量基本定理知该命题正确；
②，∴可能cos，而；
即，且，∴该命题错误；
③当，，且，且不共线时，便不存在不全为0的实数λ，μ使得，∴该命题错误；
④若则；
∴，∴该命题正确；
∴正确的命题是①④．
故选：B．
9．已知向量，则的坐标是（ ）
A．（7，1） B．（﹣7，﹣1） C．（﹣7，1） D．（7，﹣1）
解：因为向量，则=﹣3（3，﹣1）﹣2（﹣1，2）=（﹣7，﹣1）．
故选B．
10．已知点A（1，2），B（4，3），向量，则向量=（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（5，3） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
解：∵向量=（3，1），向量，
∴向量 =﹣=（﹣2，﹣2）﹣（3，1）=（﹣5，﹣3）．
故选：A．
11．、是两个非零向量，且||=||=|﹣|，则与+的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：如图所示：设=，=，则=﹣，
以OA OB为邻边，作平行四边形OACB，则 =+，∠AOC为与+的夹角．
由||=||=|﹣|，可得△OAB 为等边三角形，故平行四边形OACB为菱形，
∴∠AOC=30°，
故选：A．
12．已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且=2，点F是BD上靠近D的四等分点，则（ ）21·cn·jy·com
A．=﹣﹣ B．=﹣
C．=﹣ D．=﹣﹣
解：∵=2，点F是BD上靠近D的四等分点，
∴=，=，
∴==+，
∵，，
∴=+
=﹣．
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．已知||=2，||=2，与的夹角为45°，且λ﹣与垂直，则实数λ= ．
解：解：∵向量λ﹣与向量垂直，
∴（λ﹣）?=0
∴λ?﹣?=0
∵||=2，||=2，与的夹角为45°
∴λ?2?2?cos45°﹣22=0
∴λ=
故答案为：．
14．已知点A是圆O：x2+y2=4上的一个定点，点B是圆O上的一个动点，若满足|+|=|﹣|，则?= 4 ．www.21-cn-jy.com
解：由|+|=|﹣|?（+）2=（﹣）2??=0，∴AO⊥BO，
∴△AOB是边长为2的等腰直角三角形，则?=||||cos45°=2×=4．
故答案为：4
15．如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则= ．
解：根据条件：
=
=
=；
∴
=
=
=．
故答案为：．
16．已知两个非零向量与，定义|×|=||||sinθ，其中θ为与的夹角，若=（﹣3，4），=（0，2），则|×|的值为 6 ．【来源：21·世纪·教育·网】
解：根据已知条件得：
，，cosθ=，∴sinθ=，∴．
故答案为：6．
三．解答题（共5小题）
17．如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=4AD，BC=2BE．
（Ⅰ）用向量，表示；
（Ⅱ）设AB=8，AC=5，A=60°，求线段DE的长．
解：（I）∵===；
（II）由（I）可得=
=
=．
∴．
18．平面直角坐标系xOy中，已知向量，且．
（1）求x与y之间的关系式；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
解（1）由题意得，，…2分
因为，
所以（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，即x+2y=0，①…4分
（2）由题意得，，…6分
因为，
所以（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，即x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，②…8分
由①②得或…10分
当时，，，
则…12分
当时，，，
则…14分
所以，四边形ABCD的面积为16
19．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（1，4），B（﹣2，3），C（2，﹣1）．
（I）求?及+；
（Ⅱ）设实数t满足（﹣t）⊥，求t的值．
解：（1）∵A（1，4），B（﹣2，3），C（2，﹣1）．
∴=（﹣3，﹣1），=（1，﹣5），=（﹣2，﹣6），
∴=﹣3×1+（﹣1）×（﹣5）=2，||==2．
（2）∵，
∴=0，
即=0，
又=﹣3×2+（﹣1）×（﹣1）=﹣5，=22+（﹣1）2=5，
∴﹣5﹣5t=0，∴t=﹣1．
20．已知向量=（3，﹣1），||=，=﹣5，=x+（1﹣x）．
（Ⅰ）若，求实数x的值；
（Ⅱ）当||取最小值时，求与的夹角的余弦值．
解：（Ⅰ）设=（m，n），
∴，
解得或，
当=（﹣1，2）时，
∴=x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣1，2）=（4x﹣1，2﹣3x），
∵，
∴3（4x﹣1）﹣（2﹣3x）=0，
解得x=，
当=（﹣2，﹣1）时，
∴=x（3，﹣1）+（1﹣x）（﹣2，﹣1）=（5x﹣2，﹣1），
∵，
∴3（5x﹣2）+1=0，
解得x=，
（Ⅱ）设与的夹角θ
由（Ⅰ）可知，当=（﹣1，2）时，=（4x﹣1，2﹣3x），
则||2=（4x﹣1）2+（2﹣3x）2=25x2﹣20x+5=25（x﹣）2+1，
当x=时，||取最小值，则||=1，=（，），
∴=﹣+=1，||=
∴cosθ==
当=（﹣2，﹣1）时，=（5x﹣2，﹣1），
则||2=（5x﹣2）2+（﹣1）2=25（x﹣）2+1，
当x=时，||取最小值，则||=1，=（0，﹣1），
∴=1，||=
∴cosθ==
21．已知向量，不共线，t为实数．
（Ⅰ）若=，=t，=（+），当t为何值时，A，B，C三点共线；
（Ⅱ）若||=||=1，且与的夹角为120°，实数x∈[﹣1，]，求|﹣x|的取值范围．21教育网
解：（Ⅰ）A，B，C三点共线，则存在实数λ，使得，
即，则…（4分）
（Ⅱ）由，则，
因为，当时，的最小值为…（5分）
当时，的最大值为…（6分）
所以的取值范围是…（8分）
