人教版选修1-1第二章 圆锥曲线单元测试卷A卷
一．选择题（共12小题）
1．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为（ ）
A．4 B． C．﹣4 D．﹣
3．过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，则|PQ|=（ ）21·cn·jy·com
A．9 B．8 C．7 D．6
4．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A．5 B．10 C．20 D．
5．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线交C于A，B且=2，则△OAB的面积为（ ）【出处：21教育名师】
A．4 B． C． D．2
7．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（ ）【版权所有：21教育】
A． B．35 C． D．40
8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
9．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x
10．已知双曲线的左焦点为F，直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）
A．12 B．24 C． D．
11．已知双曲线y2﹣=1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2=（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
12．已知双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，P是该双曲线上的点，P在该双曲线两渐近线上的射影分别是A，B，则|PA|?|PB|的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题）
13．在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果椭圆经过A，B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为 ．2-1-c-n-j-y
14．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为 ．21教育名师原创作品
15．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为 ．
16．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为 ．
三．解答题（共5小题）
17．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF2的周长；
（2）若l的倾斜角为，求弦长|AB|．
18．已知点A、B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣，21*cnjy*com
（1）求M的轨迹C的方程．
（2）若点F1（﹣，0），F2（，0），P为曲线C上的点，∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．
19．已知射线OA，OB的方程分别为y=x（x≥0），y=﹣x（x≤0），动点M、N分别在OA、OB上滑动，且MN=4．
（1）若=，求点P的轨迹C的方程；
（2）已知F1（﹣4，0），F2（4，0），请问：在曲线C上是否存在动点P满足条件?=0？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．
21．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），
∴=1，
∴p=2．
故选：B．
3．过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，则|PQ|=（ ）21*cnjy*com
A．9 B．8 C．7 D．6
解：由抛物线方程为y2=4x，可得2p=4，=1，
∴抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1．
根据抛物线的定义，得|PF|=x1+=x1+1，|QF|=x2+=x2+1，
∴|PF|+|QF|=（x1+1）+（x2+1）=（x1+x2）+2，
又∵PQ经过焦点F，且x1+x2=6，
∴|PQ|=|PF|+|QF|=（x1+x2）+2=6+2=8．
故选：B
5．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，|MA|=|OA|，∴A的纵坐标为5，
∵△ABO为等边三角形，
∴A的横坐标为，
∵点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，
∴
∴p=．
故选：C．
6． O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F的直线交C于A，B且=2，则△OAB的面积为（ ）21cnjy.com
A．4 B． C． D．2
解：∵抛物线y2=4x，∴焦点F（1，0）
设直线AB方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4． ①
∵=2，
∴y1=﹣2y2，②
联立①和②，消去y1，y2，
解得：m=，
|y1﹣y2|==3．
∵S△OAB=丨OF丨?|y1﹣y2|=，
故选C．
7．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（ ）
A． B．35 C． D．40
解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），
设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，
∵|FA|=5|FB|，
∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，
∴n=±4，
∵a=5n，∴a=±20，
∴|FA|==35．
故选：B．
9．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x
解：由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，
可得当m=﹣1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为=1，
即有渐近线方程为y=±2x．
故选：C．
10．已知双曲线的左焦点为F，直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，则△ABF的面积为（ ）
A．12 B．24 C． D．
解：双曲线的左焦点为F（﹣2，0），
直线x=2与双曲线E相交于A，B两点，
则A（2，3），B（2，﹣3），
则△ABF的面积为：6×4=12．
故选：A．
11．已知双曲线y2﹣=1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2=（ ）21教育网
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），
则x1+x2=2x，y1+y2=2y
M，N代入双曲线y2﹣=1
两式相减可得：（y1﹣y2）×2y﹣（x1﹣x2）×2x=0，
∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OM的斜率为k2，
∴k1k2=．
故选：A．
12．已知双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，P是该双曲线上的点，P在该双曲线两渐近线上的射影分别是A，B，则|PA|?|PB|的值为（ ）
A． B． C． D．
解：双曲线﹣=1（m＞0）的离心率为，
可得e2===，
解得m=1，
即双曲线的方程为﹣y2=1，
渐近线方程为x±2y=0，
设P（s，t），可得s2﹣4t2=4，
由题意可得|PA|?|PB|=?
