1.3线段的垂直平分线
同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．DE=DC B．AD=DB C．AD=BC D．BC=AE
2．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（ ）2·1·c·n·j·y
A．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP
C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP
3．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）21·世纪*教育网
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．13 B．15 C．17 D．19
5．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
8．如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=4，AC=8，则BD=（ ）21·cn·jy·com
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC=（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
二．填空题（共5小题）
11．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= ．
12．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= cm．2-1-c-n-j-y
13．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 ．
14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD= ．21cnjy.com
15．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ．（填序号）．21*cnjy*com
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．【来源：21cnj*y.co*m】
三．解答题（共5小题）
16．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．www.21-cn-jy.com
17．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
19．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
20．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．21教育网
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
1.3线段的垂直平分线
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D点，交AB于E点，则下列结论错误的是（ ）21*cnjy*com
A．DE=DC B．AD=DB C．AD=BC D．BC=AE
2．如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（ ）www.21-cn-jy.com
A．BC＞PC+AP B．BC＜PC+AP
C．BC=PC+AP D．BC≥PC+AP
解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
∵BC=PC+BP，
∴BC=PC+AP．
故选C．
3．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．∠A的平分线 B．AC边的中线
C．BC边的高线 D．AB边的垂直平分线
解：
∵分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，
∴DA=DB，EA=EB，
∴点D，E在线段AB的垂直平分线上，
故选D．
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）【出处：21教育名师】
A．13 B．15 C．17 D．19
解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
5．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
6．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（ ）
A．50° B．100° C．120° D．130°
解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=50°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，
故选：B．
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．90° B．95° C．100° D．105°
解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选D．
8．如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
解：甲：虽然CP=AP，
但∠A≠∠ACP，
即∠A≠∠ACD．甲不正确；
乙∵CP是线段AB的中垂线，
∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，
∵AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE．乙正确，
故选：D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．若BC=4，AC=8，则BD=（ ）21教育网
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵∠C=90°，BC=4，AC=8，
∴AB==4，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，DE⊥AB，AE=BE=2，
∴△AED∽△ACB，
∴=，即=，
解得，AD=5，
∴BD=5，
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC=（ ）21·cn·jy·com
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
解：
∵DE为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=50，
故选C．
二．填空题（共5小题）
11．若点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，则PB= 5 ．
解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB=PA=5．
故答案为：5．
12．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC= 6 cm．2·1·c·n·j·y
解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB=10cm，
∴AD+CD+AB=10cm，
∴AC+AB=10cm，
∵AB=4cm，
∴AC=6cm，
故答案为：6．
13．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是 4 ．
解：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，
∴OC=OB，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SAS）；
同理：△COD≌△BOD，
在△AOC和△AOB中，
，
∴△OAC≌△OAB（SSS）；
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，
在Rt△OAE和Rt△OCE中，
，
∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．
故答案为：4．
14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD= 126°或14° ．【来源：21·世纪·教育·网】
解：①如图1，∵点C、D为线段AB的垂直平分线上的两点，
∴CA=CB，DA=DB，
在△CAD和△CBD中，
，
∴△CAD≌△CBD，
∴∠CAD=∠CBD，
∵∠ACB=40°，∠ADB=68°，
∴∠CAD=（360°﹣40°﹣68°）=126°；
②如图2，∵点C为线段AB的垂直平分线上的点，
∴CA=CB，∴∠CAB=∠CBA=（180°﹣40°）=70°，
∵点D为线段AB的垂直平分线上的点，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=（180°﹣68°）=56°，
∴∠CAD=∠CBD=70°﹣56°=14°．
综上所述：∠CAD=126°或14°．
故答案为：126°或14°．
15．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有 ①③⑤ ．（填序号）．21cnjy.com
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．21·世纪*教育网
解：∵在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；
∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，
∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；
当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；
∵AC、BD互相垂直，
∴筝形ABCD的面积为：AC?BO+AC?OD=AC?BD．
故⑤正确；
综上所述，正确的说法是①③⑤．
故答案是：①③⑤．
三．解答题（共5小题）
16．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．www-2-1-cnjy-com
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（SAS），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD是BC的中垂线．
17．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．2-1-c-n-j-y
18．如图，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=45°．
19．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB=AE，
∴AB+BD=AE+DE，
又∵AB+BD=DC，
∴DC=AE+DE，
∴DE+EC=AE+DE
∴EC=AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
20．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．21世纪教育网版权所有
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
