4.5.1 垂线 同步练习
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4.5.1 垂线
核心笔记: 1.两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足,垂直用符号“⊥”表示.【来源：21·世纪·教育·网】
2.垂线的性质:(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线垂直于另一条.21·世纪*教育网
3.两条直线相交不成直角时,其中一条直线叫做另一条直线的斜线,它们的交点叫做斜足.
基础训练
1.在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线( )
A.相等 B.平行
C.垂直 D.相交
2.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,则( )
A.∠AOC=∠AOD
B.∠AOC=∠BOD
C.∠AOD=∠BOD
D.以上结论都不对
3.下列说法中,正确的是( )
A.过直线l外一点A和直线l上一点B可画一直线与直线l垂直
B.同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,则这条直线平行于另一条
C.同一平面内,如果一条直线平行于两条互相垂直的直线中的一条,则这条直线垂直于另一条
D.相交的两条直线互相垂直
4.如图所示,直线AB与直线CD的位置关系是____________,此时,∠AOD=∠____________=∠____________=∠____________=90°.?
5.如图,将一副三角尺的直角顶点重合在一起,如果∠1=40°,那么∠2=__________.?
6.如图所示,当∠1与∠2满足__________时,能使OA⊥OB.?
7.(1)在图①中,过线段AB外一点M作AB的垂线;
(2)在图②中,过A,B分别作OB,OA的垂线.
培优提升
1.已知互不重合的直线a,b,c在同一平面内,下列说法:①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a∥b,b∥c,那么a∥c;③如果a∥b,b⊥c,那么a⊥c;④如果a与b相交,b与c相交,那么a与c相交.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图,将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=50°,那么∠2的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2等于____________.?21教育网
4.如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O,且AB⊥CD.
(1)若∠COE=22°25',则∠AOE= ,∠BOE= ;?
(2)若∠AOF=α,则∠BOF= ,∠COE= .?
5.如图,已知AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠ABC=65°,∠EFC=40°,求∠BCG的度数.
6.小明坐在学校的凉亭(A)中,绘制了学校的一张平面图(如图所示),体育馆在凉亭的正北方向.测得:∠DAC=150°,且AE平分∠FAC,AB⊥AC,AD⊥AE.21cnjy.com
求:除凉亭外的其他所有相邻建筑物形成的角的大小(要求有相应的运算过程).
7.如图所示,∠AEF=∠B,∠FEC=∠GHB,GH⊥AB于点G,试说明:CE⊥AB.
8.在同一平面内有互不重合的直线a1,a2,a3,…,a2 015,若a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,a4⊥a5,…,则a1与a2 015的位置关系是什么?www.21-cn-jy.com
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
解：根据垂线的性质:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.故选B.
2.【答案】B
解：因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°(垂直的定义),所以∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD,即∠BOD=∠AOC.故选B.
3.【答案】C
4.【答案】垂直;AOC;BOC;BOD
5.【答案】40°
6.【答案】∠1+∠2=90°
7.解:(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
① ②
【培优提升】
1.【答案】C 2.【答案】B
3.【答案】50°
解：如图,因为∠1和∠3是对顶角,所以∠3=∠1=50°,因为c⊥a,c⊥b,所以a∥b,所以∠2=∠3=50°.21世纪教育网版权所有
4.【答案】(1)67°35';112°25' (2)180°-α;α-90°
5.解:因为AB∥CD∥EF,
所以∠BCD=∠ABC=65°,∠DCF=∠F=40°,
又因为GC⊥CF,
所以∠GCF=90°,
所以∠GCD=∠GCF-∠DCF=90°-40°=50°,
所以∠BCG=∠BCD-∠GCD=65°-50°=15°.
6.解:除凉亭外的其他所有相邻建筑物形成的角有:
∠DAF,∠FAE,∠EAC,∠CAB,∠BAD.
因为AD⊥AE,所以∠DAE=90°.
又因为∠DAC=150°,
所以∠EAC=∠DAC-∠DAE=150°-90°=60°.
因为AE平分∠FAC,
所以∠FAE=∠EAC=60°.
所以∠DAF=∠DAC-∠FAE-∠EAC=150°-60°-60°=30°.
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°.
所以∠BAD=360°-∠DAF-∠FAE-∠EAC-∠CAB=120°.
所以除凉亭外的其他所有相邻建筑物形成的角:
∠DAF=30°,∠FAE=60°,∠EAC=60°,∠CAB=90°,∠BAD=120°.
7.解:因为∠AEF=∠B,所以EF∥BC(同位角相等,两直线平行),所以∠FEC=∠BCE(两直线平行,内错角相等).又因为∠FEC=∠GHB,所以∠BCE=∠GHB(等量代换),所以CE∥GH(同位角相等,两直线平行).又因为GH⊥AB,所以CE⊥AB(在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线垂直于另一条).21·cn·jy·com
8.解:a1与a2 015垂直. 解：由题意知a1与a2平行,与a3垂直,与a4垂直,与a5平行,…,而2015=2012+3=4×503+3,所以a1与a2 015的关系跟a1与a3的关系一样,即a1与a2 015垂直.2·1·c·n·j·y
核心笔记: 1.两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足,垂直用符号“⊥”表示.【来源：21·世纪·教育·网】
2.垂线的性质:(1)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线垂直于另一条.21·世纪*教育网
3.两条直线相交不成直角时,其中一条直线叫做另一条直线的斜线,它们的交点叫做斜足.
