6.4 万有引力理论的成就 学案

6.4万有引力理论的成就
【学习目标】
1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.
2.理解“计算天体质量”的基本思路.
3.掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路．
【知识探究】
一、“称量”地球质量
[导学探究]　卡文迪许在实验室测量出了引力常量G的值，他自称是可以称量地球质量的人，他“称量”的依据是什么？要测量地球质量，还需要知道什么量？
　
　
　
[知识梳理]　利用重力加速度g计算地球质量
在地球表面附近，忽略地球自转的影响，由mg＝__________得M＝________，若________、________已知，则可计算出地球的质量．21世纪教育网版权所有
注：此方法也可应用于其它天体．
[即学即用]　设地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4106 m，引力常量G＝6.6710－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．21教育网
　
　
　
二、计算天体的质量和密度
[导学探究]　如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，你能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？21cnjy.com
　
　
　
[知识梳理]　天体质量和密度的计算
(1)天体质量的计算
行星围绕太阳(或卫星绕地球)的运动可以看成是匀速圆周运动，其向心力由太阳对行星(或地球对卫星)的万有引力提供，因此有G＝__________，测出行星(或卫星)的周期T和轨道半径r，就可以算出太阳(或地球)的质量M＝__________.2·1·c·n·j·y
(2)密度的计算
若太阳(或地球)的半径为R，则代入公式ρ＝__________即可得太阳(或地球)的密度．
[即学即用]　已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．地球的密度
【典例精析】
一、天体质量和密度的计算
例1　假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G.【出处：21教育名师】
(1)则该天体的密度是多少？
(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？【版权所有：21教育】
　
　
　
　
　
例2　有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：
(1)星球半径与地球的半径之比；
(2)星球质量与地球质量之比．
　
　
　
[技巧点拨]
1．利用mg＝计算天体的质量
若天体表面的重力加速度为g，半径为R，则由mg＝得天体的质量M＝，再由M＝ρ·πR3，得天体的密度ρ＝.21教育名师原创作品
2．利用＝计算天体的质量
(1)某个行星(或卫星)绕某一中心天体做匀速圆周运动时，两个天体间的万有引力充当向心力，即G＝mr则M＝.21*cnjy*com
(2)若已知中心天体的半径为R，则其密度为ρ＝＝.
注意　R、r的意义不同，一般R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕天体表面轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝.21·cn·jy·com
二、天体运动的分析与计算
例3　如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是(　　)www.21-cn-jy.com
图1
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
[归纳总结]
1．基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供．
2．常用关系：
(1)G＝ma向＝m＝mω2r＝mr.
(2)忽略自转时，mg＝G(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为“黄金代换式”．21·世纪*教育网
【达标检测】
1．一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要(　　)
A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径
C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度
2．如图2所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带，假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)www-2-1-cnjy-com
图2
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
3．(多选)如图3所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
图3
A．速度大 B．向心加速度大
C．运行周期长 D．角速度小
4．把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5108 km，已知万有引力常量G＝6.6710－11 N· m2/ kg2，地球绕太阳公转一周为365天，则可估算出太阳的质量大约是多少 kg？(结果取一位有效数字)
　
答案精析
知识探究
一、
导学探究　若忽略地球自转的影响，在地球表面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即mg＝，所以有M＝.要测量地球质量除需要知道引力常量G，还需要知道地球表面加速度g及地球半径R.21*cnjy*com
知识梳理　　　g　R
即学即用　M＝＝ kg≈6.01024 kg.
二、
导学探究　由＝m地r知M太＝.由密度公式ρ＝可知，若求太阳的密度还需要知道太阳的半径．
知识梳理　(1)mr　　(2)
即学即用　B　[由天体运动规律知G＝mR可得地球质量M＝，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B正确．]
典例精析
例1　(1)　(2)
解析　设卫星的质量为m，天体的质量为M.
(1)卫星贴近天体表面运动时有G＝mR，M＝
根据数学知识可知天体的体积为V＝πR3
故该天体的密度为ρ＝＝＝.
(2)卫星距天体表面的高度为h时，忽略自转有
G＝m(R＋h)
M＝
ρ＝＝＝
例2　(1)　(2)
解析　(1)由＝mg得M＝，所以ρ＝＝＝，R＝，＝·＝＝.
(2)结合题意，该星球半径是地球半径的4倍．
根据M＝得＝·＝
例3　C　[两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向，向心力选不同的表达式分别分析．
由＝m得＝＝＝，故A错误．
由＝mr2得＝＝，故B错误．由＝mrω2得＝＝，故C正确．由＝ma得＝＝，故D错误．]
达标检测
1．A　[取飞船为研究对象，由G＝mR及M＝πR3ρ，知ρ＝，故选A.]
2．C　[根据万有引力定律F＝G可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不同，A项错误；设太阳的质量为M，小行星的质量为m，由万有引力提供向心力，则G＝mr，则各小行星做匀速圆周运动的周期T＝2π ，因为各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期，B项错误；向心加速度an＝＝G，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，C项正确；由G＝m得小行星的线速度v＝ ，小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，D项错误．]2-1-c-n-j-y
3．CD　[飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引＝Fn，所以G＝man＝＝＝mrω2，
即an＝，v＝ ，T＝ ，
ω＝ (或用公式T＝求解)．
因为r1v2，an1>an2，T1ω2，选项C、D正确．]
4．21030 kg
解析　题中给出地球轨道半径：r＝1.5108 km，地球绕太阳公转一周为365天，即周期T＝365243600 s≈3.15107 s.
根据万有引力提供向心力G＝m()2r
故太阳的质量为M＝
＝ kg≈21030 kg