==．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．在Rt△ABC中，AB=AC=1，如果椭圆经过A，B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为 ．
解：建立如图坐标系
RT△ABC周长：4a，
4a=1+1+=2+则a=，
记AB上的另一个焦点为D，
则AD=2a﹣AC=，
在RT△ACD中，∠A=90°，AC=1，AD=，
则2c=CD==，
则c=，
e==．
故答案为：．
14．已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆在y轴上的一个顶点，若2b，||，2a成等差数列，且△PF1F2的面积为12，则椭圆C的方程为 ．2·1·c·n·j·y
解：由题意知，2a+2b=2|F1F2|=4c，
，
∴a=2c﹣b，又a2=b2+c2，
∴（2c﹣b）2=b2+c2，解得：c=4．
∴b=3，a=5．
∴椭圆C的方程为．
故答案为：．
15．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为 ．
解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．
∠POA=60°，且OP⊥AP，
∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=，
∴由题意得P（），代入椭圆方程得：，
∴a2=5b2=5（a2﹣c2），
∴a=，
∴离心率e=．
故答案为：．
16．设F1，F2分别是椭圆+=1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为 15 ．www-2-1-cnjy-com
解：由题意F2（3，0），|MF2|=5，
由椭圆的定义可得，|PM|+|PF1|=2a+|PM|﹣|PF2|=10+|PM|﹣|PF2|≤10+|MF2|=15，
当且仅当P，F2，M三点共线时取等号，
故答案为：15．
三．解答题（共5小题）
17．椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF2的周长；
（2）若l的倾斜角为，求弦长|AB|．
解 （1）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，
由椭圆的定义，得丨AF1丨+丨AF2丨=2a=4，丨BF1丨+丨BF2丨=2a=4，
又丨AF1丨+丨BF1丨=丨AB丨，
∴△ABF2的周长=丨AB丨+丨AF2丨+丨BF2丨=4a=8．
∴故△ABF2点周长为8；
（2）由（1）可知，得F1（﹣1，0），
∵AB的倾斜角为，则AB斜率为1，A（x1，y1），B（x2，y2），
故直线AB的方程为y=x+1.，整理得：7y2﹣6y﹣9=0，
由韦达定理可知：y1+y2=，y1?y2=﹣，
则由弦长公式丨AB丨=?=?=，
弦长|AB|=．
18．已知点A、B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣，【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求M的轨迹C的方程．
（2）若点F1（﹣，0），F2（，0），P为曲线C上的点，∠F1PF2=，求△F1PF2的面积．
解：（1）设点M（x，y），（x≠±5），则，，
由题意得，
化为．
（2）设|PF1|=m，|PF2|=n，
由椭圆的定义可得：m+n=10，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
化为80=（m+n）2﹣3mn，
把m+n=10代入上式得80=102﹣3mn，
解得．
∴==．
即△PF1F2的面积为．
19．已知射线OA，OB的方程分别为y=x（x≥0），y=﹣x（x≤0），动点M、N分别在OA、OB上滑动，且MN=4．
（1）若=，求点P的轨迹C的方程；
（2）已知F1（﹣4，0），F2（4，0），请问：在曲线C上是否存在动点P满足条件?=0？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）根据已知条件设M（），N（），P（x，y）；
∵；
∴P为MN的中点；
∴根据中点坐标公式；
∴①；
∵；
∴；
带入①并两边平方得：
；
化简得；
（2）由轨迹C的方程知点P的轨迹是椭圆，并且F1，F2分别是该椭圆的左右焦点；
；
∴；
∴就是判断是否在曲线C上存在点P，使PF1⊥PF2；
如图，
椭圆的上下顶点和焦点的连线所夹的角是椭圆上其它点和焦点连线夹角的最大值；
设椭圆上顶点为Q，只要∠F1QF2≥90°，在椭圆上便存在点P，使PF1⊥PF2；
；
∴根据余弦定理；
∴∠F1PF2为钝角；
∴在椭圆上存在点P，使PF1⊥PF2，即；
设P（x0，y0），P点在椭圆上，且满足，；
所以得到；
解得；
∴符合条件的P点坐标为：，．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．21·世纪*教育网
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；
②求证：OP⊥OQ．
解：（1）由题意，得，解得a2=6，b2=3．
所以椭圆的方程为．
（2）①椭圆C的右焦点．
设切线方程为，即，
所以，解得，所以切线方程为．
由方程组解得或，
所以．
因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．
综上所述，△OPQ的面积为．
②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．
当时，．
因为，所以OP⊥OQ．
当时，同理可得OP⊥OQ．
（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，即kx﹣y+m=0．
因为直线与圆相切，所以，即m2=2k2+2．
将直线PQ方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，
因为=．
将m2=2k2+2代入上式可得，所以OP⊥OQ．
综上所述，OP⊥OQ．
21．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．21世纪教育网版权所有
解：（1）由题意可得…（2分）
解得…（3分）
故椭圆的标准方程为…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，
因为△F1AB的周长为4a=8，，
因此最大，R就最大…（6分），
由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
所以，…（8分）
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，
故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，则…（10分）
令，则t≥1，．
令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，
即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
因此有，所以，
即当t=1，m=0时，最大，此时，
故当直线l的方程为x=1时，△F1AB内切圆半径的最大值为…（12分）
人教版选修1-1第二章 圆锥曲线单元练习卷B卷
一．选择题（共12小题）
1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠
2．已知椭圆：+=1，若椭圆的焦距为2，则k为（ ）
A．1或3 B．1 C．3 D．6
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A，B，若|AB|=5，则|AF1|﹣|BF2|等于（ ）21·cn·jy·com
A．3 B．8 C．13 D．16
4．点A，F分别是椭圆C：+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（ ）【出处：21教育名师】
A．6 B．9 C．12 D．18
5．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||?||=（ ）
A．2 B．3 C． D．
7．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，l：x=﹣，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）【版权所有：21教育】
A．（，1） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
