4.5.2 垂线的基本事实及垂线段
核心笔记: 1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.
3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
基础训练
1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是( )
A.线段CA的长 B.线段CD的长
C.线段AD的长 D.线段AB的长
2.下列说法中,正确的有( )
①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.www-2-1-cnjy-com
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )
A.1条 B.2条
C.无数条 D.不能确定
4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5 cm,则AB___________5 cm,其根据是___________.?21世纪教育网版权所有
5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.21·cn·jy·com
6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:21*cnjy*com
(1)点B到直线AC的距离;
(2)点A到直线BC的距离.
7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.【来源:21cnj*y.co*m】
培优提升
1.下列说法正确的有( )
①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;
②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;
③一条直线的垂线可以画无数条;
④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合
的理由是( )
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.已知直线的垂线只有一条
D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4 cm,5 cm,6 cm,则点P到直线l的距离( )21·世纪*教育网
A.是4 cm B.是5 cm
C.不超过4 cm D.大于6 cm
4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P与圆O的距离应定义为( )21教育网
A.线段PO的长度 B.线段PA的长度
C.线段PB的长度 D.线段PC的长度
6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)?
7.说出日常生活现象中的数学原理:
日常生活现象
相应数学原理
有人和你打招呼,你笔直向他走过去
两点之间线段最短
人去河边打水总是垂直于河边方向走
8.按题目要求画图,并回答相关问题.
如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?
9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;
(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论) 21cnjy.com
参考答案
【基础训练】
1.【答案】B
2.【答案】B
解:正确的是①②,共2个.
3.【答案】A 4.【答案】≥;垂线段最短
5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.
6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.www.21-cn-jy.com
(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD===,所以点A到直线BC的距离为.2·1·c·n·j·y
7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.2-1-c-n-j-y
它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.
因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,
所以沿PN修路是最佳方案.
【培优提升】
1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】C
4.【答案】D
解:能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.
5.【答案】B
6.【答案】>
7.
日常生活现象
相应数学原理
有人和你打招呼,你笔直向他走过去
两点之间线段最短
人去河边打水总是垂直于河边方向走
垂线段最短
8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.
9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.【来源:21·世纪·教育·网】
(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远.
解:要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.