1.4角平分线
同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
A．15 B．30 C．45 D．60
2．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
3．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
4．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B．2 C．3 D．2
6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）21*cnjy*com
A．4 B．3 C．6 D．5
7．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ）21·cn·jy·com
A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3
8．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）21cnjy.com
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B．2 C． D．
10．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（ ）
A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD
二．填空题（共5小题）
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 ．2·1·c·n·j·y
12．如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是 ．【来源：21cnj*y.co*m】
13．已知：如图在△ABC中，AD是它的角平分线，AB：AC=5：3，则
S△ABD：S△ACD= ．
14．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积= ．21世纪教育网版权所有
15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是角平分线，BE是中线，则下列结论：
①BD=CD；②∠DAB=45°；③∠ABE=∠CBE；④∠ABC+∠ACB=90°；⑤S△ABC=S△ABE．21教育网
其中所有正确的结论是 （只填写序号）
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．
17．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：21·世纪*教育网
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
18．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
19．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．
求证：∠PCB+∠BAP=180°．
20．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试
说明AE=CF．
1.4角平分线
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）21·世纪*教育网
A．15 B．30 C．45 D．60
2．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（ ）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．
故选D．
3．如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（ ）
A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点
解：∵点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，
∴点P是△ABC三条角平分线的交点．
故选B．
4．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD
解：∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，
∴PC=PD，故A正确；
在Rt△OCP与Rt△ODP中，
，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．
不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．
故选B．
5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B．2 C．3 D．2
解：过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，
∴PB=PA=3，
∴PQ的最小值为3．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．4 B．3 C．6 D．5
解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故选：B．
7．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（ ）21*cnjy*com
A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3
解：作PM⊥OB于M，
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM=PE=3，
∴PN≥3，
故选：C．
8．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
解：如图所示，加油站站的地址有四处．
故选D．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（ ）【版权所有：21教育】
A． B．2 C． D．
解：过点D作DE⊥AB交AB于E，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
设CD=x，则BD=8﹣x，
∵AD平分∠BAC，
∴=，即=，
解得，x=
∴CD=，
∴S△ABD=×AB?DE=×5=，
∵AD==，
设BD到AD的距离是h，
∴S△ABD=×AD?h，
∴h=．
故选：C．
10．如图所示，在Rt△ABC中，AD是斜边上的高，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E，EG⊥BC于G，下列结论正确的是（ ）
A．∠C=∠ABC B．BA=BG C．AE=CE D．AF=FD21世纪教育网版权所有
解：∵∠BAC=90°，AD是斜边上的高，AD是∠ABC的平分线，
∴AE=EG，
在Rt△ABE和Rt△GBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△GBE（HL），
∴BA=BG．
故选B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 3 ．21·cn·jy·com
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
×4×2+×AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为3．
12．如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是 2 ．21教育网
解：过D作DE⊥BC于E，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴DE=AD=2，
故答案为：2．
13．已知：如图在△ABC中，AD是它的角平分线，AB：AC=5：3，则S△ABD：S△ACD= 5：3 ．www.21-cn-jy.com
解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=5：3，
故答案为：5：3．
14．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积= 50 ．【出处：21教育名师】
解：作OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OE=OF=OD=5，
∴S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC
=OD?AB+OE?BC+OF?AC
=（AB+BC+AC）
=×20
=50．
故答案为：50．
15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是角平分线，BE是中线，则下列结论：
①BD=CD；②∠DAB=45°；③∠ABE=∠CBE；④∠ABC+∠ACB=90°；⑤S△ABC=S△ABE．21教育名师原创作品
其中所有正确的结论是 ②④ （只填写序号）
解：∵AD是角平分线，
∴BD与CD不一定相等，①错误；
∵∠BAC=90°，AD是角平分线，
∴∠DAB=∠BAC=45°，②正确；
∵BE是中线，
∴∠ABE与∠CBE不一定相等，③错误；
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，④正确；
由图形可知，S△ABC＞S△ABE，⑤错误，
故答案为：②④．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
求证：AD是△ABC的角平分线．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是角平分线．
17．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：21cnjy.com
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM=180°，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点．
18．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
19．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．
求证：∠PCB+∠BAP=180°．
证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，
∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，
∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，
在Rt△PEA与Rt△PFC中，
∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），
∴∠PAE=∠PCB，
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠PCB+∠BAP=180°．
20．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．2-1-c-n-j-y
解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED=FG，
∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE=CF．