8．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）21教育名师原创作品
A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2= D．x2﹣y2=
9．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
10．m∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，n∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，且方程有意义，则方程可表示不同的双曲线的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）
12．己知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（ ）21*cnjy*com
A． B． C．2 D．3
二．填空题（共4小题）
13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB=8，则抛物线C的方程为 ．
14．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ．
15．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 ．
16．如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为 ．
三．解答题（共5小题）
17．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．21*cnjy*com
18．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．
19．已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直 l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹 C的方程；
（Ⅱ）已知点 H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．
20．如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且
（Ⅰ） 求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠
解：由题意，
∴2﹣m2＞m＞0，
解得：0＜m＜1，
∴实数m的取值范围是0＜m＜1．
故选B．
解得k=3．
综上所述，k的值是1或3．
故选：A．
4．点A，F分别是椭圆C：+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（ ）2·1·c·n·j·y
A．6 B．9 C．12 D．18
解：如图，
由椭圆C：+=1，得a2=16，b2=12，
∴，
|PF|=，
|AF|=a+c=6，
∴△AFP的面积为．
故选：B．
5．已知F1、F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为9，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：根据椭圆定义知PF1+PF2=2a，
∵⊥，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴（PF1）2+（PF2）2=（2c）2，
又∵△PF1F2的面积为9，
∴?PF1?PF2=9，
∴（2a）2=（PF1+PF2）2
=（PF1）2+（PF2）2+2PF1?PF2
=4c2+36，
∴b2=a2﹣c2=9，
∴b=3，
故选：C．
6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||?||=（ ）
A．2 B．3 C． D．
解：椭圆中，a=2，b=，可得c==1，焦距|F1F2|=2．
设|PF1|=m、|PF2|=n，
根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16…①．
△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2，
即4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，…②
∵=，∴cos∠F1PF2=mncos∠F1PF2=，
代入②并整理，可得m2+n2=9…③，
用①减去③，可得2mn=7，解得mn=，即||?||=．
故选：C
7．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，l：x=﹣，且PQ⊥l，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A．（，1） B．（0，） C．（0，） D．（，1）
解：根据题意，得
∵点P是椭圆上的动点
∴P点横坐标x满足：﹣a≤x≤a（等号不能成立）
∵四边形PQF1F2为平行四边形，
∴|PQ|=|F1F2|=2c
∵左准线方程为x=﹣，|PQ|=x+=2c，∴x=2c﹣，
因此可得﹣a＜2c﹣＜a，
各项都除以a，得﹣1＜2e﹣＜1
解不等式，得＜e＜1．
故选A．
9．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
解：由题意可得2c=10，即c=5，
由一条渐近线的斜率为2，可得=2，
又a2+b2=25，
解得a=，b=2，
即有双曲线的方程为﹣=1．
故选：A．
10． m∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，n∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，且方程有意义，则方程可表示不同的双曲线的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：∵m∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，n∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，且方程有意义，
∴m，n同为正或异号
m，n同为正时，共有3×4=12种情况；m，n异号时，共有2×4+3×2=14种情况
∴总事件数为26，其中方程可表示不同的双曲线有14种情况
∴方程可表示不同的双曲线的概率为
故选D．
11．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）
解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，
当焦点在x轴上时，
可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，
∵方程﹣=1表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，
可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，
无解．
故选：A．
12．己知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（ ）21cnjy.com
A． B． C．2 D．3
解：双曲线的渐近线方程l1，y=x，l2，y=﹣x，
F（c，0），
圆的方程为（x﹣）2+y2=，将y=x代入（x﹣）2+y2=，
得（x﹣）2+（x）2=，
即x2=cx，则x=0或x=，当x=时，y═?=，即A（，），
设B（m，n），则n=﹣?m，
则=（m﹣，n﹣），=（﹣c，），
∵=2，
∴（m﹣，n﹣）=2（﹣c，）
则m﹣=2（﹣c），n﹣=2?，
即m=﹣2c，n=，
即=﹣?（﹣2c）=﹣+，
即=，
则c2=3a2，
则=，
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB=8，则抛物线C的方程为 y2=4x ．
解：∵抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，
∴设抛物线C的标准方程为y2=2px，p＞0，
∵过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，AB=8，
∴=8，解得2p=4，
∴抛物线C的方程为：y2=4x．
故答案为：y2=4x．
14．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ．www-2-1-cnjy-com
解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x﹣1），