基础训练
1.在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线( )
A.相等 B.平行
C.垂直 D.相交
2.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,则( )
A.∠AOC=∠AOD
B.∠AOC=∠BOD
C.∠AOD=∠BOD
D.以上结论都不对
3.下列说法中,正确的是( )
A.过直线l外一点A和直线l上一点B可画一直线与直线l垂直
B.同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,则这条直线平行于另一条
C.同一平面内,如果一条直线平行于两条互相垂直的直线中的一条,则这条直线垂直于另一条
D.相交的两条直线互相垂直
4.如图所示,直线AB与直线CD的位置关系是____________,此时,∠AOD=∠____________=∠____________=∠____________=90°.?
5.如图,将一副三角尺的直角顶点重合在一起,如果∠1=40°,那么∠2=__________.?
6.如图所示,当∠1与∠2满足__________时,能使OA⊥OB.?
7.(1)在图①中,过线段AB外一点M作AB的垂线;
(2)在图②中,过A,B分别作OB,OA的垂线.
培优提升
1.已知互不重合的直线a,b,c在同一平面内,下列说法:①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;②如果a∥b,b∥c,那么a∥c;③如果a∥b,b⊥c,那么a⊥c;④如果a与b相交,b与c相交,那么a与c相交.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.如图,将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=50°,那么∠2的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
3.如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2等于____________.?21教育网
4.如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O,且AB⊥CD.
(1)若∠COE=22°25',则∠AOE= ,∠BOE= ;?
(2)若∠AOF=α,则∠BOF= ,∠COE= .?
5.如图,已知AB∥CD∥EF,GC⊥CF,∠ABC=65°,∠EFC=40°,求∠BCG的度数.
6.小明坐在学校的凉亭(A)中,绘制了学校的一张平面图(如图所示),体育馆在凉亭的正北方向.测得:∠DAC=150°,且AE平分∠FAC,AB⊥AC,AD⊥AE.21cnjy.com
求:除凉亭外的其他所有相邻建筑物形成的角的大小(要求有相应的运算过程).
7.如图所示,∠AEF=∠B,∠FEC=∠GHB,GH⊥AB于点G,试说明:CE⊥AB.
8.在同一平面内有互不重合的直线a1,a2,a3,…,a2 015,若a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,a4⊥a5,…,则a1与a2 015的位置关系是什么?www.21-cn-jy.com
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
解：根据垂线的性质:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.故选B.
2.【答案】B
解：因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOB=∠COD=90°(垂直的定义),所以∠AOB-∠AOD=∠COD-∠AOD,即∠BOD=∠AOC.故选B.
3.【答案】C
4.【答案】垂直;AOC;BOC;BOD
5.【答案】40°
6.【答案】∠1+∠2=90°
7.解:(1)如图①所示.
(2)如图②所示.
① ②
【培优提升】
1.【答案】C 2.【答案】B
3.【答案】50°
解：如图,因为∠1和∠3是对顶角,所以∠3=∠1=50°,因为c⊥a,c⊥b,所以a∥b,所以∠2=∠3=50°.21世纪教育网版权所有
4.【答案】(1)67°35';112°25' (2)180°-α;α-90°
5.解:因为AB∥CD∥EF,
所以∠BCD=∠ABC=65°,∠DCF=∠F=40°,
又因为GC⊥CF,
所以∠GCF=90°,
所以∠GCD=∠GCF-∠DCF=90°-40°=50°,
所以∠BCG=∠BCD-∠GCD=65°-50°=15°.
6.解:除凉亭外的其他所有相邻建筑物形成的角有:
∠DAF,∠FAE,∠EAC,∠CAB,∠BAD.
因为AD⊥AE,所以∠DAE=90°.
又因为∠DAC=150°,
所以∠EAC=∠DAC-∠DAE=150°-90°=60°.
因为AE平分∠FAC,
所以∠FAE=∠EAC=60°.
所以∠DAF=∠DAC-∠FAE-∠EAC=150°-60°-60°=30°.
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°.
所以∠BAD=360°-∠DAF-∠FAE-∠EAC-∠CAB=120°.
所以除凉亭外的其他所有相邻建筑物形成的角:
∠DAF=30°,∠FAE=60°,∠EAC=60°,∠CAB=90°,∠BAD=120°.
7.解:因为∠AEF=∠B,所以EF∥BC(同位角相等,两直线平行),所以∠FEC=∠BCE(两直线平行,内错角相等).又因为∠FEC=∠GHB,所以∠BCE=∠GHB(等量代换),所以CE∥GH(同位角相等,两直线平行).又因为GH⊥AB,所以CE⊥AB(在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线垂直于另一条).21·cn·jy·com
8.解:a1与a2 015垂直. 解：由题意知a1与a2平行,与a3垂直,与a4垂直,与a5平行,…,而2015=2012+3=4×503+3,所以a1与a2 015的关系跟a1与a3的关系一样,即a1与a2 015垂直.2·1·c·n·j·y