由，消去x得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y2得k2=3，解之得k=±．
故答案为：．
15．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于 42或22 ．
解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，
过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，
当M（20，40）位于抛物线内，
∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，
当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，
由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，
当M（20，40）位于抛物线外，
当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，
即=41，解得：p=22或58，
由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，
故答案为：42或22．
16．如图所示，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为 ﹣1 ．
解：设椭圆的左焦点为F'，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF'，
∴F（，0），F'（﹣，0），可得焦距FF'=p=2c，（c=为椭圆的半焦距）
对抛物线方程y2=2px令x=，得y2=p2，所以AF=|yA|=p
∴Rt△AFF'中，AF=FF'=p，可得AF'=p
再根据椭圆的定义，可得AF+AF'=2a=（1+）p，
∴该椭圆的离心率为e===﹣1
故答案为：﹣1
三．解答题（共5小题）
17．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．2-1-c-n-j-y
解：（1）由题意可得，…（2分）
解得：，…（3分）
故椭圆的标准方程为；…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），…（6分）
由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
由韦达定理可知：，…（8分）
又因直线l与椭圆C交于不同的两点，
故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R．
则，…（10分）
令，则t≥1，
则，
令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，
即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，
因此有，
所以，
即当t=1，即m=0时，最大，最大值为3．…（12分）
18．已知椭圆的离心率为，两焦点之间的距离为4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．
解：（Ⅰ）解：椭圆焦点在x轴上，
由题意可得2c=4，．则a=4，c=2．
由b2=a2﹣c2=12，
∴椭圆标准方程为：．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为（4，0），
由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4．…（7分）
由，消去x得：y2﹣4my﹣16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则．…（10分）
∴，
则?=0，则⊥
故OA⊥OB．…（12分）
19．已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直 l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．21教育网
（Ⅰ）求点Q的轨迹 C的方程；
（Ⅱ）已知点 H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．
解：（Ⅰ）由题意可知丨QP丨=丨QF丨，即Q到直线x=﹣1的距离与到点F的距离相等，
∴点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，
设抛物线的方程y2=2px（p＞0），则p=2，
∴点Q的轨迹C的方程y2=4x；
（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线AB：x=my+1（m≠0），
，整理得：y2﹣4my﹣4=0，
设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=4m，y1?y2=﹣4，
又H（1，2），设直线AH，BH的斜率分别为k1，k2，
则k1==，k2==，
直线AH：y﹣2=（x﹣1），BH：y﹣2=（x﹣1），
设M（﹣1，yM），N（﹣1，yN），
令x=﹣1，得：yM=2﹣=，
同理，得：yN=2﹣=，
yM?yN=?===﹣4，
yM+yN=（2﹣）+（2﹣）=4﹣8（+）=
=4﹣，
=4﹣=﹣，
由MN为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣yM）（y﹣yN）=0，
整理得：x2+2x﹣3+y2+y=0，
令，解得：x=﹣3，x=1，
∴以MN为直径的圆必过定点（﹣3，0）（1，0）．
20．如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且
（Ⅰ） 求椭圆E的方程及离心率；
（Ⅱ） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．
又点P的坐标为（0，1），且?=﹣2，即1﹣b2=﹣2，
解得b2=3．
∴椭圆E方程为．
∵c==1，∴离心率e=；
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．21世纪教育网版权所有
联立，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．
其判别式△＞0，
x1+x2=，x1x2=．
从而，?+λ?=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]
=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
==﹣2λ﹣3，
当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，
即?+λ?=﹣7为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时?+λ?=?+2?=﹣3﹣4=﹣7，
故存在常数λ=2，使得?+λ?为定值﹣7．
21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．www.21-cn-jy.com
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．【来源：21·世纪·教育·网】
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），
即有b=，a2﹣c2=，
解得a=1，c=，
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，
由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），
可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，
可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，
△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），
直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．
即有点M在定直线y=﹣上；
（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），
则S1=|FG|?|x0|=x0?（+y0）=x0（1+x02）；
S2=|PM|?|x0﹣|=（y0+）?=x0?，
则=，
令1+2x02=t（t≥1），则==
==2+﹣=﹣（﹣）2+，
则当t=2，即x0=时，取得最大值，
此时点P的坐标为（，）．
